《专升本资料8(线性代数-改).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专升本资料8(线性代数-改).docx（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、四川省普通高等学校“专升本”选拔高等数学考试大纲（理工类）总体要求考生应理解或了解高等数学中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分 学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及线性代数 的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。应注意 各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、 空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算； 能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法
2、和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。考试用时：120分钟考试范围及要求一函数、极限和连续二一元函数微分学三一元函数积分学四向量代数与空间解析几何五多元函数微积分学六无穷级数七微分方程八线性代数（一）行列式行列式的性质。a12= a11a22 a12a21 a22a11a12a13a21a22a23,a31a23a33(+) (+)1.理解行列式的概念，掌握（1）行列式的概念二阶行列式：a11a2i三阶行列式：D3 =alla12al nn阶行列式：Dna21a 22a2nanlan2annn阶行列式的值的特点:（1） 一共是有n!项的代数和；（2）每一项都是n个元素的乘积,它们来
3、自于不同的行、不同的列。（3）这n!项中有一半是正项，另一半是负项。（2）行列式的性质 变换性质转置变换:DT = DDT为D的转置行列式。 交换变换：Di=-D , Di为D互换两行（列）后所得。修口，c+ Cj倍乘变换：Di=kD , Di为D的某行（列）元素都乘以k后所得。k，kG倍乘变换：Di =D , Di为D的某行（列）乘以k加到另外的行（列）后所得。rj +kri , q +kci零值性质如果行列式的某行（列）的元素全为零 ，则此行列式的值为零.如果行列式的某两行（列）的元素相同，则此行列式的值为零. 如果行列式的某两行（列）对应元素成比例，则此行列式的值为零.2.会用行列式的性
4、质和行列式按行（列）展开定理计算行列式（1）行列式的余子式和代数余子式余子式Mij :划去aij所在的第i行和第j列的全部元素后剩下的元 素组成的n-i阶行列式。代数余子式：Aj =（-i）i jM（2）阶行列式按行（列）的展开nnD n = aiiAii +ai2 A 2 + ain Ain = Z ai kAiiaik (-i) Mik 或k ik=innD n - ai j Aii j a2 j A2 janj An j二 ak j Ak j二 ak j ( -1) M j kkdk +(3)行列式的计算方法先利用行列式的性质使行列式的某一行(列)的元素尽可能多的化为零，再按该行(列)展
5、开。 可将行列式化为特殊行列式后计算.特别是化为三角形行列式。例1 计算下列的行列式2-5122310a b b b-37-1 44-2 -1 -1b a b b；; 5-927-2121b b a b46120110b b b a(二)矩阵1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质。(1)矩阵的定义，Za11a12a1n 由mn个数aij (i =1,2,，m; j =1,2,n)排成的m行n列的数表a21a 22a2n, . A叫am1a m2amn j矩阵；记为Am.或A=(aj)m2 .当m = n时，矩阵A称为n阶方阵.记作An .当m
6、=1时，矩阵A称为行矩阵(或行向量).记为A=(aj)1M=,，a上Qi2当n =1时，矩阵A称为列矩阵(或列向量).记为A= 2 或 A = (aj)m1.1an )(2)特殊矩阵零矩阵：矩阵的元素都为0时。单位矩阵：主对角线都为1的对角矩阵。记为En或E.对角矩阵(或对角阵)：在n阶方阵中，主对角线以外的元素都为零的矩阵上三角矩阵： 在n阶方阵中，主对角线以下的元素都为零。下三角矩阵： 在n阶方阵中，主对角线以上的元素都为零。对称矩阵：aij =aji或AT = A反对称矩阵：aij =-aji或 AT =-A2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵乘积的行列式及它们的运算规律。(1)矩阵
