《2017-2018学年2-31.3.2杨辉三角学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年2-31.3.2杨辉三角学案.docx（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、精品资源1. 3.2杨辉三角抽象问题情境化，新知无师自通对应学生用书pi6:入n畚抻（a+b）n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式:口切11加郎J21Q 的133 LU+t)44 6 41(flifr)61510 10 51U+t)416 15 20 15 6 1问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是 1,与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.问题2:计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？提示：2,4,8,16,32,64,，其系数和为2n.问题3:二项式系数的最大值有何规律？
2、提示：n=2,4,6时，中间一项最大，n= 3,5时中间两项最大.二项式系数的性质（1）每一行的两端都是1,其余每个数都等于它,“肩上”两个数的和.即cn=cn= 1, cm+1Cm 1 CmCn 十 Cn .（2）每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等,即Cm=Cnm.（3）如果二项式的哥指数 n是偶数，那么其展开式中间一项Tn+1的二项式系数最大；如2果n是奇数，那么其展开式中间两项T n+ 1与T n+ 1的二项式系数相等且最大.+122欢迎下载（4）二项展开式的各二项式系数的和等于2n.n 1即 C0+Cn+ Cn+ Cn=22.且 Cn+ C2+ c4+=c；+c3+c5+=2归
3、纳升华领悟1由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时， 可借 助于它直接写出各项的二项式系数.高励考点题组化，名师一点就通与杨辉三角有关的问题对应学生用书P16例1如图，在“杨辉三角”中， 斜线AB的上方，从1开始箭头所11工1 2*1/示的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,.记其前n项和为Sn,求S19的值.思路点拨由图知，数列中的首项是C2,第2项是C2,第3项是 切c3,第4项是c3 ,，第17项是c1o，第18项是C10,第19项是C11.精解t析s9= (C2+C2)+(c3+C3)+(c4+C4)+ (C10+ C1o)+ C11
4、= (C2+ C3+ C4 + + C1o) + (C2 + C3+ C1o+ C11)=(2+3+4+,+ 10)+C：2= -+ 2)卜 220 = 274.一点通解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；(2)找规律：通过观察，找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律.“一粒粮集辆”1.如图是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为3 35 6 57 11 11 79 1B 22 18 9解析：由1,3,5,7,9,可知它们成等差数列，所以an=2n1.停地停答案：2n12.如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第 行从左到右
5、第14个数与第15 个数之比为2 : 3.解析：设第n行从左至右第14与第15个数之比为2：3则 3&3 = 2&43n!2n!13! (n 13 J14! (n 14 J解得n=34.答案：34且石I二项展开式中各项的系数和例 2 设(1 2x)=a0+aix+a2x +,+ a2 014x (xC R).求 20+ a + a2+ a2 014 的值.(2)求 ai + 23+ a5+ a2 013 的值.(3)求 |a|+ |a|+ |a2|+ + |a2 014I 的值.思路点拨先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解.精解t析令x=1,得a0+a + a2+ a2 014=
6、 (- 1)2 014= 1.(2)令 x= - 1,得 a。一 a+ 比一+ a2 014= 32 014.得2(a+a3+ a2 013)= 1 - 32 014,1 32 014，a1 + a3+a5+ a2 013=2.(3) Tr+1 = c2 014( 2x)r= ( 1)r c2 014 (2x)r, a2k 10(kCN)., , |a0|+ |a1|+ |a2|+ |a3|+ |a2 014|=a0 a + a2 a3+ + a2 014=32 014 .一点通赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法.根据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键. 一般地，要使展开式中
7、项的关系变为系数的关系，令x= 0可得常数项,令x= 1可得所有项的和，令 x= - 1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.粒粮鼻钝3.(1 + x)+(1 + x)2+ (1 + x)n的展开式中各项系数的和为()A.2n+ 1B. 2n- 1C.n+1a1D. 2n+1-2解析:令 x=1,则 2+22+ + 2n=2n+1-2.答案:4.已知(1 + 2xx2)7 = a0+ax+a2x2+ a3x13+a14x14.(1)求 a0+ a+ a2+ a(2)求 a+ as+ a5+ a13.解：(1)令 x= 1,贝U ao+ ai+ a2+ + ai4= 27= 128.(2)令
8、x= 1,则 aoa1+a2a3+一ai3+ai4=(2) =- 128.一得 2(a+a3+ +a3)= 256, a1+a3 + a5 + + a13= 128.口二项式系数的性质/ 2例3 (10分)已知x3 + 3x2 n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为 I J32.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.思路点拨根据已知条件求出n,再根据n为奇数或偶数确定二项式系数最大的项和系数最大的项.精解t析令x= 1 , 则展开式中各项系数和为(1 +3)n=22n. 又展开式中二项式系数和为2n,22n牙=20=32, n=5.(1).n=5,展开式共
9、6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， 2 -T3=C2(x3 )3(3x2)2=90x6, 222T4=c5(x 3 )2(3x2)3 = 270x 3 .(2)设展开式中第k+ 1项的系数最大， 210 + 4k则由 Tk+1=Ck(x 3 )5 k(3x2)k=3kc5x 3,3kC5 A 3k此5“k+1c5+1,，79.Wk，k= 4,即展开式中系数最大的项为226T5=c5(x 3 )(3x2)4=405x 3 .一点通1 .求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.2 .求展开式中系数最大项与二项
10、式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变 化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得.矗做义加5.若3 +的展开式中第6项系数最大，则不含 x的项是（）A. 210B. 120C. 461D. 416解析：由题意知展开式中第 6项二项式系数最大，2+1 = 6,，n=10,_nr 3（10 r） |,工）_ nr 30 5rTr + 1C10X7 J C10X.30 5r=0.，r=6.常数项为C10 = 210.答案：A6,已知（1 + 3x）n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121,求展开式中二项式系数最大的项.解：由题意知 Cn+Cn-1 + cn-2=121,即 C0+C1+ -= 121 ,n n- 12. 1 + n+2= 121,即 n +n-240= 0,解得n=15或16（舍）.在（1 + 3x）15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项，且丁8= C15（3x）7= &53，1T9=C85（3x）8= C：538x8.方法，规律小结二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察归纳一一猜想一一证明的数学方法,并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想.大致对应如下:对称性f 应用了组合数的性质憎减性与最大值一 应出了组合数公式、 分类讨论思想等系数和1应而了赋值法、方祗电屈