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1、魔术中的数学(第11页，共11页)划掉的数字秀场魔术师让观众任意想一多位自然数(大于3位)，然后再把此数的每位数字顺序随意打乱，组一新数，再两数相减(大减小)，再让观众在结果中划掉一位不为0的数，其余的数报给魔术师。只见魔术师略一思索，马上就说出观众划掉了的数字。奇怪，难道魔术师有透视眼?揭秘其实，两数相减后，结果每位数相加，一直到最后一位都等于9(如:652413-123456=528957,5+2+8+9+5+7=36, 3+6=9)，根据这个规律，可很快推算出观众划掉的那位不为0的数，会了吗？手称扑克牌秀场魔术师将两副扑克牌合在一起，交给一位现场的观众，魔术师请观众从中任意取出一叠牌，但
2、不得少于10张，数一下有多少张，记在心里。观众数出78张牌交给魔术师。魔术师又让那位观众将张数的十位数与个位数加在一起，并从78张中再数出相应的张数。那位观众背过身去取出了15张牌，把剩下的还给魔术师。魔术师把牌放在手掌上，掂了一掂，就说:“这是63张牌。”观众点头表示魔术师猜对了。这是怎么回事呢?魔术师的手真的像秤一样吗?揭秘这套魔术利用了一个简单的数学原理，即任何一个两位数减去它个位数与十位数的和，结果一定是9的倍数。例如:13-(1+3)=9=1925-(2+5)=18=2937-(3+7)=27=3999-(9+9)=81=99魔术师就是应用这个原理和根据经验估算出来的。他将剩下的牌放
3、在手掌上称的同时，根据经验估算一下手中牌的大约张数，然后说出一个与它接近的9的倍数，这个数就是牌的张数。心中的数字秀场魔术师对观众说:“我有五张卡片，上面写着数字。1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,312,3,6,7,10,11,14,15,18,19,22,23,26,27,30,314,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,28,29,30,318,9,10,11,12,13,14,15,24,25,26,27,28,29,30,3116,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,
4、31你心中想一个031中的一个数字。告诉我这个数字在那几张卡片上有(不能多也不能少有的全说上)，我便会知道你想的是什么数字。”果然按照魔术师说的，他猜出了观众选的数字。揭秘这个魔术利用的是二进制的原理。这五张卡片看似没有什么规律，其实：将0-31这32个数字化为二进制数后，分别为0,1,l0,11，11110，11111。凡是在第n张卡片上存在的数，将它化为二进制数后，从右往左数第n位数一定是1。反之，凡是在第n张卡片上不存在的数，将它化为二进制数后，从右往左数第n位数一定是0。例如：13在第1，3，4张卡片上都存在，也就是说，将13化为二进制数后，从右往左数第1，3，4位数上都是1，其余位上
5、都是零。所以13(10)=1101(2)(注:括号中的数代表采取几进制)，1101(2)=2的三次方+2的平方+0+2的零次方(任何数的零次方均为1)=13。又如：0在任何卡片上都没有，所以0(10)=0(2)，这个数为零。又如：31在任何卡片上都有，所以31(10)=11111(2)=16+8+4+2+1 =31。奥秘就是这个。明白了吧。召之即来秀场表演者说:“新学期开始，大家都喜欢一些吉祥话语，互相祝贺，是吧?”众人齐声说:“当然啦!吉利话让人听起来愉快、舒畅!”“我可以用数学语言把大家喜欢的吉祥语呼唤出来!”表演者说。有人说:“我想在新的一年里万事如意!你能召来吗?”“万事如意!好!”表
6、演者说，“数学语言就叫做3451吧!”接着表演者要求:“凡是要求这个祝贺语的人，都把自己年龄告诉俐俐(魔术师助手)，由俐俐算出大家年龄的和。”一会儿.俐俐回答:“算好了!”表演者说:“请男同学将这个和用3乘，再加上自己的出生年、月、日数，比如1982年7月5日生，便在年龄和上加1982,7和5,再将自己身高的整厘米数(零头不计)也加上。“女同学将年龄和用2乘，也加上自己的出生年、月、日数和身高的整厘米数。”不一会，各人都说:“也算好啦!”表演者接着说:“因为数字9最大，9本身就是吉祥数，请各人将自己的得数用9乘，最后把积的各位数字加起来，直到得出一位数为止。”按照要求，俐俐的计算过程：1.全部