7、的线性运算设 A = (aj)mn, B=(bj)mn矩阵的和：A + B =(aij +bj )mn矩阵的差：A-B = (aj -bj)mX1数乘矩阵：kA = (kaj) m(2)矩阵的乘法定义设 A = (aij)m 冰，B=(bij)kM，令C =(Cij)mn 是由下面 mx n 个元素bijCi j =(ai1,ai2, ,aik)b2j: ai ibij - ai2b2j 一 一二 ai kbkjkj /构成的m行n列的矩阵。 称矩阵C = (Cj)m河为矩阵A与矩阵B的乘积。记为：C = AB 运算律(a)结合律：(AB)C -A(BC)(b)分配律：(A+B)C =AC+B
8、C , A(B+C)=AC + ABC(c) 01 律：AEn=EnA = A, AOn=OnA = O(d)不具备交换律：AB# BA,(e)两非0矩阵的乘积可能是0矩阵。即AB=0不能推出：A=0或B = 0。矩阵的乘方设A为n阶方阵，称矩阵A自乘m次称为矩阵A的m次方。A0 = E , A1 = A, A2 = AAAm = AA A ( m个 A)* k * l A k lA A =A(Ak)l =Akl(3)矩阵的转置定义：把A的行、列交换所得得的矩阵叫做矩阵 A的转置矩阵。记为AT 转置矩阵的性质：(AT)T =A(A B)T = AT BT(kA)T = kAT(AB)T = B
9、T AT(4)方阵的行列式定义：由n阶方阵A的元素按原来顺序构成的行列式称为 方阵A的行列式。记为| A |或det(A)。矩阵行式的性质 |AT|=|A| ; |kA|=kn|A| ; | AB R BA|=| A| .| B|10 1、10、例1 已知：A =2 10,B =3 1 ；3 2 -b9 2J求AB 。3.理解逆矩阵的概念，掌握矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念,会用伴伴随矩阵求矩阵的逆矩阵。(1)逆矩阵的定义设A是n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B,使得AB = BA = E；则称矩阵A是可逆的，称 矩阵B是矩阵A的逆矩阵。A的逆矩阵记为A,，即8 =庆.(2)逆矩阵的
10、性质方阵A可逆=A的逆矩阵是唯一的。且 AA=AA=E. A可逆二 A也可逆。且 (A,)=A.A可逆，数九#0= 7A可逆.且(九A)=1A.九 A可逆二 AT也可逆，且(AT)=(A/)T.A可逆，则有|ARA|. A、B为同阶方阵且均可逆 二 AB可逆.且(AB)=B/A.(AA2Am)=mA2A：(3)矩阵可逆性质的判别A 可逆 u |A|#0.(4)求矩阵的逆矩阵的公式 伴随零件.:n阶方阵A的行列式| A |的各个元素的代数余子式Aj构成矩阵A*A11A211 .A1n ”A12aA221*A2n1AmA2 n1 .Ann J称为矩阵A的伴随矩阵，一求矩阵.的逆矩阵的公式1A* 一
11、若矩阵A可逆，则 A =（A为A的伴随矩阵）.|A|12 3、例1判断A. = 3 2 1是否可逆，如果可逆，求逆矩阵.U 0 b4.掌握矩阵的初等变换，了解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和 逆矩阵的方法。（1）矩阵的初等变换定义：矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行（列）变换。 对换变换：互换矩阵的i、j两行（列）。ri 口（ G h Cj） 倍乘变换：把i行（列）的各元素都乘以非零k常数。r-ik （cxk） 倍加变换： 把j行（列）的若干倍，加到i行（列）上。 r+krj （ g + kCj ） 矩阵A经过有限次初等行变换转化为矩阵 B ,则称矩阵A与矩阵B等价，记为A B.（2）
12、矩阵的秩矩阵的k阶子式在一个mxn的矩阵A中任意取k行和k歹I，位于这些行与列相交位置上的元素所构成的 一个k阶行列式称为矩阵A的k阶子式。矩阵冲的k阶子式共有C；，C：个。矩阵的秩的定义在m父n的矩阵A中，一切非零子式的最高阶数r称为矩阵A的秩。也就是说，若矩阵A中 至少有一个r阶子式不等于零，而所有的r+1阶子式（如果有的话）都等于零，则称矩阵 A的秩为r,记为R（A） = r.注意：R（A） min（m,n） 0零矩阵的秩为零；非零矩阵的秩一定不为零。（3）矩阵的秩的求法阶梯形矩阵及其秩矩阵A若满足：（1）零行（元素全为0的行）在矩阵的最下方；（2）各非零行的第1个非 零元素的列标随着行
