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1、精品资源数列的通项公式与求和的常用方法精练1 .设 Zn=( -_- )n, (n C N ),记 Sn= I Z2 Zi | + I Z3 Z2 I + + I Zn+1 一 Zn | ,则 2lim $=.j 二2 .作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角 形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为 .3.数列an满足ai=2,对于任意的nCN *都有an 0,且(n+1)an2+an an+i 也用2=0,又 知数列bn的通项为bn=2nT+1.(1)求数列an的通项an及它的前n项和Sn；(2)求数列bn的前n项和Tn；(3)猜
2、想Sn与Tn的大小关系，并说明理由.4.数列an中，a=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1 an,(nC N ).(1)求数列an的通项公式；(2)设 Sn= I a1 I + I a2 I + I an I ,求 &;1(3)设bn=(ne N ),Tn=b1+b2+bn(nC N，是否存在最大的整数 m,使得对n(12-an)任意n N均有Tn m成立？若存在，求出 m的值；若不存在，说明理由325 .设数歹U an的前n项和为Sn,且Sn=(m+1)man.对任意正整数n都成立，其中m为 常数，且mv 1.(1)求证：an是等比数列；(2)设数列an的公比 q=f(m),数列bn
3、满足：b1= 1 a1,bn=f(bn 1)(n2,n N ).试问当 m3为何值时,lim (bn lgan) =m 3&也+b2b3十十0工以)成立？ n ，n ：-6 .已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+ - +b10=145.(1)求数列bn的通项bn；(2)设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且aw 1),记Sn是数列an的前n项和， bn试比较Sn与1 lOgabn+1的大小，并证明你的结论.7 .设数列an的首项 a=1,前n项和Sn满足关系式：3t& (2t+3)& 1=3t(t0,n=2,3,4 ).求证：数列an是等比数列；(2)设数列an的公比为
4、f(t),作数列bn,使 b1 = 1,bn=f( )(n=2,3,4 - ),求数列bn bn的通项bn；(3)求和：blb2b2b3+b3b4+b2n lb2nb2nb2n+1.参考答案：1.解析：设Cn =|Zn书Zn |=|(l-2L)n* _(Sn clc2111月力c -22121-J、n 2 n 1T) 口二)221 Tn=2一 2-2lim Sn =nT 二二2 -，2二1 二2答案：1+ 22 .解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列an,可得2口=合，正三角形的内切3 1圆构成等比数列rn,可得=231 a,6 2n，这些圆的周长之和 c= lim 2兀（门+2+rn）
5、=n :，3,3r:2a2,面积之和 S= lim 兀（/+22+n?）= a?,3 3答案：周长之和U兀2一一、一 2 a,面积之和一a3 .解：（1）可解得an 1 nann 1，从而 an=2n,Sn= n2+ n,(2)Tn=2n+n1.TnSn=2nn21 ,验证可知,n=1 时，Ti=Si, n=2 时 T2VS2； n=3 时，丁30门=4 时,T4VS4； n=5 时，T5S5； 猜想当n5时，TnSn, 可用数学归纳法证明4 .解：（1）由 an+2=2an+1n=6 时 T6S6.即 2n n2+1(略).an= an+2 an+1 = an+1 an可知an成等数圳，a4
6、 一 a1d= a4a1 = -2,.-.an=10-2n.4 -1(2)由 an=102n0 可得 n5时,Sn=n2 9n+40,2 一n n -n +9n前C Sn= 2. 一、n 9n+401 nm Q心、32成立，需-mT1= 1成立，即m2)m 1bn11111=1 +,即=1 , bnbn 3bnbn 1 为等差数列.1 =3+(n-1)=n+2, bnbnbn =(ne N*). n 2 m njn -1 mm an =() ,lim(bn lgan) =lim 。lg J =lg /m 1 n .：n .= ： n 2 m 1 m 11111.1. 11而lim3(b1b2
7、b2b3IH HR) =lim3g-一 一- W -nn : 3 4 4 5 n 1 n 2由题意知 lg m = 1, m =10, m = -10 .m 1 m 196.解：（1）设数列bn的公差为d,由题意得b1 =1.10(10-1) .10b sd d =1452解得 bi=1,d=3, . bn=3n 2.(2)由 bn=3n2,知 Sn = loga(1+1)+log a(1+ -)+ - +lOga(1+ 1) 43n -2=lOga (1+1)(1+ 1 ) - (1+ 1-) , 1 lOgabn+1=lOgaV3n-+1.4 3n - 23因此要比较Sn与1 lOgabn
8、+1的大小，3可先比较(1+1)(1+ 1 )(1+ 1)与厮 +1的大小，4 3n -2取 n=1 时，有(1+1) 池 1 +1取 n=2 时，有(1+1)(1+ 1) 33 2+1 4由此推测(1+1)(1+ 1) - (1+ 1)3/3n +14 3n -2若式成立，则由对数函数性质可判定：1_当 a 1时，Sn log abn+1,1 一当 0 Va1),式成立，即(1 +1)(1+1)(1+一)3k+1 .那么当n=k+1时， 4 3k -2111313 3k 1(1 1)(1)111(1 )(1 ) 3 3k 1(1) =(3k 2).；k(3k 2)2 一33k434 3k -
9、23(k 1)-23k 1 3k 1(3k 2)2 -(3k 4)(3k 1)2(3k 1)29k 4(3k 1)20,3 3k 13k 1(3k 2) 3 3k 4 =3 3(k 1) 1因而(1 1)(11 . .1 )IH(1)(14 3k -23k 1)33(k 1)1欢下载这就是说式当n=k+1时也成立.由(i ) (ii)可知式对任何正整数n都成立.11由此证得当 a1 时，Sn - logabn+1 ；当 0vav 1 时，& 一 logabn+1.337.解：(1)由 S1=a1=1,S2=1 + a2,得 3t(1+a2)(2t+3)=3t.2t 3 a23t ，a12t 3
10、3t又 3tSn(2t+3)Sn 1=3t, 3tSn 1 (2t+3)Sn 2=3t一得 3tan(2t+3)an 1=0.2t 33t尸2,3,4，所以an是一个首项为1公比为2二些的等比数列;3t一 2t 3 2 1 - 12(2)由 f(t)= = _ +_，付 bn=f()= +bn-1.3t 3 tbn3可见bn是一一个首项为1 ,公差为-的等差数列.32 2n 1于是 bn=1+ 3-1)=-, 2n 1 一，由bn=，可知3b2n-1和b2n是首项分别为4的等差数列,3于是b犷 S ,3bb2 b2 b3+b3b4 b4b5+ + b2n-1b2n b2nb2n+1= b2(b1 b3)+b4(b3 b5)+ + b2n( b2n1 b2n+1)4 ( b2+b4+- - +b2n)= - 4332n(4n 1、+ 三一)=4 (2 n2+3n).9