2011年高考数学一轮复习专题14 圆锥曲线与方程（教师版）.doc

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1、2011 年高考数学一轮复习资料第十四章圆锥曲线与方程年高考数学一轮复习资料第十四章圆锥曲线与方程整体感知整体感知热点点击热点点击：高考圆锥曲线试题一般有 3 题(1 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 22 分左右, 考查的知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线

2、与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。高考命题趋势高考命题趋势：圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值 20 分，并且主要体现出以下几个特点： 1圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：圆锥曲线的两种定义、标准方程及 a、b、c、e、p 五个参数的求解圆锥曲线的几何性质的应用 2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法

3、圆锥曲线椭圆定义标准方程几何性质双曲线定义标准方程几何性质抛物线定义标准方程几何性质第二定义第二定义统一定义直线与圆锥曲线的位置关系椭圆双曲线抛物线 a、b、c 三者间的关系 3有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现 4求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与

4、平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势高考复习建议：高考复习建议： 1圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质是本章的基本内容复习中对基本概念的理解要深,对公式的掌握要活,充分重视定义在解题中的地位和作用,重视知识间的内在联系椭圆、双曲线、抛物线它们都可以看成是平面截圆锥所得的截线，其本质是统一的.因此这三种曲线可统一为“一个动点 P 到定点 F 和定直线l的距离之比是一个常数e的轨迹”，当 0e1、e1、e1 时,分别表示椭圆、抛物线和双曲线复习中有必要将椭圆、抛物线和双曲线的定义，标准方程及几何性质进行归类、比较，把握它们之间的本质联系，要学会在知识网络交

5、汇处思考问题、解决问题 2计算能力的考查已引起高考命题者的重视,这一章的复习要注意突破“运算关”,要寻求合理有效的解题途径与方法 3加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习，注重数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理的运用 4重视圆锥曲线与平面向量、函数、方程、不等式、三角、平面几何的联系，重视数学思想方法的训练，达到优化解题思维、简化解题过程的目的第第 1 1 讲讲椭圆椭圆【知识精讲】（一）（一）椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离的和等于常数 2a（大于|）的动点的轨迹 1 F 2 F 1 F 2 FM 叫做椭圆，椭圆的定义中，平面内

6、动点与两定点、的距离的和大于|这个条件不可忽视.若这 1 F 2 F 1 F 2 F 个距离之和小于|，则这样的点不存在；若距离之和等于|，则动点的轨迹是线段. 1 F 2 F 1 F 2 F 1 F 2 F 2.椭圆的标准方程：（0），（0）.1 2 2 2 2 b y a x ab1 2 2 2 2 b x a y ab 3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分 2 x 2 y 母，则椭圆的焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴上. 4.求椭圆的标准方程的方法：正确判断焦点的位置；设出标准方程后，运用待定系数法求解. ( (二二) )椭圆的简

7、单几何性质椭圆的简单几何性质设椭圆方程为（0）. 范围： -axa，-bxb，所以椭圆位于直线 x=和 y=1 2 2 2 2 b y a x aba 所围成的矩形里. 对称性：分别关于 x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫b 做椭圆的中心. 顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）. 线段、 1 A 2 A 1 B 2 B 1 A 2 A 1 B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 2 B 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆

8、 a c e 的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0e1.e 越接近于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 时，椭圆就越接近于圆. （三）椭圆的第二定义（三）椭圆的第二定义定义：平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e1时，这 a c e 个动点的轨迹是椭圆. 准线：根据椭圆的对称性，（0）的准线有两条，它们的方程为.1 2 2 2 2 b y a x ab c a x 2 对于椭圆（0）的准线方程，只要把 x 换成 y 就可以了，即.1 2 2 2 2 b x a y ab c a y 2 3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦

