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1、 上海红屋学堂数学教研室 从“学会”到“会学”的引领者！红屋学堂学科教师辅导讲义讲义编号 302 学员日校：松江茸一中学 年 级： 九年级 课时数 ： 2学科组长签名 组长备注课 题九年级 上册 相似三角形总结加强与平行向量线性运算授课时间：2012年9月15日 15：3017：30备课时间： 2012年9月13日教学目标1、 熟练掌握相关定义与定理；2、 熟练应用相似三角形的性质与判定定理；3、 熟悉常见题型和图形；4、 熟练掌握常用解题方法与分析方法。重、难点性质与判定定理的熟练应用教学内容【回顾知识要点】1、 三角形相似判定定理；2、 相似形定义；3、 比例知识；【知识点讲解及经典例题】
2、一、相似三角形知识要点 1. 比例线段的有关概念： b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=ABBC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 2. 比例性质： 3. 平行线分线段成比例定理： 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1l2l3。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定： 两角对应相等，两个三角形相似 两
3、边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 三边对应成比例，两三角形相似 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果一个三角形两边的比等于另一个三角形某两边的比，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。 5. 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等 相似三角形的对应边成比例 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相
4、似比的平方二、典型例题分析一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则AGD 。 题1 题2 题4 例2、已知ABC中，AB=AC，A=36，BD是角平分线，求证：ABCBCD例3：已知，如图，D为ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD求证：DBEABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD
5、=BE，求证：DFAC=BCFE例6：已知：如图，在ABC中，BAC=900，M是BC的中点，DMBC于点E，交BA的延长线于点D。求证：（1）MA2=MDME；（2）例7：如图ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例8：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且。求证：AEF=FBD例9、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线， 求证：SQAB，RPBC例10、已知A、C、E和B、F、D分别是O的两边上的点，且ABED，BCFE，求证：A
6、FCD例11、直角三角形ABC中，ACB=90，BCDE是正方形，AE交BC于F，FGAC交AB于G，求证：FC=FG例12、RtABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF三、巩固与练习一、填空题： 1. 已知，则_ 2. 若三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，则其余两边之和是_cm 3. 如图，ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6，则DE=_；ADE与ABC的面积之比为：_。 题3 题7 题8 4. 已知线段a=4cm，b=9cm，则线段a、b的比例中项c为_cm。 5. 在ABC中，点D、E分
7、别在边AB、AC上，DEBC，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=_ 6. 已知三个数1，2，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是_ 7. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，EFBC，若AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，则EF=_ 8. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，A=90，BDCD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：_ 二、选择题： 1. 如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是_ A. 9：16B. ：2 C. 3：4D. 3：7 2. 在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积
8、是_米2 A. B. C. D. 3. 已知，如图，DEBC，EFAB，则下列结论： 题3 题4 题5 其中正确的比例式的个数是_ A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 4. 如图，在ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点为顶点组成的三角形与ABC相似，则AE的长是_ A. 16B. 14C. 16或14D. 16或9 5. 如图，在RtABC中，BAC=90，D是BC的中点，AEAD，交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是_ A. AEDACBB. AEBACDC. BAEACED. AECDAC三、解答题： 1. 如图，ADE
