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1、数列通项公式的十种求法、公式法 例1已知数列an满足an干=2an +3黑2，a1 二 2 ,求数列a0的通项公式。解：an4=2&十3H两边除以2T得解=an+3,则触一2=3,故数列与是 21 2n 221 2n 22a 23a_3以4=1为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得an = l+(n-1)-,21 222n2一 31c所以数列an的通项公式为an =(-n-)2noa a3评注：本题解题的关键是把递推关系式an4 = 2an+3M 2n转化为一翟二,说明数列2n 1 2n 2a是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出an- =1 +(n-1)3 ,进而求出数
2、列an的通项公式。二、累加法例2已知数列an满足an书=an+2n+1,a1=1 ,求数列an的通项公式。解：由 an+ =an +2n+1 得 an由一an =2n+1 则an =(an - an二)(an 1 - anN) I H (a3 - a2) (a2 - a1 a12( n -1) 1 2(n -2) 1 IH (2 2 1) (2 11)1= 2(n -1) (n -2) IH 2 1 (n -1) 1= 2(n _1)n (n -1) 12二(n - 1)(n 1)12 二 n2所以数列an的通项公式为an =n2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an+ = an +2n+1
3、转化为an+-an =2n + 1,进而求出(an an)+(anan/)+|+(a3 a2)+(a2 a1)+ai ,即得数列an的通项公式。例3 已知数列an满足an卡=an+2父3n十1, ai =3,求数列an的通项公式。解 ： 由 an卡=an+2Mn+ 3 得 1an 平一an =2M3n+1 则an- (an- an 9( anan _2 )I H (a3 -a2 )( a2 ai)ai二(2 3n,1) (2 3nN 1)(2 32 1) (2 31 1) 3n 1 n 221= 2(3333 ) (n -1) 3=23(1-3) (n.1) 3 1 -3=3n -3 n -1
4、 3=3n n -1所以 an =3n n -1.评注：本题解题的关键是把递推关系式an4=an + 2M 3n+1转化为an中-an =2父3n+1 ,进而求出 an =(an -an)+(an-an/) +| + (a3 a2) +(a2 a1)+ a1,即得数列an的通项公式。亘2，3n 3 3n书，例4 已知数列an满足an书=3an +2M3n+1, a1=3,求数列an的通项公式。解：an.=3an +2 M3n+1 两边除以 3nz 得 al3n3n 13nan，nQn 一(Qn 333n)(晅 An)IH (1-1)3n421213)+(3+产川飞2313n 3n 3nl 3n
5、q32)a 2(n -1)至(1-3 ) 2n 11因此 an = 2in_J2 + 3+1=刍+1_3n31 -332 2 3nntt 2 n 1 n 1则 an n 33.322评注：本题解题的关键是把递推关系式2口中=34+25n+xx 5付=2an+20）, an1 0。在an4 =2父3nM a5式两边取常用对数得lg an书=5lg an+n lg3+lg 2设 lg an 1 x(n 1) y =5(lg an xn y)将式代入 11K,得 5lg an + n lg 3 +lg 2 + x(n +1) + y =5(lg an + xn + y),两边消去 5lg an并整理
6、，得(lg3 +x)n+x+y+lg2=5xn+5y ,则lg3lg3 x =5xx y lg 2 = 5yx =4,故 4lg3 lg2y 二164代入血,得 lgan 1 Jg3(n 1)幽 型=5(lgan n 屈 史)(2) u41644164-由皿十蛆不监+监二球+监个监+跖,0及” 41644164/日， lg3 lg3 lg2 -得 lgann04164lg an 1则1g3(n 1) .蛆监4164lg3 n Tn/盛164所以数列lg a +里n+鲂+蚂马是以lg7+蚂3+幽+旦2为首项，以5为公比的等 n 41644164lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2、n. t比