9、半径. 设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（0）的左、右两焦点，M（x，y）是 1 F 2 F1 2 2 2 2 b y a x ab 椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.exaMF 1 exaMF 2 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便. 椭圆的四个主要元素 a、b、c、e 中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需 2 a 2 b 2 c a c e 两个独立条件. ( (四四) )椭圆的参数方程椭圆的参数方程椭圆（0）的参数方程为（为参数）. 说明这里参数 1 2 2 2 2 b y a x ab cos sin xa yb 叫做椭圆的离心角.椭圆上点 P 的

10、离心角与直线 OP 的倾斜角不同：；tantan a b 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭1 2 2 2 2 b y a x 1sincos 22 圆的参数方程的实质是三角代换. 【基础梳理】 1.椭圆的定义平面内到两定点F1、F2 距离之和为常数 2a ( )的点的轨迹叫椭圆.有|PF1|+|PF2|=2a. 在定义中，当时，表示线段F1F2;当时,不表示任何图形. 2.椭圆的标准方程 (1) =1 (ab0),其中a2=b2+c2，焦点坐标为 . 22 22 xy ab (2) =1 (ab0),其中a2=b2+c2，焦点坐标为 . 22 22 xy ba

11、 3.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的参数方程 (为参数,ab0). x y 4.椭圆 =1 (ab0)的几何性质 22 22 xy ab (1)范围：|x|a,|y|b，椭圆在一个矩形区域内； (2)对称性：对称轴x=0，y=0，对称中心O(0，0)；一般规律：椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线. (3)顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),长轴长|A1A2|= ，短轴长|B1B2|= ; 一般规律：椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点.来源:学_科_网 (4)离心率：e= (0e1)，椭圆的离心率在内,离心率

12、确定了椭圆的形状(扁圆状态).当离心率越接近于时,椭圆越圆;当离心率越接近于时，椭圆越扁平. 【要点解读】要点一要点一椭圆的概念及标准方程【例 1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于；（2）两个( 4,0)(4,0)P10 焦点的坐标分别是、，并且椭圆经过点；（3）焦点在轴上，(0, 2)(0,2) 3 5 (, ) 2 2 x:2:1a b ；（4）焦点在轴上，且过点；（5）焦距为，；（6）椭圆经cby 22 5ab(2,0)b1ab 过两点，。 3 5 (, ) 2 2 ( 3, 5) （4）设椭圆方程为，，又，

13、 22 22 1 yx ab 2 2 1 b 2 2b 22 5ab 2 3a 所以，椭圆的标准方程为 22 1 32 yx （5）焦距为，，又，63c 222 9abc1ab5a 4b 所以，椭圆的标准方程为或 22 1 2516 xy 22 1 2516 yx （6）设椭圆方程为（），由得， 22 1 xy mn ,0m n 22 35 ()( ) 22 1 35 1 mn mn 6,10mn 所以，椭圆方程为 22 1 106 yx 【误区警示】求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。【答案】略【变式训练】已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（2

14、，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆3 的标准方程是。（2）椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个( 10)E 即( 3 0)F 即F 7 2 x 椭圆的方程是（） 22 2(1)2 1 213 xy 22 2(1)2 1 213 xy 2 2 (1) 1 5 x y 2 2 (1) 1 5 x y 【标准解析】（1）已知为所求； 2 2 2 2 222 4 2 ,2 3 161 164 ( 2 3,0) b ab c y x a abc F （2）椭圆的中心为点它的一个焦点为( 1,0),E ( 3,0),F 半焦距，相应于焦点 F 的准线方程为 2c 7

15、 . 2 x ，则这个椭圆的方程是，选 D。 2 5 2 a c 22 5,1ab 2 2 (1) 1 5 x y 【技巧点拨】1.当遇到与焦点距离有关的问题时，首先应考虑用定义解题若椭圆上的点到焦点的距离直接处理较困难，且问题中有一个与离心率相关的系数时应用第二定义转化成点到相应的准线的距离；否则应用第一定义转化成到另一焦点的距离来解决 2求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，有时还可根据条件用代入法用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能 (2)设方程：根据上述判断设方程 1(ab0)或1(ab0)