7、参加人的年龄和：67岁。2.用2乘这个和(俐俐是女的)，再加自己的出生年月日和身高：672+1983+6+13+143=22793.乘以9：22799=205114.积的各位数字和：2+0+5+1+1=9表演者说:“算好了，我们便请万事如意出来：请各人将得数再乘以300，加上751！算好的，请报结果!”俐俐计算得最快：5.9300+751=3451紧接着，人人都异口同声地说:“得数是3451!揭秘这个魔术仍是根据被9整除的数的特征设计出来的。在得出9”之前的各种运算:年龄和，出生年月日都是表演者故意设计的迷魂阵，实质是要把得数乘以9，再求积的数字和。一旦求出了积的数字和(也必然最终得9)，便可
8、根据需要，随心所欲地安排算式，直至使它得出预定的数字。如:可以要各人用加得的9去除27000，得到的商再加451，这样，同样可以得到3451。猜出你心中的牌秀场 (一)首先将牌发成三列，每列七张(纵向方式发排)。(二)让对方利用目光选定一张底牌，并告诉该牌所在的列数。(三)将对方所选定的底牌的那一列牌放置第二顺位后按顺序将三列的牌收起排在一起。(四)将牌第一次重新发成三列，每列七张，并请对方告诉刚才所定的那一张底牌排在哪一列。(五)重复(三)及(四)的动作，做第二次的重新发牌，等对方告之所选定的底牌所在第几列后，将牌重复(三)及(四)的动作。(六)此次发牌并不亮牌而是将牌盖住。(七)翻开第二列
9、的正中间一张牌就就是原先对方心中所选定的底牌。揭秘1.在研究一开始先了解牌数与列数及位置的关系，发现如下：第1张牌13=01第一列第1张牌第2张牌23=02第二列第1张牌第3张牌33=10第三列第1张牌第4张牌43=11第一列第2张牌第5张牌53=12第二列第2张牌第6张牌63=20第三列第2张牌从以上演算发现：(l)在算式中余数决定该牌在第几列：如余数是1时则在第一列；余数是2时则在第二列；余数是0时则在第三列。(2)商决定该牌在列上的位置，但必须是(商+1)：如商是0则(0+1)是该列的第1张牌，商是1则(1+l)是该列的第2张牌；但是若能整除时，则商不需要加1(如33=10,63=20分
10、别在第三列的第1张牌及第三列的第2张牌)。有了以上的总论，我们就很容易知道牌数所在的位置了。2.第一次共发三列，每列七张牌，让对方利用目光选定一张底牌后，若将该列牌以第二顺位放人时，则此列的第一只牌到最后一只牌分别是总牌数的8,9,10,11,12,13,14共七张牌，当第二次发牌时它们所在的位置分别如下：83=22第二列第3张93=30第三列第3张103=31第一列第4张113=32第二列第4张123=40第三列第4张133=41第一列第5张143=42第二列第5张第二次发牌后原先第二列的七张牌会落在三列的第3,4,5张牌中(虽然第3张和第5张并不是三列都有，但可以假设全在可能之范围)，再经
11、过对方告知在哪一列后，该牌以第二顺位收牌后在总牌数的第10,11,12张牌。3.第三次发牌后第10,1I,12三张牌会落在一、二、三列的第4张牌：103=31第一列第4张113=32第二列第4张123=40第三列第4张此时对方所选择的底牌的范围在一、二、三列的第4张牌，就是各列的中间那张牌。当对方再告知所选择的底牌位于哪一列时，该列在放置第二顺位后收起时，第4张再加上前一列的7张是总张数的第11张，也就是第二列的正中间那张牌。113=32第二列第4张4.第四次发牌时，不必亮牌，直接发牌，而对方所选择的底牌必定是第二列的正中间牌(第4张)。数学猜牌术秀场表演者将一副牌交给观众，然后背过脸去，请观
12、众按他的口令去做。1.在桌上摆3堆牌，每堆牌的张数要相等(假定是15张)，但是不要告诉表演者。2.从第2堆牌中拿出4张牌放到第1堆里。3.从第3堆牌中拿出8张牌放在第1堆里。4.数一下第2堆还有多少牌(本例中还有11张牌)，从第1堆牌中取出与第2堆相同数的牌放在第3堆。5.从第2堆中拿出5张牌放在第1堆中。表演者转过脸来，现在说：“把第2堆牌、第3堆牌拿开，那么第1堆中还有21张，对不对?”观众数一下，果然还有21张。揭秘这是一个利用数学中的恒等变换原理来设计的魔术。必须记住：一是每堆牌的开始的张数必须相等。二是第3次从第1堆牌中移去现在和第2堆牌中相等的牌数。在本例中的数学式为42+8+5=
13、21。这是一个完全靠数学规律来表演的魔术，在这个魔术中的观众应该是比较“老实”的观众。如果他不完全按你告诉他的做，你最后的魔术将会失败。不过这种魔术最大的迷惑人的地方就是完全是由观众在控制牌，而且它的互动性很强。当然不是所有的观众都是这种“老实人”，对付他们就要用到一些“强给性牌”的魔术了。四重迷惑秀场1.魔术师交给观众一副扑克牌，让观众从上面拿一小叠牌，然后偷偷数拿了多少张，不让魔术师知道。2.魔术师然后从剩下的扑克牌中抽出20张，正面朝上，摆成一列。3.接着魔术师说:“现在开始数这20张牌，如果观众拿了5张牌，请记住第5张牌，如果拿了8张，记住第8张牌。不用告诉我。”4.数完后，观众默默记