13、标的递增而严格增大。满足这样的条件的矩阵称为阶梯形矩阵。阶梯形矩阵的秩为：非全零行的行数。2 -1 03 -2如矩阵3 1-20 045-3有三个非全零行，则它的秩为3。 ( -1 , -2 , -m) -B第三步：考察n维列向量组T =31 ,2，PmL由于行初等变换不改变矩阵的列秩，向量组T =纲，3，Pm 中的极大无关组就对应S = 1 , 1M 2，口m中的极大无关组。注：只用行初等变换，仅求列向量中的极大无关组。例1求出下列向量的一个极大线性无关组。-21、49g-41、37g例2求出下行向量的一个极大线性无关组。% =(1,1, 2,7) , 2 =(-1,-2,2,-9), %=
14、(_1,1,一6,6),4 =(2,4,4,3) , % =(2,1,4,3),（四）线性方程组1.掌握克莱姆法则。克莱姆法则：设含有n个未知数x1,x2，xn的n个方程组成的n元线性方程组为：aIiXi - ai2X2 -ainXn =6a21X1a22X2 ,a2nX2 = b2ainaniXi - an2X2 ,annXn = bnaiiani如果线性方程组的系数行列式 Dann则方程组（1.7）有且仅有唯一解:x =DXnD其中Dj（j =1,2,，n屈把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数代替后所得aii a小到的阶行列式记作 Dj = j .一a1,j 1a2,j 4bi
15、b2a1,j 1a2,j iai na2na nian,j 4bnan,j 1ann当常数项全为零时，方程组称为n元齐次线性方程组。an%a2lxia12X2aInXn =0a22X2a2nXn = 0niXi +an2X2 十一 annXn =0齐次线性方程组的系数行列式D # 0 u齐次方程组只有零解 齐次线性方程组的系数行列式D = 0 u齐次方程组有非零解Xi-X2+ 2x4 =-5例1用克拉默法则解线性方程组3X1+ 2x2- X3- 2X4=64Xi+3x2- X3 X4=02Xi- X3=02.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件设m个方程
16、组n个未知数的齐次线性方程组aiiXi +a12X2 十ainXn = b1a2iXi +a22X2 + a2nXn =b2amlXiam2X2 .amnXn = bmaila2iai2a22al na2nfaiiai2a2ia22A =amiam2ain bia2n b2amn bm3miam2上b2bm )(1)齐次线性方程组R(A) =n时=齐次线性方程组AX =0只有唯一零解；R(A) n时=齐次线性方程组AX =0有无穷多组非零解(2)齐次线性方程组 ，一R(A) = R(A)u AX=b有解。 若R(A) =R(A) = n ,则线性方程组AX =b有唯一一组解. 若R(A) =
17、R(A) n ,则次线性方程组AX = b有无穷多组解.当AX =b有无穷多解时，其一般解中自由未知量的个数为 n-r . . 若R(A)手R(A),则非齐次线性方程组 AX = b无解3. 了解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念(1)齐次线性方程组的解向量aiiXi+ai2X2a2iXi+a22X21a miXi+am2X2设有齐次线性方程组1 2 a a + +o-xnnma+ana12 ,a n记A =a21a22 -a2n -m1dm2,a mn则上述方程组可写成向量方程%、X2 X =n矩阵，r(A) = r,则Ax =0的基础系中解向量的个数为：n - r ;Ax =0的任意n-
18、r个线性无关的解向量都是基础解系。Ax =0只有零解之r(A) = nu Ax = 0没有基础解系；Ax =0有非零解u r(A)nu Ax = 0有无穷多个基础解系。Ax =0的基础系：(1)必须是Ax =0的解，(2)必须是线性无关向量组，(3)必须有n-r个 向量。(4)齐次线性方程组的解的结构如果如尸2,，” 为齐次方程组Ax =0的一个基础系，那么Ax =0的通解可表示为：X = k1 +卜2”2+kn=L，其中k1,k2,，kn=是任意常数4, 了解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。(1)解向量的概念X212a1XnXn a1十设有非齐次线性方程组1 X12 ax222 a+n
19、Xn2 a 十x1！a.2 X2 m a+m b-nXn m a+记A =ana21a12a22a1 n a2n，x =%、x2m，,b =，bb21am1am2amn j1xn /简写成向量方程Ax =b.一 一、-、 一 . 、 一 称A为方程组Ax = b的系数矩阵；x为n维未知列向重；b为m维常数向重；A = (A,b)为方程组Ax =b的增广矩阵；满足An =b的n维列向量刈称为Ax =b的解向量，简称为解。(2)非齐次线性方程组的解的结构非齐次线性方程组解的性质性质1：设？，7都是非齐次方程组Ax = b的解，则，-、是对应齐次方程组Ax = 0的 解。性质2:设刈是非齐次方程组A