16、 22 22 xy ab 22 22 xy ba (3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组 (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求特别警示当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时，可设为1(m0，n0，mn)， 22 xy mn 也可设为Ax2By21(A0，B0 且AB) 要要点二点二椭圆的性质运用椭圆的性质运用【例 2】在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离2 心率为 (A) (B) (C) (D)2 2 2 2 1 4 2 【命题立意】本题重点考查了椭圆的基本性质。【标准解析】不妨设椭圆方程为（ab0），则有，

17、据此求出 22 22 1 xy ab 22 2 21 ba c ac 且 e，选 B。 2 2 【误区警示】准线方程和离心率的准确记忆和运用。【答案】B 【变式训练】2010 年大纲全国 I 理(16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延FCBBF 长线交于点，且，则的离心率为 .CDBF2FD uu ruur C 【答案】 2 3 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. xO y B F 1 D D 【解析】如图，,作轴于点 D1

19、点，F1、F2是它的两焦点，若 PF1PF2，求： (1) 椭圆的方程； (2) PF1F2的面积【命题立意】椭圆的方程以及性质的灵活运用。【标准解析】：（1）法一：令 F1(C，0)，F2(C，0) PF1PF2， 21 PFPF kk1 即1 3 4 3 4 cc ，解得 c5 椭圆的方程为1 25 2 2 2 2 a y a x 点 P（3，4）在椭圆上， 1 25 9 22 a b a 解得 a245 或 a25 又 ac， a25 舍去. 故所求椭圆的方程为1 2045 22 yx . 法二：利用PF1F2是直角三角形，求得 c5(以下同方法一) （2）由焦半径公式： | PF1

20、 |aex35 53 5 345 | PF2 |aex35 53 5 325 21F PF S 2 1 | PF1 | PF2 | 2 1 452520 【误区警示】1)求离心率一般是先得到 a，b，c 的一个关系式，然后再求 e； 2)由椭圆的一个短轴端点, 一个焦点,中心 O 为顶点组成的直角三角形在求解椭圆问题中经常用到；（3）运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。【变式训练】变式训练 2：已知 P（x0,y0）是椭圆1 2 2 2 2 b y a x （ab0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以 PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切. 证明设以 PF2

21、为直径的圆心为 A，半径为 r. F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r |PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（ar）连结 OA，由三角形中位线定理，知 |OA|=.)(2 2 1 | 2 1 1 raraPF 故以 PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切. 【技巧点拨】巧用定义解决问题【例 4】如图，设 E：（ab0）的焦点为与，且。求证：1 2 2 2 2 b y a x 1 F 2 F2, 21 PFFEP 的面积。 21F PFtan 2 bS 【命题立意】定义的运用【标准解析】设，则， 2211 ,rPFrPFcFFrrS2,2s

22、in 2 1 2121 又由余弦定理有2cos22)(2cos2)2( 2121 2 2121 2 2 2 1 2 rrrrrrrrrrc )2cos1 (2)2( 21 2 rra 2cos1 2 444)2cos1 (2 2 21 222 21 b rrbcarr 这样即有 2 1 S.tan cos2 cossin2 2sin 2cos1 2 2 2 2 2 bb b 【误区警示】解与有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合)( 21 为椭圆上的点PFPF 来解决。aPFPF2 21 【变式训练】已知椭圆的焦点是 F1（1，0）,F2（1，0）,P 为椭圆上的一点,且|F1F2|是|

