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1、精品资料第四章静态场的解练习题1 、设点电荷q 位于金属直角劈上方，其坐标如右图所示，求（1）画出镜像电荷所在的位置（2）直角劈内任意一点(x, y, z) 处的电位表达式（ 3）qqq图 1图 2解：（ 1 ）镜像电荷所在的位置如图1 所示。（2 ）如图 2 所示任一点(x, y, z) 处的电位为q111140r1r2r3r4r1x1r2x1其中，22y 2 y 22 z22 z2r3x1r4x122y 2 y 22 z22 z22 、 两个点电荷Q 和Q 位于半径为 a 的接地导体球的直径延长线上，距球心均为d 。证明镜像电荷构成一位于球心的电偶极子，且偶极矩大小为2a3Q。d2证明：由
2、点电荷的球面镜像法知， Q 和 Q 的镜像电荷 Q ,Q分别位于球内 Q 和Q 连线上大小分别为a Q ，且分别距球心为a2（分别位于球心两侧） 。可见 Q , Q构DD成电偶极子，由电偶极距的定义式得偶极距的大小为：可修改精品资料p qla Qa 22a 3Q 。结论得证。DDD 23 、已知一个半径为a 的接地导体球，球外一个点电荷q 位于距球心 O 为 d 处。利用镜像法求球外空间任意点的电位分布。解：由点电荷的球面镜像法可知，q 的像电荷 q 必定位于球内，且在q 与球心 0 连线上，位置在距离球心设为f 处。建立直角坐标系，由边界条件( 球） =0可取球面上两个特殊点 A, B 讨论
3、。 A, B 是 q 与球心 0 连线所对应的直径与球面的两个交点。由图示及点电荷的电位公式得：( A)qq0，40 (da)40 (af )(B)qq0 。40 (d a) 40 (a f )解此方程组得： qa q, fa2。dd所以任意场点 P( x, y) 处的电位为：qq。40 r40 r其中 r , r分别是点电荷 q 和 q到场点 P 的距离。值分别为 r ( x d )21( xf ) 21y 2 2 , ry 2 2 。4 、半径为 a 的不接地导体球附近距球心O 为 d （ da ）处有一点电荷 q ，用镜像法计算球外任一点的电位。解：由点电荷的球面镜像法可知，q 的像电荷
4、除了有q （即导体球接地时对应的结果，aa2），还在球心处有另外一个镜像电荷q ，以保证导体球面电qq ，其位置为 fdd势不为零的边界条件成立，且可知qq 。所以任意场点 P 处的电位为：qqq4 0 r40r40 r可修改精品资料其中 r , r , r分别是点电荷q 、 q 和 q 到场点 P 的距离（可在具体坐标系中表示出来）。5 、接地无限大导体平面上半空间有一点电荷，电荷量为1 ，距导体平面为h 。（1 ）导出电位函数满足的方程并应用镜像法求出位函数的解。（2 ）求导体表面上感应面电荷密度，并证明总感应电荷为1 。解：（ 1 ）由题意知，导体平面上半空间无点电荷体分布，即0 。故电
5、位函数满足拉普拉斯方程20 。建立坐标系， 令 z0 为导体平面， 已知点电荷位于z 轴上，坐标为（ 0 ，0 ， h ）。边界条件为：()0,( z0)0 。则镜像电荷位于z 轴上（ 0 ， 0 ，h ）点，大小为 -1.于是空间任意场点P 【坐标为（ x, y, z ），】的电位为已知点电荷1 与镜像电荷-1共同产生的，其值为11。其中 r , r是场点分别到已知点电荷1 与40r40 r /镜像电荷 -1的距离，其值分别为r 2x2y 2( z h)2 , rx2y 2( zh)2 。（2 ）证明：由上题电位值可计算出P点的电场强度各分量的值份分别为Exx11y(111z h z h(3
6、r3 ), Ey43r3 ), Ez(r3r3 )4 0 r0 r40由 静 电 场 的 边 界 条 件 Dns， 可 得 导 体 表 面 的 电 荷 面 密 度 为 ：s0 EZh2( x2y 23h2 ) 2所以导体表面上总感应电荷为：qhdxdy31 ，结论得证。s ds2( x2y22)2h6 、如题图（ a ）所示，在 z0 的下半空间是介电常数为的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h 处有一点电荷 q 。求（ 1） z 0 和 z 0 的两个半空间内的电位；（ 2）介质表面的极化电荷密度， 并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷 q 。可修改精品资料zzzqqR1qqhPhhR
7、20oo0hRoP0图 2.13q题4.24 图（ a ）题4.24图（ b ）题4.24 图（ c ）解：（ 1 ）在点电荷 q 的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图（ b ）、（ c ）所示）q0q ，位于 zh0q0q ， 位于 zh0上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷 q 共同产生，即1qq0 R140 R4q10140r 2(z h)20r 2(z h)2下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷 q 共同产生，即2qqq14R22 (0 ) r 2( z h) 2（2 ）由于分界面上无自由电荷分布，故极化
