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1、第四十九讲 利用直角坐标系计算二重积分重点：利用直角坐标系把二重积分化为二次积分难点：将积分区域用不等式组表示仅仅依靠二重积分的定义及其性质，不可能对一般的二重积分进行计算。本节介绍一种二重积分的计算方法，这种方法是把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。一、二重积分我们首先来考虑直角坐标系下面积元素的表达形式。在二重积分的定义中对区域的分割是任意的，极限都存在，那么对于区域进行特殊分割该极限也应该存在。因此，在直角坐标系下，我们用平行于轴和轴的两族直线把区域分割成许多小区域（图104）。除靠区域边界曲线的一些小区域外，其余的都是小矩形区域。当这些小区域的直径的最大者l0时，这些靠区域
2、边界的不规则的小区域的面积之和趋于0。因此，第个小矩形区域的面积 。因此，直角坐标系下面积元素 。于是二重积分的直角坐标形式为。由二重积分的几何意义知道，如果，的值等于一个以为底、以曲面为顶的曲顶柱体的体积。下面我们用定积分的微元法来推导二重积分的计算公式。若积分区域可用不等式组表示为如图105，选为积分变量，b，任取小区间， ，b。在轴上分别过点、作垂直于轴的平面，设表示过点垂直轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，则小薄片的体积近似等于以为底、为高的柱体的体积，即体积元素 该截面是一个以区间为底边、以曲线（固定）为曲边的曲边梯形，因此 所以 =，即 。 （1）由此看到，二重积分的计算可化为两
3、个二次积分来计算。第一次积分时，把看作常数，对变量积分；第二次是对变量积分。这种先对一个变量积分，然后再对另一个变量积分的方法，称为累次积分（或二次积分）。公式（1）也称为先积后积的累次积分公式，通常写成 。同理，若积分区域可用不等式组表示为则二重积分可化为先后的累次积分 。以后我们称图106所示的积分区域（有两条边垂直于轴）为X型区域，图107所示的积分区域（有两条边垂直于轴）为Y型区域。把二重积分化为累次积分的关键，是根据所给出的积分区域，定出两次积分的上下限。计算二重积分的一般步骤是第一步 在平面直角坐标下，画出积分区域的图形；第二步 根据区域的图形，判断它是哪种类型的区域，然后将区域用
4、不等式组表示出来；第三步 根据上述的不等式组，将二重积分化为累次积分；第四步 计算累次积分。例1 计算，其中是由，所围成的区域。一般地，如果积分区域是由，（，）所围成的矩形区域，则 =。例2 计算，其中是由直线、及所围成的闭区域。上面两个例子说明，积分次序的变更对于二重积分计算关系不大。但有时由于积分区域的形状关系，一种次序远较另一种简便。例3 试将化为两种不同次序的累次积分。其中，是由，和轴所围成的闭区域。例3中，如果先积后积，需要计算两个累次积分；如果先积后积，只需要计算一个累次积分。因此，在化二重积分为累次积分时，为了计算简便，根据积分区域的形状，选择恰当的累次积分的次序。例4 计算，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域。解 首先画出积分区域的图形1011，边界曲线的交点（1，-1）、（4，2）。由图可见，将区域用Y型区域的不等式组表示较简单，即。于是= = = = =。如果先积后积，应如何计算这个二重积分呢？请读者思考，并写出累次积分。例5 计算，其中是由及所围成的闭区域。解 首先画出积分区域。它既是X型区域，又是Y型区域。如果先积后积，因为不是初等函数，所以求不出结果。因此只能先积后积，将积分区域表示成Y型区域的不等式组。于是= = =- = =。综上所述，积分次序的选择，不仅要考虑积分区域的形状，而且要考虑被积函数的特点。在能够计算二重积分的前提下，要使计算尽量简单。