9、GBC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的长。 2. 如图，ABC中，D是AB上一点，且AB=3AD，B=75，CDB=60，求证：ABCCBD。 3. 如图，BE为ABC的外接圆O的直径，CD为ABC的高，求证：ACBC=BECD。 4. 如图，RtABC中，ACB=90，AD平分CAB交BC于点D，过点C作CEAD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EGBC交AB于点G，AEAD=16，AB。（1）求证：CE=EF。（2）求EG的长。 5. 如图，已知DEBC，EFAB，则下列比例式错误的是：_ 6. 如图，在等边ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且APD=60，
10、7. 如图：四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，（1）求证：AEFCEA。（2）求证：AFB+ACB=45。8. 已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交AB于E，交CD于F。求证：OE=OF。 9. 已知：如图，ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F。 10. 如图，D为ABC中BC边上的一点，CAD=B，若AD=6，AB=8，BD=7，求DC的长。 11. 如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BEAC于F，过F作FGAB交AE于G，求证：AG2=AFFC 。 12.在梯形ABCD中，ADBC，若BCD的平分线
11、CHAB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求HBC的面积。四、平面向量的线性运算向量：既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)零向量: 长度为0的向量；其方向是任意的，记作单位向量: 长度等于1的向量,叫做单位向量；一般写作； 非零向量a的单位向量为平行向量：方向相同或相反的非零向量，是平行向量；与任一向量共线或平行共线向量：方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量：长度相等且方向相同的向量，是相等向量；两向量只有相等或不等，不能比大小相反向量：长度相同且方向相反的向量，是相反向量；0的相反向量为0向量a(a0)与b共线或平行的条件是存在唯一一个实数，使
12、得 .实数与向量相乘，那么？已知向量，如何求（1）一般的，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加。又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量.已知非零向量，求作并指出他们的长度和方向。1、表示实数与向量相乘的运算，下列表示运算是否正确：（1）表示为或者 （ ）（2）表示（ ）（3）表示 （ ）2、已知非零向量，求作4，-2，-，并指出他们的长度和方向.线性运算性质：1、如果是非零实数，是非零向量，那么，这个等式是实数与向量相乘对于实数加法的分配律.2、对于任意实数和非零向量、，总有，这个等式是实数与向量相乘对于向量加法的分配律.3、任意的非零实数和非零向量，总有，这是实数与向量相乘的
13、结合律.求值练习：求x平面向量的分解从物理学的角度上面的现象是：将一个力分解为不同方向的两个力。已知：平行四边形ABCD，点E,F在边AB上，AE=EF=FB.点P是边AD的中点，直线EG，FH都与AD平行，分别交DC于点G，H。直线PQ与AB平行，分别交EG，FH，BC与点O，M，Q，设=,=。分别求，关于，的分解式。在三角形ABC中，已知=，=，G是重心，请写出关于，的分解式。1在矩形中，则向量的长等于（）（A）2 （B）（C）3 （D）42下面给出四个命题： 对于实数和向量、恒有： 对于实数、和向量，恒有 若，则有 若，则3若a与b的方向相反，且，则a+b的方向与a的方向；此时4已知D、
14、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB的中点，且，则下列各式：；其中正确的等式的个数为5.若则的取值范围是6.如图，D、E、F是的边AB、BC、CA的中点，则=7.在中，M为BC的中点，则_。（用表示）8.如图，ABCD是一个梯形，ABCD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知=a,=b,试用a，b表示和9.已知：在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点求证： 课堂小结：相关定理及常见题型分析与解答方法【课后作业】复习本讲义，并熟练掌握相关性质及判定定理；重新总结本讲义中例题特点及掌握其分析与解答方法。（答案）例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外
15、，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角G外,由BCAD可得1=2，所以AGDEGC。再1=2（对顶角），由ABDG可得4=G，所以EGCEAB。例2分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明：A=36，ABC是等腰三角形，ABC=C=72又BD平分ABC，则DBC=36在ABC和BCD中，C为公共角，A=DBC=36ABCBCD例3分析： 由已知条件ABD=CBE，DBC公用。所以DBE=ABC，要证的DBE和ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相
16、等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到CBEABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。证明：在CBE和ABD中，CBE=ABD, BCE=BADCBEABD=即：=DBE和ABC中，CBE=ABD, DBC公用CBE+DBC=ABD+DBCDBE=ABC且=DBEABC例4分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形(2)如图：其中1=2，则ADEABC称为“相交线型”的相似三角形。(3)如图：1=2，B=D，则ADEABC，称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的