23、PF1|和|PF2|的等差中项。（1）求椭圆方程；（2）若点 P 在第三象限，且P F1F2=1200，求 tanF1PF2。【标准解析】解：(1)由题设 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，c=1。2a=4，b=。椭圆方程为。31 34 22 yx (2)设F1PF2=,则PF2 F1=600,由正弦定理并结合等比定理可得到 , )60sin( | 120sin | sin | 0 1 0 221 PFPFFF )60sin(120sin | 00 12 PFPF 化简可得,从而可求得 tanF1PF2=。)cos1 (3sin5 5 3 cos1 sin 2 tan 11 35

24、【技巧点拨】解与P F1F2有关的问题（P 为椭圆上的点）常用正弦定理或余弦定理，并且结合 |PF1|+|PF2|=2a 来求解。【高考新动向高考新动向】椭圆是一种重要的圆锥曲线，是高考的必考内容椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容，而直线和椭圆的位置关系则是高考考查的热点.10 年高考全国卷以椭圆为载体，综合考查椭圆和直线方程的性质，点到直线的距离公式，向量的坐标运算等基础知识，将解析几何与平面向量的问题有机结合起来，进一步考查考生综合解题的能力，是一个新的考查方向第第 2 2 讲讲双曲线双曲线【知识精讲】 ( (一一) )双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 1

25、.双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数 2a（小于|）的动 1 F 2 F 1 F 2 F 点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件 2a|，这一条件可以用“三角形的两边之差M 1 F 2 F 小于第三边”加以理解.若 2a=|，则动点的轨迹是两条射线；若 2a|，则无轨迹. 1 F 2 F 1 F 2 F 若时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若时，轨迹为双曲线的 1 MF 2 MFM 1 MF 2 MF 另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”. 2. 双曲线的标准方程：和（a0，b0）.这里，其中|1 2 2 2 2 b y a x 1

26、 2 2 2 2 b x a y 222 acb 1 F |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 2 F 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果项的系数是正 2 x 2 y 数，则焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：正确判断焦点的位置；设出标准方程后，运用待定系数法求解. ( (二二) )双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 1.双曲线的实轴长为 2a，虚轴长为 2b，离心率1，离心率 e 越大

27、，双曲线的开1 2 2 2 2 b y a x a c e 口越大. 2. 双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程1 2 2 2 2 b y a x x a b y0 2 2 2 2 b y a x 是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：x n m y0 nymx ，其中 k 是一个不为零的常数.kynxm 2222 （三）双曲线的第二定义（三）双曲线的第二定义平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于 1 的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是1 2 2 2 2 b y a x 和

28、. c a x 2 c a x 2 在双曲线中，a、b、c、e 四个元素间有与的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准 a c e 222 bac 方程只要两个独立的条件. 【基础梳理】 1.双曲线的定义平面内到两定点F1、F2 的距离之差的绝对值为常数 2a(且 )的点的轨迹叫双曲线，有 |MF1|-|MF2|=2a. 在定义中，当时表示两条射线,当时,不表示任何图形. 2.双曲线的标准方程 (1)焦点在x轴上的双曲线: ,其中 ,焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0)； (2)焦点在y轴上的双曲线: ,其中c2=a2+b2，焦点坐标为F1(0,-c),F2(0,c). 3.中心在原点，

29、焦点在 x 轴上的双曲线的参数方程 (为参数). x y 4.双曲线(a0,b0)的几何性质 22 22 1 xy ab (1)范围： ,yR； (2)对称性：对称轴x=0,y=0，对称中心(0，0)；一般规律：双曲线有两条对称轴，它们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线. (3)顶点：A1(-a,0),A2(a,0)；实轴长，虚轴长 ; 一般规律：双曲线都有两个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点. (4)离心率e= ( )；双曲线的离心率在(1,+)内，离心率确定了双曲线的形状. c a (5)渐近线：双曲线的两条渐近线方程为 ;双曲线的两条渐近线方程为 . 22 22 1 xy

