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1、泰勒(Taylor)公式一、问题的提出二、问题的解决三、与泰勒公式相关的几个概念I、简单的应用一、问题的提出多项式对数值计算和理论分析都十分方便，所以 在研究某些复杂函数时，常常希望将它们表示为 一个多项式.设/。）在/处可导,则有(Xo)= lim”)二 /) xo X-Xo/-/)才Uo)+。x-x0/(x)-/(x0) = /f(x0)(x-x0) + a(x-x0)由于 lim 史 = lim a = 0XfX。 X XoX.演/(X)= /(x0) + / r(x0)(x - x0) + o(x - x0)/(X) /(Xo) + /z(xo)(x-xo)/(x) /(x0) + /
2、r(x0)(x-x0)令4 =0例如，当很小时,ex l + x , ln(l + x)x(如下图)上述两例中，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似的表示，这是一个进步.它能帮助我们研究某一些复杂函数的性质.当然，这种近似还比较粗糙, 尤其是当M较大时.二、问题的解决上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：1、提高近似程度，可能的途径是提高多项式的次数。2、求出误差,以免“使用不安”希望在r = /附近pn(x)/(x)分析：1 1 .若在/点相交 尸（/）= /）2 .若有相同的切线近似程度越来越好3.若弯曲方向相同匕5。）=尸（X。）*）=小。）【问题一】设f(x)在V。的开区间内具有
3、直至M +1阶的导数， 能否找到一个关于(X - )的多项式 p(x) = a0+1(x-x0)+a2(x-x0)2+ + (x-xor 近似等于/(%)?【解决问题一】令 。)(%0)= /的(%0)(左=0,1,)确定多项式的系数册，2,，anpn(x)=a0+ai(x-x0)+a2(x-x0)2+-+an(x-x0yi(1)/jPZf(x0)=a0 Pw(xo)=/(xo) o =/(%)0：(X)= % + 勿2(X 4 ) + %3(X / )2 + + nan(X _ Xo ) 1 (2)0)=。1夕=(“0)q(%)=/(工0)/?(x) = 2-ba2 + 3-2-a3-(x-
4、x0) + 4-3-a4-(x-x0)2 +a J(x)22!+ + Fl (W - 1) , Ufi (X - Xo )，Z 2 p (%o) = 2 1 42p(x0) = ff,(x0)一般地，有pf)(%) = A(A -1)依- 2) 2 1 q =尸)(X。)以人一1）依2）21冬=：）（%） = /（x）|从而,得到系数计算公式:0 = /（%0）a _ 于（X。）1 - 1!/（X。）2!尸）（X。）k（左= 0,1,2,川）所求多项式为P”（x） = /（%）+牛（。）+- （X/）2+ “（XT。）1!2!n【问题二】P(x)与)近似程度如何？其误差表达式&=/a)-p“a
5、)如何求?【解决问题二】泰勒（Tayler）中值定理若函数/（刈在含有工。的某个开区间3/）内具有直到n+1 阶导数，则当 （*）时，可以表示成fM = pn（x）+Rn（x）n= /(%)+ Ek = l尸(A)k!（人户向”）.（“7。）（ +1）! 7。）这里4是X。与x之间的某个值。r（+i）Rn（x）= -（“一与严常在与之间.（H + 1）!证明见课本P139三、几个概念1、M k!(n + l)l此式称为函数按(%7。)的塞次展开到n阶的泰勒公式;或者称之为函数在点孔处的n阶泰勒展开式。当=耐，泰勒公式变为r(o+D “X)= /(x0)+ ；0 + ：；(x - X。)曜 /(
6、x) +，C)(x - x0) 这正是拉格朗日中值鹿理的形式.因此，我们也称泰勒公式中的余项9=气署。严为拉格朗日余项。/+力5（一。八啜哥一。严 ki k（w + 1）!2、若飞=。，泰勒公式有较简单的形式一麦克劳林公式在o与x之间，它表示成形式4 = ex（oei）/(x) = /(0) +1!2!/)(。)一, I人 I近似公式 “0)+ 3 +心i+. +心吟1!2!K简单应用例1求/（*）=/ 断 阶麦克劳林公式.解/（，）=尸。）=-=）（，）=1, 0)=尸(0) = /(0)= 0) = 1注意到广（a）= eex代入公式，得+1,1 x2 xn eOxe 1 + x 4F H
7、1x2! n (n + 1)!可以证明，当Xf X。时，&(%)是比 (X-X0)n更高阶的无穷小，即Rn(x) = oax-x0y) 称为佩亚诺形式的余项.r & (x) r lim = limxfo (x -Xo) Xfx()n”.(XT 产/(x) = /(x0) + k=于 7,。)(X -X。) + O(x -x0) ki称为带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式.常用函数的麦克劳林公式sinxx3=X3!x5H5!2m1+ (-1)-1 上+(2m-1)1COSX =1F2!2m46+ (_1)5，+。(一加)4!6!(2m)!23 + 1Ind +x) = x- + -+ (1) 1T
8、+ o(xfl+1)23n + 1=1+ * + %2 + +%” + o(x) 1 X(1 + xYn = 1 + mx +m(m 1) 2 x2!m(m 1)n n + l)n+ o(xzt)泰勒公式在近似计算中的作用补例 求f (X) = 在T = 1处的2阶泰勒展开式X / 八 e(x-l)2=C + C(X - 1)HF2!三(1)3 C介于1和工之间).作业写出函y=sinx的带有拉格朗 日型余项的n阶麦克劳林公式.泰勒公式应用举例例2计算理解J =1 + 工2 +114 +0（工4）2!r2 y4COSX =1+ + 0（工4）2! 4!211.ex +2cosx 3 =（9 + 2天），+0（/）127x 原式=山11盘一 xf 04+0（x4） 7x4