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1、精品资源考点解释球有关问题的求解策略陕西洋县中学（723300）刘大鸣五种正多面体和其外接球及内切球以“对称、和谐、简洁”给人以美的享受.若在享受美的同时，注意挖掘正四面体、正六面体和正八面体的性质特征和其外接球及内切球和球的特 殊性，既可以掌握空间问题的研究方法，又可以从本质上认识正多面体和球1确定球心在截面圆上的射影的特殊位置切入。如何确定球心在截面圆上的射影是求解求解的关键.常常借助于射影长定理确定球心在截面上的特殊位置处，利J用“勾股数”求解 .例1三角形的三边长分别为 3, 4, 5,各边都与球相切，求三角形所在平面到球心的距离【思维展示】理解各边与球都相切的意义，实质为球心到三角形
2、三边的距离都为球半径，由射影长定理知，球心在三角形所在截面圆上的射影为直角三角形的内心，三边长分别为3, 4, 5,易求内切圆半径为1,于是，内切圆半径，球心到面ABC的距离，球半径构成直角三角形，易求球半径为展。例2 一个球外接于高是底边边长两倍的正三棱柱，求球和棱柱的体积比 【思维展示】三棱柱的外接球想象空间图形，关键是确定球心在三棱柱底面圆上的射影的特殊位置，构造直角三角形求解。球心和底面三个顶点连线为球的半径，则球心在底面上的射影为正三角形的中心.设三棱柱底面边长为a,高为h=2a,则底面外接圆的半径为不，于是，条，R 9构成R为斜边的勾股数，易求R=中，所求体积比为 14n .【学习
3、体验】如何确定球心在截面圆上的射影的特殊位置是求解的关键。常常应用小圆半径，圆 心到球心的距离，球半径构成直角三角形解题，应积累这种学习体验。2与球面距离有关的问题.例3半径为1的球面上有A、R C三点，B、- C的球面距离为 WC的球面距离为微，过A B C三点做截面，求球心到截面的距离【思维展示】球面距离转化为球心角，构建三棱锥等积变换求点到面的距离.注意球面距离的意义，问题化为从球心 O出发与A B C构成的三棱锥，顶点为 0,侧棱长为1,三个侧面的顶角分别为工，义, 工,如图，易知 AOj_cod , AC=AB,2 , 0A=0C=0B=BC=1AD=；2=点，由 223一.42三棱
4、锥等积变换得，1 H 半二*h ； H,解得h J2!为球心到截面的距离。343227例4半径为5的球面上有 A B、C三点每两点间的距离为的AB=6.4,BC=4.8,CA=8求: 这三点的平面与球心的距离； B、C两点的球面距离； 过球心0的直径PD的 端点P与三角形ABC的三顶点组成的三棱锥 P-ABC与底面所成的二面角； 由点P和 三角形ABC的外接圆组成的圆车B与球的体积比 .【思维展示】如图，将球内图形移出构建三棱锥模型易解. 由题设三角形 ABC为直角三角形，B=90,球心在面 ABC上的射影为 AC的中点。，小 圆半径4,球半径5,球心到面ABC的距离构成直角三角形，易求为 3
5、;2 cc22 ccr 球面距离就是截面 BOC勺劣弧的长cocBOC =OB +OC -BC /37，即B、C两点的球面距2 .OB QC625离为 5arccos .625，5 取BC中点M连接OM MP易知/PMO1为所求平面角，其值为 arctan -.V圆锥PC =1冗42 8=128,V球=萼52 =50色，所以所求体积比为32:125.3333【学习体验】球面距离的实质为两点所在大圆的劣弧长，于是，凡看到与球面距离有关的问题，应马上联想球心角的大小，将所求问题化归为三角问题求解.以球面距离为背景的“同纬不同经的两点的球面距离问题”，主要是找球心角，它常常与经度及纬度联系在一起.你
6、还记得经度及纬度的含义吗？理解经度是面面角，纬度a是线面角，r = R cosa, d = Rsina，将图形 移出构建三棱锥模型，解两个公用底的等腰三角形，一个顶角为经度差，另一个顶角为球心 角化为弧度制乘以半径长就是所求球面距离，你总结求解的方法步骤了吗？3球的组合问题例5 （教材第77题例2） P、A、B C是球面上的四个点，且 PA PB PC两两垂直且其 长都为1 ,求球的体积与面积。【思维展示】注意正六面体外接球和内接球的特征，纳入正方体模型中，其正方体的棱长为1,求外接球的体积和面积。易知，一 .一 34 二R3 ，.322R=、3,R=,V=S=41R =3 二.232【学习体
7、验】试回味正多面体模型的简化功能，体验“空间问题的学习过程就是不断的在 认知结构中构建模型的过程”例6求棱长为1的正八面体的内切球和外接球的体积 【思维展示】由正八面体的性质知，外接球的半径为史，而内接球的半径为“侧棱和底面边长都为12的正四棱锥底面中心到侧面的距离”如图，O为底面正方形的中心， 取CD的中点E,连接SE,易知OEJCSD,则面SOEJ_ CSD ,过O做OHJ_SE,由面面垂直的性质定理知，OH1 面SCD ,由面积法 r 丑）2J,J.r.故，一,2226所求内切球体积为寒冗，外接球体积为qn.由正八面体的性质知，外接球的半径为浮而内接球的半径为“侧棱和底面边长都为为底面正
8、方形的中心，取 CD的中点E,1的正四棱锥底面中心到侧面的距离”.如图，O做OH_LSE,由面面垂直的性质定理知,连接SE,易知 OEJ_面CSD ,则面 SOEL面CSD ,过O0 H1 面SCD ,由面积法山=4 .故所求内切球体积为江，外接球体积为 加 2 73例7把四个半径为 R的球中的三个放在桌面上，使其两两相切，然后在它们上面放第四个球，使其与前三个球均相切，求上面球的球心到桌面的距离【思维展示】构建正四面的模型抽象问题具体化，四个球心构成棱长为2R的正四面体，注意正四面体6的局，侧棱长，底面正二角形的外心构成直角二角形，则图为一6x2R,故所求上面的球3心到桌面离._6 2R . R二3R.。【学习体验】模型化使空间问题具体化，应学会这种特殊化的思维方法，在立体几何学习中不断积累和认识特殊的模型，如最小角定理构造的特殊四面体模型，正四面体模型，特殊的正三棱锥，正方体，长方体等模型，学会用这些模型解决问题，只有你认识和使用好这些模型，你的空间想象能力就随之培养起来了 ！洋县中学（723300 刘大鸣 电话（宅）0916-815676 13992671723QQ294980047欢迎下载