17、图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及EAF与ECA解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=， 在EAF与ECA中，AEF为公共角，且所以EAFECA例5 分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行线性质进行证明：证明：过D点作DKAB，交BC于K，DKAB，DF：FE=BK：BE又AD=BE，DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC即DF：FE= BC：AC，DFAC=BCFE例6 证明：（1）BAC=900，M是BC的中点，MA=MC，1=C，DMBC，C=D=900-B，1=D，2=2，
18、MAEMDA，MA2=MDME，（2）MAEMDA，评注：命题1 如图，如果1=2，那么ABDACB，AB2=ADAC。命题2 如图，如果AB2=ADAC，那么ABDACB，1=2。例7 分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE：ED”的特征，作DGBA交CF于G，得AEFDEG，。与结论相比较，显然问题转化为证。证明：过D点作DGAB交FC于G则AEFDEG。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似） （1）D为BC的中点，且DGBFG为FC的中点则DG为CBF的中位线
19、， （2）将（2）代入（1）得：例8 分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形，证明：作FGBD，垂足为G。设AB=AD=3k则BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=ADB=450，FGD=900DFG=450DG=FG=BG=又A=FGB=900AEFGBF AEF=FBD例9 分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。利
20、用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明SQAB，只需证明AR：AS=BR：DS。证明：在ADS和ARB中。 DAR=RAB=DAB，DCP=PCB=ABCADSABR 但ADSCBQ，DS=BQ，则，SQAB，同理可证，RPBC例10分析：要证明AFCD，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明AFCD，只要证明即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。证明：ABED，BCFE，两式相乘可得：例11 分析：要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因
21、而可用比例线段来证明。要证明FC=FG，首先要找出与FC、FG相关的比例线段，图中与FC、FG相关的比例式较多，则应选择与FC、FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到（“？”代表相同的线段或相等的线段），便可完成。证明： FGACBE，ABEAGF 则有而FCDE AEDAFC则有 又BE=DE（正方形的边长相等），即GF=CF。例12 证明：CO平分C，2=3，故RtCAERtCDO，又OFBC，又RtABDRtCAD，即AE=BF。巩固与练习参考答案一、填空题： 1. 19：132. 243. 3；1：4 4. 65. 12 6. 只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可，如：等
22、。 7. 14.48. 二、选择题： 1. C2. D3. B4. D5. C三、解答题： 1. 解：ADEGBC 在ABC中，有 在ABD中，有 AE：AB=2：3 BE：AB=1：3 BC=9，AD=6 EG=6，EF=2 GF=EGEF=4 2. 解：过点B作BECD于点E， CDB=60，CBD=75 DBE=30， CBE=CBDDBE=7530=45 CBE是等腰直角三角形。 AB=3AD，设AD=k，则AB=3k，BD=2k DE=k，BE ， ABCCBD 3. 连结EC， E=A 又BE是O的直径 BCE=90 又CDAB ADC=90 ADCECB 即ACBC=BECD 4
23、. （1）AD平分CAB CAE=FAE 又AECF CEA=FEA=90 又AE=AE ACEAFE（ASA） CE=EF （2）ACB=90，CEAD，CAE=DAC CAEDAC 在RtACB中 又CE=EF，EGBC FG=GB EG是FBC的中位线 5.故应选C。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截 6. ABC是等边三角形 C=B=60 又PDC=1+APD=1+60 APB=1+C=1+60 PDC=APB PDCAPB 设PC=x，则AB=BC=1+x AB=1+x=3。 ABC的边长为3。 7证明：（1）四边形ABEG、GEFH、HFCD是正方
24、形 AB=BE=EF=FC=a，ABE=90 又CEA=AEF CEAAEF （2）AEFCEA AFE=EAC 四边形ABEG是正方形 ADBC，AG=GE，AGGE ACB=CAD，EAG=45 AFB+ACB=EAC+CAD=EAG AFB+ACB=45 8.证明：ADEFBC OE=OF 从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论： 这是梯形中的一个性质，由此可知，在AD、BC、EF中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。 9.证明：在ABD和ADE中， ADB=AED=90 BAD=DAE ABDADE AD2=AEAB 同理：ACDADF 可得：AD2=AFA
25、C AEAB=AFAC 10.解：在ADC和BAC中 CAD=B，C=C ADCBAC 又AD=6，AD=8，BD=7 解得：DC=9 11.证明：在矩形ABCD中，AD=BC， ADC=BCE=90 又E是CD的中点，DE=CE RtADERtBCE AE=BE FGAB AG=BF 在RtABC中，BFAC于F RtBFCRtAFB BF2=AFFC AG2=AFFC12. 分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。 解：延长BA、CD交于点P CHAB，CD平分BCD CB=CP，且BH=PH BH=3AH PA：AB=1：2 PA：PB=1：3 ADBC PADPBC - 19 - 上海红屋学堂教学管理部