8、电荷面密度为p n? P1P2 z 00 (E1zE2z) z 00 (21 )z 0(0 )hqh2 )3 2zz2 (0 )(r 2极化电荷总电量为qPPdS(0 )hqr3 2 drP 2 r dr00 (r22S0h )可修改精品资料(0 )qq07 、如图示，一个半径为 R 的导体球带有电荷量为 Q ，在球体外距离球心为 D 处有一个点电荷 q 。D（ 1）求点电荷 q 与导体球之间的静电力；d（ 2）证明当 q 与 Q 同号，且Qq o qq zRRD 3QRq( D 2R 2 ) 2D成立时， F 表现为吸引力。解：（ 1）导体球上除带有电荷量 Q 之外，点电荷 q 还要在导体球
9、上感应出等量异号的两种不同电荷。 根据镜像法， 像电荷 q 和 q 的大小和位置分别为 （如题图所示）qRq ，R2DdDqqR q ， d 0D导体球自身所带的电荷 Q 则与位于球心的点电荷 Q 等效。故点电荷 q 受到的静电力为F FqqFqqFQ qqqq( Dq )40 (Dd ) 240 D 2qQ( R D) qRq40D2D D22R D（2 ）当 q与 Q 同号，且 F 表现为吸引力，即 F0 时，则应有Q(R D )qRq0D 2D DR D 2 2由此可得出3QRDR可修改精品资料8 、已知一点电荷q 与无穷大导体平面相距为h ，若把它移动到无穷远处需要作多少功？解：建立一
10、维直角坐标系，坐标原点位于无穷大导体平面上。令已知点电荷q 位于坐标轴上，距坐标原点为h 。直接计算电场力做功为WqE ?dl其中电场是已知点电荷q 所在空间的电场（由q 以外的电荷所激发），即镜像电荷 q 在此空间产生的电场：q?q?E2 ey0 ( 2 y)40 (2y)2 ey4则要求的功为WqE ? dlqEdyqq2 dyq 2h 4 0 ( 2y)16 0 h可见，电场力做负功，则外力克服电场力做功为Wq 2160 h9 、无限大导体平面上方有一电荷线密度为l 的长直线电荷，电荷线与导体平面的距离为 h ，求此电荷线单位长度所受的力。解：由于连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近
11、时，根据叠加原理可知，同样可以应用点电荷的平面镜像法求解。因此，长直线电荷l 的镜像电荷为线密度为 ll ，距离导体平面为 h 的电荷。已知线电荷l 所受的力即镜像电荷l 在此空间产生的电场 E 所施加。其电场为l?E 2 0 rer则长度为 L 的线电荷l （总电荷 Ql L ）所受的电场力为F QEl Lll2 L4 0 h2 0 (2h)可修改精品资料F2故单位长度所受的力为：lf4 0 hL10 、一导体长槽两侧壁向 y 方向无限延伸且电位为零，槽底面电位为U 0 ，如图所示。求槽横截面内的电位分布。解：由于所求区域无源，且为二维场，电位函数x, y 满足的拉普拉斯方程为：222x,
12、y0x2y 2边界条件为：x00xa0y0U 0y0利用分离变量法，令：x, yfx g y则得：d 2 f2f0dx2k xd 2 g20dy2k y gk x2k y20根据边界条件x 0xay0 ，x , y 的通解可写为：nnyx, yAn sinxe an 1a再由边界条件，可得y 0An sinnxU 0n1a可修改精品资料利用三角函数的正交归一性，求得An 为：An4U 0n 1,3,5n则得槽内的电位分布为x, y4U 0 sinnx enayn 1, 3 , 5 .na11 、如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的
13、电位为 U 0 ，求槽内的电位函数。解：根据题意，电位( x, y) 满足的边界条件为(0, y)( a, y) 0( x,0)0( x, b)U 0根据条件和，电位( x, y) 的通解应取为( x, y)Ansinh( ny )sin( n x )n 1aa由条件，有U 0n bn xAnsinh()sin()n 1aa利用三角函数的正交归一性， 两边同乘以sin(n x a) ，并从 0 到 a 对 x 积分，得到a2U 0Anasinh( n b a) 0sin( nx )dxa可修改精品资料2U 0(1 cos n )n sinh( nb a)4U 0, n1,3,5, Lnsinh( nb a)0，n2, 4,6, L故得到槽内的电位分布4U01nyn x( x, y)n 1,3,5,L n sinh(nsinh()sin()b a)aa可修改