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1、I立方和公式aA3+bA3=(a+b) (aA2-ab+bA2)立方差公式aA3-bA3=(a-b) (aA2+ab+bA2 )”3项立方和公式aA3+bA3+cA3-3abc=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac)推导过程：aA3+bA3+cA3-3abc=(aA3+3aA2 b+3abA2+bA3+cA3 ) - (3abc+3aA2 b+3abA2 )=(a+b)A3+cA3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(aA2+bA2+2ab-ac-bc+cA2 - -3ab(a+b+c)=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2+2ab-3ab-ac-bc)=(a+b+c)
2、(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ac)文字表达立方和，差公式两数和(差)，乘它们的平方和与它们的积的差(和)，等于这两个数的立方和(差)”3项立方和公式三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积 的三倍公式证明1 .迭代法：我们知道：0次方和的求和公式 SNA0=N即1A0+2A0+.+nA0=n1次方和的求和公式 2N|A1=N(N+1 ) /2即1人1+2人1+.+门人15付+1) /22 次方和的求和公式 SNA2=N(N+1 ) (2N+1 )/6 即 1人2+2A2+ +nA2=n(n+1 ) (2n+1 )/6 平方和公式，此公式可由同种方法得
3、出，取公式(x+1) A3-xA3=3xA2+3x+1 ,迭代即得。取公式：(X+1 ) A4-XA4=4 令A3+6 次人2+4 XX+1系数可由杨辉三角形来确定那么就得出：(N+1 ) A4-NA4=4NA3+6NA2+4N+1NA4-(N-1 ) A4=4(N-1 ) A3+6(N-1 ) A2+4(N-1 ) +1(N-1 ) A4-(N-2 ) A4=4(N-2 ) A3+6(N-2 ) A2+4(N-2 ) +12A4-俨4=4 MA3+6 XIA2+4 m + i (n)于是+(n )有左边=(N+1 ) A4-I右边=4 (1人3+2人3+3A3+NA3) +6 (1人2+2人
4、2+3A2+NA2 ) +4(1+2+3+ +N)+N所以呢把以上这已经证得的三个公式代入4 (1人3+2人3+3A3+ +NA3 ) +6 (1人2+2人2+3A2+ +NA2 ) +4(1+2+3+ +N)+N=(N+1 ) A4-1得 4( 1人3+2人3+3A3+ +W3)+N(N+1 ) (2N+1 )+2N(N+1 )+N=W4+4NA3+6NA2+4N移项后得 1人3+2人3+3A3+ +NA3=1/4(NA4+4NA3+6NA2+4N-N-2NA2-2N-2NA3-3NA2-N)等号右侧合并同类项后得1人3+2人3+3A3+ +W3=1/4 (NA4+2NA3+NA2 )即和为
5、:1A3+2A3+3A3+NA3= 1/4 N(N+1 ) A2大功告成！立方和公式推导完毕1人3+2人3+3A3+ +NA3= 1/4 N(N+1 )人22.因式分解思想证明如下：aA3+bA3=aA3+aA2 冲+bA3-aA2冲=aA2(a+b)-b(aA2-bA2 ) =aA2(a+b)-b(a+b)(a-b)=(a+b)aA2-b(a-b)=(a+b)(aA2-ab+bA2)公式延伸正整数范围中1人3 + 2A3 +几何验证M3 = n (n+1 ) / 2人2= (1+2+n)A2透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总xA3+yA3把两个立方体对角贴在一起，根据
6、虚线，可间接得到:(x+y)A3要得到*人3+ 丫人3,可使用(x + y)A3的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：x Xy x (x+y)x x (x+y )沟(x+y ) Xx 沟把三个部分加在一起，便得：=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)=3xy(x+y)之后，把(x + y)A3减去它，便得：=(x+y)A3-3xy(x+y )公式发现两个数项皆有一个公 因子，把它抽出，并得：=(x+y)(x+y)A2-3xy(x + y)A2可透过和平方公式，得到：=(x + y)(x A2+ 2 xy + yA2-3xy)=(x + y)(x A2- xy + 丫人2)这样便可证
7、明：*人3+丫A3=( x + y)(xA2 - xy + $2)关于因数,nk,N ,这些因数的因数般而言，任取一自然数 N,他的因数有1, n1,n2,n3 ,个数分别为 1, m1,m2,m3 , , mk,k+2 ,则1A3+m1A3+m2A3+m3A3+ +mkA3+(k+2 ) A3=(1+m1+m2+m3+ +mk+k+2)人2我们发现，上述规律对素数p是永远成立的，因为素数p的因数只有1和p,因数的个数只有1和2,所以成立。合数的验证方法可以从因数个数出发证明，有中学水平的人可以自己证明。比如120 ,有因数1, 2, 3 , 4, 5 , 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30 , 40, 60, 120;它们的因数个数 为1, 2, 2, 3, 2, 4, 4, 4, 6, 4, 6, 8, 8, 8, 12, 16,1人3+2人3+2人3+3人3+2人3+4人3+4人3+4人3+6人3+4人3+6人3+8人3+8人3+8人3+12人3+16人3=8100(1+2+2+3+2+4+4+4+6+4+6+8+8+8+12+16)A2=8100精品资料Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！