20、x=b的解，e是对应对应齐次方程组 Ax = 0的解，则之” 必是非齐次方程组Ax=b的解。非齐次线性方程组解的结构设A是mxn矩阵，且r(A,b) =r(A) = r ,亦是非齐次方程组Ax = b的一个解， 与，3与是对应齐次方程组 Ax = 0的基础解系。则非齐次方程组Ax = b的通解为：x = *，kl 1，卜2 2，Kn J其中匕*2 ,，kn _r是任意常数。5.掌握用矩阵的行初等变换求线性方程组通解的方法。(1)齐次线性方程组的通解的求法 用行初等变换将齐次方程组 Ax =0的系数矩阵A化为阶梯开矩阵T 写出矩阵T对应的齐次方程组Tx = 0 得出齐次方程组的解，指明自由未知量
21、 让自由未知量取成标准单位向量，得到基础解系的各向量写出通解2xi x2 -2x3 3x4 = 0例1求解线性方程组3x1 +2x2 -x3 +2x4 =0的通解1- 12 十 I)1111- 1-23一疑包1T0-1-25-12L0-1-45xx2x3 - x4 = 01 1解：A = 2 1口 23 K)2 f11-1-1 -25000（开2r1 （）2100-1412-5000二T简化后的阶梯形矩阵T对应的方程组为,4x4 = 0- x2 - 2x5x40x1 x3 - 4x4x2 2x3 45x4，这里x3 , x4为自由未知量。取 x3 = 1,人=0 得 x1 = 1 , x2 =
22、 2 ;取 x3 = 0 , x4 = 1 得 x1 = M , x2 = 5 ;于是得到原方程组的一个基础解系1 =(1, -2,1,0),_ T，1 =(45,0,1)T因此所给齐次方程的通解为：，=k31 +k2,2,其中k1, k2为任意常数。（2）非齐次线性方程组的通解的求法求给出的非齐次方程组 Ax=b的通解，用初等变换将增广矩阵（A,b）化为行阶梯形矩阵（T,d）,这样Ax =b与Tx =是同解方程组，于是Tx = d的通解就是Ax = b的通解了。求Ax = b的通解步骤: 用行初等变换将增广矩阵（A,b）化为行阶梯形矩阵（T,d） 写出矩阵（T,d）对应的非齐次方程组Tx =
23、 d ,并得出其解 让自由未知量都取0得到方程组的一特解*。 写出对应的齐次方程组Tx=0,并得出其解。 让自由未知量取成标准单位向量，得到基础解系的各向量写出通解x1 2x2 f3 3x4 x5 = 2例1求解线性方程组-x1 -2x2 +x3 - x4 + 3x5 =4 的通解。2x1 +4x2 -2x3 +6x4 +3x5解：A =1-122-24-11一231 2-13 463 6尺 ( 1)r3(、100-100262/2 (工)3ri (1)3f12130000020-200012(3221 +2)27120010 0-1 0 0 3、010-1 =(T,d)00 12 Jx1 1
24、1 2 X2 - X3 3简化后的阶梯形矩阵(T,d)对应的方程组为x4 = -1X5 = 2IX1 =3 -2x2 X3即4X4=-1,这里x2、x3为自由未知量X5 =2取 x2= 0 ,x3= 0得x1= 3 ,x4= 1,x5= 2 ;得原非齐次方程组的一个特解：* = (3,0,0 , -1,2)TJ_X1 2x2 - X3 =0简化后的阶梯形矩阵T对应的齐次方程组为X4=0X5 =0J-X1 - -2X2 X3即，X4 =0,这里x2、x3为自由未知量。X5 =0取 x2 =1 , x3 = 0得 x1 = -2 , x4 = 0 , x5 = 0 ;取 x2 = 0 , x3 =
25、 1 得 x1 = 1 , x4 = 0, x5 = 0 ;于是得到对应齐次方程组的一个基础解系-2,1,0,0,0)T ,- =(1,0,1,0,0)T因此所给原非齐次方程的通解为：*-1二3二a-5X = + k/1 +卜2% ,其中k1, k2为任意常数。XI + 5x2 - x3 - x4 =例2当参数a为何值时，非齐次方程组I X1 + 7X2 * X3 + 3X4| 3x1 17X2 - X3 X4J x1 3X2 3X3 - 5 X4有解？当它有解时，求出通解Xi +X2 +X3 +X4 +X5 =73x , X2 2 X3 , X4 - 3 X5 2 rfy-j-r 练习1求非齐次方程组的通解。2x2 x3 2x4 6x5 = 23J8X1 3x2 4x3 3x4 - x5 = 12I x1 x2 x3 = 1练习2当参数a为何值时，非齐次方程组4 2xi+x3=1有解？当它有解时，求出通X1 +3x2 + 4x3 = a解。有解？当它有解时。