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1、第四章 矩阵1.设1），2），计算，。解 1） ，2） ，其中， ， ， ， ， ， 2.计算 ， ，解 。 。 采用数学归纳法，可证。 事实上，当时，有，结论成立。当时，归纳假设结论成立，即于是当时，有，即证成立。4）采用数学归纳法，可证，事实上，当时，有 ，结论成立。当时，归纳假设结论成立，即，于是当时，有 ，其中，同理可得， ， ，因而有。5），。6） 。7）注意到，这意味着，若令，则.下面对分两种情形讨论为偶数，即，于是，为奇数，即，于是，故。8）采用数学归纳法，可证，事实上，当时，结论显然成立，现在归纳假设，于是，即证结论成立。3.设，是一个矩阵，定义。1），；2），试求。 解 1）
2、。 2）。4.如果，矩阵就称为与可交换，设1） 2）3）求所有与可交换的矩阵。解 1）若记，并设与可交换，即，于是，所以，故任意，从而所有与可交换的矩阵为，其中为任意常数。2）同理，记并设与可交换，即于是，所以，比较对应的元，可得， ， ，于是所有与可交换的矩阵为，其中为任意常数。3）设与可交换，即，于是，故得,。所以所有与可交换的矩阵为，其中为任意常数。5.设其中（当时）（），证明：与可交换的矩阵只能是对角矩阵。证 设与可交换，于是由，有，即（当时）.有因为，所以。于是，与可交换的矩阵只能是对角矩阵。6.设，其中（当时）（），是阶单位矩阵，证明：与可交换的矩阵只能是准对角矩阵，其中是阶矩阵（
3、）。证 设与可交换（其中是阶矩阵），则由，可得当时，由及，因而必有。于是，与可交换的矩阵只能是准对角矩阵，其中是阶矩阵（）。 7.用表示行列的元素（即元）为1，而其余元素全为零的矩阵，而证明：1）如果，那么当时，当时；2）如果，那么当时，当时，且；3）如果与所有的阶矩阵可交换，那么一定是数量矩阵，即。证 1）因为，所以，。即当时，当时。2）因为列行所以当时，当时且。3）与任何矩阵相乘可交换，必与相乘可交换，于是由得（），因此是数量矩阵。8.如果，证明：。证 ，。9.如果，证明：当且仅当。证 充分性.若，因为，所以。 必要性.若，则，即，即证。10.矩阵称为对称的，如果.证明：如果是实对称矩阵，
4、且，那么。证 设，则。由有，因而必有，即证。11.设都是对称矩阵，证明：也对称当且仅当可交换。证 当时，有，所以是对称矩阵。反之，当时，有。12.矩阵称为反对称的，如果，证明：任一矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。证 设是任一矩阵，因为，且是对称矩阵，是反对称矩阵，所以结论成立。13.设.证明：证 由题设知 。14.设是矩阵，证明：存在一个非零矩阵使的充分必要条件是。证 充分性.若，则齐次方程组有非零解，只要取即可。必要性.设，使，这里是的列向量。不失一般性，设，则由，得。因此，即有非零解，从而。15.设是矩阵，如果对任一维向量都有，那么。证 证法1 由题设知，维向量空间中的所有向量都
5、是齐次线性方程组的解，故方程组的基础解系含有个线性无关的解向量，所以，即证。16设为一矩阵，为矩阵，且.证明：1） 如果，那么；2） 如果，那么。证 1）若，设，因，不失一般性，可设。由，得因为该齐次方程组的系数行列式不等于零，故它只有惟一零解，即，因而。2） 若，则，由1）知，因此。17.证明：。证 设，则。若与分别是与的列向量组的极大线性无关组，则有 于是，即的列向量组可由线性表出，故。18.设为矩阵，证明：如果，那么。证 设的列向量组为，则，故有。即方程组有组解。若，则可由个线性无关的解向量线性表出，于是。因此。19.证明：如果，那么。证。即证。20.求，设， 解 1）。2）对作行初等变
6、换，有，所以。3）对作行初等变换，可得，所以。4）对作行初等变换，可得，所以。5）对作行初等变换，有，所以。6）对作行初等变换，有，所以。7）因为，所以。8）对作行初等变换，有。9）因为且，所以。10）因为 ，所以。21.设，已知存在，求。解 设，则。因此， 左乘，得， ，又由于， ，左乘得， ，故。22.设，其中，求。解 记，其中则。而，故。23.求矩阵，设，。解 1）。2）。3）。4）。24.证明：1）如果可逆对称（反对称），那么也对称（反对称）；2）不存在奇数阶的可逆反对称矩阵。证 1)若，则。2）由，知，所以当为奇数时，有，故不可逆。25.矩阵称为上（下）三角矩阵，如果当时有。证明：1
7、）两个上（下）三角形矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵；2）可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵。证 1）设，假定，其中，当时，显然中各项均有因子为零，故，所以是上三角矩阵。对于是下三角阵情形同法可证。2）令，设是的逆，即，比较和的第一列元素，有，因为，故，因而得。同理可得：当时，因而是上三角阵。是下三角阵的情形同理可证。26.证明：，其中是矩阵。证 因为， ，所以当时有。当时),有，于是。），由于，于是有非零解，故，于是，所以此时也有，即证。27.证明：如果是矩阵，那么证 当时，故，所以。当时，至少有一个阶子式不为0，所以。另一方面，由，有。于是，所以，.故。当时，的一切阶子式全为0，所以，因而，即证。