30、ab 双曲线有两条渐近线，他们的交点就是双曲线的中心；焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b;公用渐近线的两条双曲线可能是:a.共轭双曲线；b.放大的双曲线；c.共轭放大或放大后共轭的双曲线. 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两条渐近线方程，即方程就是双曲线的两条渐近线方程. 22 22 0 xy ab 22 22 1 xy ab 【要点解读】要点一、双曲线与其渐近线关系【例 1】双曲线-=1 的渐近线方程是（） 4 2 x 9 2 y A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x 2 3 3 2 4 9 9 4 【命题立意】考查

31、双曲线的渐近线的性质的运用。【标准解析】解析：由双曲线方程可得焦点在 x 轴上,a=2,b=3. 渐近线方程为 y=x=x. a b 2 3 【误区警示】双曲线的焦点位置与渐近线的方程的关系。【答案】A 【变式训练】过点(2，-2)且与双曲线-y2=1 有公共渐近线的双曲线方程是（） 2 2 x A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 2 2 y 4 2 x 4 2 x 2 2 y 4 2 y 2 2 x 2 2 x 4 2 y 【标准解析】解析：可设所求双曲线方程为-y2=，把(2，-2)点坐标代入方程得 =-2. 2 2 x 【技巧点拨】共渐近线的双曲线方程统一设为-y2=（

32、0） 2 2 x 【答案】A 要点二、双曲线的定义【例 2】如果双曲线-=1 上一点 P 到它的右焦点的距离是 8，那么 P 到它的右准线的距离是 64 2 x 36 2 y A.10 B. C.2 D. 7 732 7 5 32 要点三、双曲线的性质运用【例 3】已知圆 C 过双曲线-=1 的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中 9 2 x 16 2 y 心的距离是_. 【命题立意】考查双曲线的基本性质运用【标准解析】解析：由双曲线的几何性质易知圆 C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆 C 的圆心的横坐标为 4.故圆心坐标为(4,).易求它到中心的距离为.

33、3 74 3 16 【误区警示】结合圆的知识进行考查。【答案】 3 16 【变式训练】若 F1、F2分别为双曲线-=1 的下、上焦点，O 为坐标原点， 2 2 a y 2 2 b x 点 P 在双曲线的下支上，点 M 在上准线上，且满足=，=(+OF2MPMF1 | 1 1 PF PF )(0). | 1 1 OF QF (1)求此双曲线的离心率；(2)若此双曲线过 N(,2)，求此双曲线的方程；(3)若过 N(,2)的双曲线33 的虚轴端点分别为 B1、B2(B2在 x 轴正半轴上)，点 A、B 在双曲线上，且=，求时AB2BB2AB1BB1 直线 AB 的方程.来源:学|科|网【标准解

35、 (3)由=知 AB 过点 B2，若 ABx 轴，即 lAB:x=3，此时 AB1与 BB1不垂直.AB2BB2 设直线 AB 的方程为 y=kx-3k,代入-=1,得(3k2-1)x2-18k2x+27k2-9=0. 3 2 y 9 2 x 由题知 3k2-10 且 0，即 k2且 k2. 6 1 3 1 设交点 A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1+3,y1),=(x2+3,y2).AB1BB1 ,=0,即 x1x2+3(x1+x2)+9+y1y2=0.AB1BB1AB1BB1 此时 y1y2=k2(x1-3)(x2-3) =k2x1x2-3(x1+x2)+9 . 9 , 13 1

36、8 21 2 2 21 xx k k xx =k2(18-)=. 9+3+9+=0. 5k2=1.k=. 13 54 2 2 k k 13 18 2 2 k k 13 18 2 2 k k 13 18 2 2 k k 5 5 直线 AB 的方程为 y=x-或 y=-x+. 5 5 5 53 5 5 5 53 【技巧点拨】讲评：本题考查双曲线方程及性质，双曲线与向量知识交汇问题是近年高考考查的方向. 要点四、求双曲线的方程【例 4】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦距为 16，准线方程为 y=;(2)虚轴长为 12，离心率为;(3)顶点间的距离为 6，渐近线方程为 2 9 4 5 y