7、数列，则 lgan+Wn+上一+ = （lg 7+、一+、一+一）5 ,因此41644164ig an = (lg 7ig 3,ig 3,ig 24161)5nJ3n lg3 lg2464n1二 (lg7 lg 34lg 3111lg 24)5nl -lg34 - lg 316 - lg 2n 11司g(7 34 316 24)5n4 -lg(3 4 316 24)1= lg(7 345n 二=lg(75n -4= lg(7316 24)5nJ -lg(34 316 24)5n 5n F5nl-4B- 3 k 2丁)5n-4n-15n 113 162 4 )5n 1-15n _4n J则 an
8、 =75nL0,故 bn+ = J1 +24a书之0贝 U 2bn 书=4 +3,3 - 2+1-2一,一1可化为 b1+-3=-(bn -3), 1 所以bn 3是以b1 3 = 41 +24al 3= Jl+241 3 = 2为首项,以为公比的等比数 列，因此 bn3=2(-)2 = (：)n“，则 bn=(-)n+3,即,1+24an =(-)m+3,得2/仆/小 14=3(4)(2)3。评注：本题解题的关键是通过将j + 24an的换元为bn ,使得所给递推关系式转化1 -3 bn书=2bn形式，从而可知数列bn-3为等比数列，进而求出数列bn3的通项公式, 最后再求出数列an的通项公
9、式。九、不动点法a1 = 4 ,求数列an的通项公式。后力人21x -24斛：令x =,4x 1得 4x2 -20 x 24 0则 x1=2, x2 =3 是函数 f (x)21x-24 3=的4x 1 21a -24例14 已知数列an满足an4=一n,4an 1两个不动点。因为21an -24an i _2 _ 4an 1 an i -3 = 21an 一244an 1-2-321an -24 -2(4an 1) 13an -26 13 an -221an -24-3(4an 1) - 9an -27 - 9 an - 3所以数列an4 -2an132为首项，以13为公比的等比数列，故9a
10、n-3nan -2则an =+3。-2 是以一3评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)21x -24224的不动点,即方程x4x 121x-24的由的两4x 1个根x1 =2, x2 = 3,进而可推出an i - 2an i -31n,从而可知数歹U 9 an -3anan-2 一卜为等比数-3列，再求出数列an -2 一 el 一 ，、的通项公式，最后求出数列 an的通项公式。an -3例15 已知数列一一7a -2an满足an+ =， a1 = 2,求数列an的通项公式。2an 37x -2 一 2_ 3x -1解：令x =，得2x -4x +2=0,则x = 1是函数f (x)=的不
11、动点。2x 34x 7因为 an 1 -1 = 7a- -1 2an 35an -52an 32/小 Jn 1an “(4)(2)3评注：本题解题的关键是通过将+ 24an的换元为bn ,使得所给递推关系式转化13 ,， ，一，bn+=石4+3形式，从而可知数列bn-3为等比数列，进而求出数列bn-3的通项公式,最后再求出数列an的通项公式。九、不动点法21a. 24例14 已知数列an满足an+ =一n， a1 = 4 ,求数列an的通项公式。4an 121x24 一 o21x24解：令 x =，得 4x 20 x%4 0 ,则 x1 =2, x2 =3是函数 f (x)= 的4x 14x
12、1两个不动点。因为21an -24 2an1 -24an 1 -21an-24-2(4an1)13an-2613 an-2=。 所以数夕Dan 1 -321an-24 321an-24-3(4an1)9an -279 an- 34an 1a -2a 2 4 -213a-一b是以a=4=2为首项，以13为公比的等比数列，故评注：本题解题的关键是先求出函数个根x1 =2, x2 = 3,进而可推出an -3a1-3 4-3921x -2421x 24f(x)=的不动点，即方程x =的两4x 14x 1aA二2 二 13，曳二2 ,从而可知数列包二2 为等比数 an#3 9 an -3an - 3 J列，再求出数列la121的通项公式，最后求出数列an的通项公式。an -31 .7a -2例15 已知数列an满足an+ =, a1 = 2 ,求数列an的通项公式。2an 37x-22- 3x -1解：令x =，得2x -4x +2=0,则x = 1是函数f (x)=的不动点。2x 34x 7因为an 1 -17an -22an 3d 5an -5- 1 二2an 3-可编辑修改-Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！