14、住那张牌，然后魔术师突然说出那张牌的点数。5.接着，魔术师又说:“其实我早知道，你会记住这张牌。”然后把20张牌翻过来，只有观众记住的那张牌，牌背是红色，其他的都是蓝色。6.最后，魔术师又说:“你还不相信我，好，看看你刚才拿的那叠牌，第一张和你记的牌一样。”观众一看，真的一样。揭秘1.这其实是一个数学魔术，准备一副扑克牌(例如54张)：1,2,3,19,20,21,22,23,54。如上面排列，先找出第21张牌，并把牌背颜色弄得与其他的不一样(例如画个笑脸，一个爱心)，让观众拿牌时，一定要说只拿一小叠，如果拿了20张或超过20张，你就表演失败。2.你把牌面朝上(第54张牌此时在最上面，但是你要
15、摸下面的牌来发)，从左到右发20张牌。数数时从右往左数。3.如果观众拿的是3张牌，你发的20张牌就是第4到第24，从第24张牌往回数到3，就是第21张牌。如果观众拿的是5张牌，你发的20张牌就是第6到第26，从第26张牌往回数到5，也是第21张牌。如果观众拿的是8张牌，你发的20张牌就是第9到第29，从第29张牌往回数到8,也是第21张牌。所以，无论如何，观众记住的都是第21张牌。翅味拓展：神奇的数学魔术生活中我们常常相信亲眼所见的，但又常常被自己的眼睛所骗，魔术就是一个很好的例子。数学中也有这种欺骗我们眼睛的奇妙魔术。先说问题1，请看下面这两个图形，如果将图1中的四块几何图形裁剪开来重新拼接
16、成图2，我们将会发现，与图1相比，图2多出了一个洞!这怎么可能呢?理性会让我们提出这样的疑问。奥妙何在?我们姑且先不揭秘，让喜欢思考的同学先动动脑子。 我们再来说问题2吧，将图3中面积为1313=169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形，然后重新拼接成图4，计算可知长方形的面积为821=168，比正方形少了一个单位的面积，为什么呢? 这两个问题是这样地令人惊奇，值得我们花费一些时间按照所说的剪裁方法动手做一做。以问题2为例，我们在白纸上将正方形量好画出，剪成四块，重新安排后拼成长方形，除非图形做得很大，并且做图和剪裁都十分精确，否则我们一般是不会发现拼接成的长方形在对角线附近发生了微小的重叠
17、，正是沿对角线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失。要证实这一点我们只要计算一下长方形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率，比较一下就会清楚了。问题2中涉及四个数据5,8,13和21，有一定数学基础的同学会认出这是著名的斐波那契数列中的四项，斐波那契数列的特征是它的每一项都是前两项之和：1,1,2,3,5,8,13,2I,34,我们还可以使用这个数列中的其他相邻四项来试验这个过程，无论选取哪四项，都可以发现正方形和长方形的面积是不会相等的，有时正方形的面积比长方形多一个单位面积，有时则正好相反。多做几次上述实验，我们就会得出斐波那契数列的一个重要性质：这个数列任意一项的平方等于它前后相邻两项
18、之积加1或减1。用公式表示就是：。其中表示正方形的面积，表示长方形的面积。知道了这个事实，我们就可以自己构造类似于问题2的几何趣题。上面的这个斐波那契数列是以1,1两数开始的，广义的斐波那契数列可以从任意两数开始。比如说，用广义斐波那契数列2,2,4,6,10,16,做上述试验，就会多得或丢失四个单位的面积。如果用a,b,c表示广义斐波那契数列的相邻三项，以x表示“得”或“失”的数字，则下列两式成立：我们还可以来研究这样一个有趣的问题：把正方形按上述方法剪成四块，是否会拼接成一个与它面积相等的长方形?要回答这个问题，可以令方程组中的x等于零，再解之，得唯一正解：。其中恰是著名的黄金分割比，它是
19、一个无理数，等于1.618033这就是说，唯一的每项平方等于前后相邻两项之积的斐波那契数列是：1,2,3,4要证明它的确是斐波那契数列，只要证明它等价于数列1,+1,2+1,3+2就可以了。只有用这个数列相邻项数表示的长度来分割正方形，才可以拼出面积不变的长方形。我们再回到问题1，题中涉及的数据1,1,2,3,5,8,13恰是斐波那契数列的前七项，因此问题1实际上是问题2的一个复杂化版本，计算一下图中两个大小三角形斜边的斜率，那么一开始的疑问已不讲自明。最后再给喜欢思考的同学提出一个与前两个问题略有不同的问题3，图5这个正方形按图中标出的数据分割成了五块几何图形，剪开后重新拼接成图6，奇怪，又多出了一个洞!这次斜线处并无叠合，少掉的一个单位面积哪里去了呢?这个问题最初是由美国魔术师保罗卡瑞提出的，虽然它曾经难倒了许多美国人，但相信它难不倒聪明的中国学生。