37、=x. 2 3 【命题立意】考查了双曲线方程的求解【标准解析】解：(1)由准线方程为 y=，可知双曲线的焦点在 y 轴上. 2 9 设所求双曲线的方程为 -=1(a0,b0). 2 2 a y 2 2 b x (3)方法一：当焦点在 x 轴上时，设所求双曲线的方程为-=1. 由题意，得解得 2 2 a x 2 2 b y , 2 3 , 62 a b a a=3,b=.所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为-=1. 同理可求焦点在 y 轴上的双曲线的方程为 2 9 9 2 x 4 81 2 y -=1.因此所求双曲线方程为-=1 或-=1. 9 2 y 4 2 x 9 2 x 4 81 2 y

38、 9 2 y 4 2 x 方法二：设双曲线方程为-=(0). 4 2 x 9 2 y 当 0 时，2=6,=.此时双曲线的方程为-=1.4 4 9 9 2 x 4 81 2 y 当 0)0)y y2 2=-2=-2pxpx( (p p0)0)x x2 2=2=2pypy( (p p0)0)x x2 2=-2=-2pypy( (p p0)0) 来源来源: :学学* *科科* *网网图图形形顶顶点点 (0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0) 对对称称轴轴 . . x x轴轴y y轴轴 . . 焦焦点点 F F( ( ,0),0) 2 p . .

39、 . . F F(0,-(0,- ) ) 2 p 离离心心率率 e=1e=1e=1e=1e=1e=1e=1e=1 准准线线 . . x x 2 p y y 2 p . . 焦焦半半 x x0 0+ + 2 p . . . . -y-y0 0 2 p 径径【要点解读】要点一、抛物线的方程和性质【例 1】（1）抛物线的焦点坐标是_. 2 4axy （2）焦点在直线上的抛物线的标准方程是_.其对应的准线方程是_.042yx (3)以抛物线的一条焦点弦为直径的圆是，则_02 2 ppyx086 22 yxyxp 【命题立意】考查抛物线的性质运用。【标准解析】解：（1）焦点 F a16

40、1 , 0 （2）因为焦点在坐标轴上，所以焦点为或，故抛物线的标准方程为或,0 , 42, 0 xy16 2 yx8 2 对应的准线方程是。2, 4yx （3）因为该圆与该抛物线的准线相切，所以21 2 p p 【误区警示】焦点坐标能否能正确求解【变式训练】(1)到 y 轴的距离比到点的距离小 2 的动点的轨迹方程是_0 , 2 (2)一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是。在杯内放入一个玻璃球，要2002 2 yyx 使球触及酒杯的底部，则玻璃球的半径的范围为（） 1 0 . rA1 0 . rB2 0 . rC2 0 . rD 【标准解析】（1）即为动点到点（2，0）的距离等于到

41、直线的距离，或动点在 Y 轴的非正半轴上，2x 所以轨迹方程为或xy8 2 00 xy （2）设圆为，抛物线为，联立得，令，得， 2 2 2 rryxyx2 2 012 2 yry01r ，故选 A。1 max r 【技巧点拨】抛物线定义的运用要点二、抛物线的实际运用【例 2】河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽度为 8 米，一小船宽 4 米，高 2 米，载货后船露出水面的部分高 0.75 米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？【命题立意】对于抛物线的实际运用【标准解析】解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为。将 B（4,-5）代入)0(2 2

42、 ppyx 得 P=1.6船两侧与抛物线接触时不能通过yx2 . 3 2 则 A(2,yA)，由 22=-3.2 yA得 yA = - 1.25 因为船露出水面的部分高 0.75 米所以 h=yA+0.75=2 米答：水面上涨到与抛物线拱顶距 2 米时，小船开始不能通行【误区警示】注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧【变式训练】如图，南北方向的公路 l ,A地在公路正东 2 km 处，B地在A东偏北 300方向 23 km 处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路 l 和到A地距离相等。现要在曲线PQ上一处建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、到

43、B修建费用都为a万元/km,那么，修建这条公路的总费用最低是（）万元 A.(2+3)a B.2(3+1)a C.5a D.6a 【标准解析】运用抛物线进行求解【技巧点拨】巧设坐标是解决圆锥曲线问题的关键。【答案】C 要点三、抛物线的综合运用【例 3】如图所示，直线和相交于点 M，点，以 A、B 为端点的曲线段 C 上任一点到 1 l 2 l 21 ll 1 lN 的距离与到点 N 的距离相等。若为锐角三角形，建立适 2 lAMN6NB, 3,17且ANAM 当的坐标系，求曲线段 C 的方程。【命题立意】抛物线定义以及坐标法解决几何问题的思想【标准解析】解：以直线为 x 轴，线段

44、 MN 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线 1 l 段 C 是以点 N 为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中 A、B 分别为曲线段 C 的端点。 2 l 设曲线段 C的方程为，其中为 A、B 的横坐标，)0,)(0(2 2 yxxxppxy BABA xx , ，所以，由，得MNp ) 0 , 2 (), 0 , 2 ( p N p M 3,17ANAM172) 2 ( 2 AA px p x （1）（2），（1）（2）联立解得，代入（1）式，并由92) 2 ( 2 AA px p x p xA 4 0p 解得，因为为锐角三角形，所以，故舍去，所以 2 2 1 4 AA

45、 x p x p 或AMN A x p 2 2 2 A x p 1 4 A x p 由点 B 在曲线段 C 上，得，综上，曲线段 C 的方程为4 2 P BNxB)0, 41 (8 2 yxxy 【误区警示】本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。【变式训练】设抛物线的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物)0(2 2 ppxy 线的准线上，且，证明直线 AC 经过原点 O。轴xBC / 【标准解析】证明一：设 AB：02,2, 2 222 ppmyypxy p myx得代入由韦达定理，

46、得 A BBA y p ypyy 2 2, 即）（上，在准线轴，且 B y pp xxBC, 2 C 2 C/ 则，故直线 AC 经过原点 O。 OA A A A B OC k x y y p p y k 2 2 【技巧点拨】充分结合斜率相等进行判定三点共线要点四、抛物线和数列的运用【例 4】设抛物线的焦点为 A,以 B(a+4,0)点为圆心，AB为半径，在 x 轴上方画半圆，)0(4 2 aaxy 设抛物线与半圆相交与不同的两点 M，N。点 P 是 MN 的中点。（1）求AM+AN的值（2）是否存在实数 a，恰使AMAPAN成等差数列？若存在，求出 a，不存在，说明理由。【标准解析】

47、解：(1)设 M,N,P 在抛物线准线上的射影分别为 M,N,P. AM+AN=MM+NN=xM+xN+2a 又圆方程16)4( 22 yax 将代入得得AM+AN=8axy4 2 08)4(2 22 aaxaxaxx NM 42 (2)假设存在 a 因为AM+AN=MM+NN=2PP 所以AP=PP ，P 点在抛物线上，这与 P 点是 MN 的中点矛盾。故 a 不存在。【误区警示】巧妙的运用定义进行求解【答案】略【变式训练】抛物线上有两动点 A，B 及一个定点 M，F 为焦点，若成等02 2 ppxyBFMFAF, 差数列求证线段 AB 的垂直平分线过定点 Q（1）若（O 为坐标原点），求抛物线的方程。6, 4OQMF （2）对于（2）中的抛物线，求AQB 面积的最大值。，又点到 AB 的距离， 4 256 2 1 t0 , 6Q 2 16td dABS AQB 2 1 24 16256 4 1 tt 642 162564096 4 1 ttt 令，则，令即，得 642 162564096tttu 53 66451

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