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1、1、设X a,b,则X的平庸拓扑为T2、设X a,b，则X的离散拓扑为T3、同胚的拓扑空间所共有的性质拓扑不变性质4、在实数空间 R中，有理数集 Q的导集是R5 x d(A)当且仅当对于 x的每一邻域X, X, ,a,b6、设a是有限补空间7、设A是有限补空间8、设A是可数补空间9、设A是可数补空间X中的一个无限子集，则X中的一个无限子集，则 X中的一个不可数子集，则X中的一个不可数子集，则U 有U(A x)d(A) = XA = Xd(A)= XA= X10、设X1,2,3，X 的拓扑 TX,2,2,3，则X的子集A1,2的内部为211、设X1,2,3，X 的拓扑 TX,1,2,3,则X的子
2、集A1,3的内部为112、设X1,2,3，X 的拓扑 TX,1,2,3,则X的子集A1,2的内部为113、设X1,2,3，X 的拓扑 TX,2,2,3，则X的子集A1,3的内部为14、设Xa,b, c,则X的平庸拓扑为TX, 15、设Xa,b,c，则X的离散拓扑为TX, ,a,b, c, a, b, a,c,b,c16、设X1,2,3，X 的拓扑 TX,2,3,2,3，则 X 的子集 A 1,3的内部为317、设X1,2,3，X 的拓扑 TX,1,3,1,3，则X的子集A 1,2的内部为118、f:XY是拓扑空间X到丫的一个映射,若它是一个单射，并且是从X到它的象集 f (X)的一个同胚，则称
3、映射个嵌入f是一-可编辑修改-19 f : XY是拓扑空间X到丫的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称 f是一个商映射.20、设X ,Y是两个拓扑空间，f ： X 是一个开映射21、设X ,Y是两个拓扑空间，f : X 是一个闭映射Y是一个映射，若X中任何一个开集Y是一个映射，若X中任何一个闭集22若拓扑空间 X存在两个非空的闭子集A,B，使彳导AB, A23若拓扑空间X存在两个非空的开子集A,B，使彳导AB, A24、若拓扑空间 X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空25、设丫是拓扑空间X的一个连通子集， Z X满足丫Z YU的象集 f (
4、U)是 Y中的一个开集,U的象集f (U )是Y中的一个闭集,B X ,则X是一个不连通空间B X ,则X是一个不连通空间，则Z也是X的一个连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质则称映射f则称映射f28、若彳意n1个拓扑空间X1,X2,L,Xn,都具有性质P,则积空间X1X2LXn也具有性质P ,则性质P称为有限可积性质29、设X是一个拓扑空间，如果 X中有两个非空的隔离子集A,
5、B ，使得 A30、若 X1, X2满足第一可数性公理，则积空间X1X2满足第一可数性公理31、若 X1, X2满足第二可数性公理，则积空间X1X2也满足第二可数性公理32、如果一个拓扑空间具有性质p ,那么它的性!可一个子空间也具有性质P ,则称性质33、设d是拓扑空间 X的一个子集，且 D X ,则称D是X的一个稠密子集B X则称X是一个不连通空间P为可遗传性质34、若拓扑空间 X 有一个可数稠密子集，则称 X 是一个可分空间35、设 X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个Lindel ?ff空间36、如果一个拓扑空间具有性质37、如果一个拓扑空间具有性
6、质P那么它的任何一个开子空间也具有性质P那么它的任何一个闭子空间也具有性质P，则称性质P为对于开子空间可遗传性质P，则称性质P为对于闭子空间可遗传性质38、设 X 是一个拓扑空间，如果 X 中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点 则称X是一个To空间；39、设 X 是一个拓扑空间，如果 X 中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点则称X是一个Ti空间；40设 X 是一个拓扑空间若X 中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交则称41、正则的T1空间称为T3空间；42、正规的 T1空间称为 T4空间43、完全正则的 T1空间称为 T35空间或Ty
7、chonoff空间X是一个T2空间三1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射(又)：设X是离散空间， Y是拓扑空间，11A Y ,都有f (A) X ,由于X中的任何一个子集都是开集，从而f (A)是 的.f : XY是连续映射，因为对任意中的开集，所以f : X Y是连续2、设T1,T2是集合XX,，从而X的拓扑，故A BT ，T的两个拓扑，则T 1 T 2不一定是集合X的拓扑(错)：因为(1)T 1,T 2是X的拓扑，故X ,T1，, T1 T 2(2)对任意的A, B T1 ，则有A,B T1且A, B ，由于T1, 丁,是X且A B 丁2,从而A BT1(3)对任意的tT1T2
8、,则T2,由于T1，T2是X的拓扑，从而U T UT1,U T UT2,故UT- UT1Tz ;综上有Ti也是X的拓扑3、从拓扑空间 X到平庸空间 Y的任何映射都是连续映射（对）：设f : XY 是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有Y,，易知它们在4、设 A为离散拓扑空间是X的开子集，且有5、设a为平庸空间X的一个邻域 X，且有y有 X （A y）6、设A为平庸空间Xf下的原象分别是 X ,，均为X中的开集，从而 f ： XY连续.X的任意子集，则d A （对）：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以 pp I A p ，即 p d A ,从而 d（A）
9、（X多于一点）的一个单点集，则 d A （错）：设A y则对于任x X , x y，x有唯一 X （A x）,从而X （A x） ，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域 X ，所以有d A X A .的任何一个多于两点的子集，则d A X （对）：对于任意x X,因为 A包含多于一点，从而对于 x的唯一的邻域X，且有 X （A x），因此x是 A的一个凝聚点，即x d(A)，所以 d A X .7、设X是一个不连通空间，则 X中存在两个非空的闭子集 空间殳A, B是X个丑非空的隔离子集叫 A 有：B B X （B A） （B B） 了 A, B 满足 A B , A B X .A, B
10、,使彳# A B ,A BB X ,显然AI B，并且这时B从而B是X的一个闭子集，同理可证X （对）：设X是一个不连通A是X 的一个闭子集，这就证明8、若拓扑空间 X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间（又）：这是因为若设 A是X中的一个既开又闭的非空真子集，9、1011A ,则A B都是X中的非空闭子集，它们满足A B X，易见 A, B是隔离子集，所以拓扑空间设拓扑空间 X 满足第二可数性公理，则 X 满足第一可数性公理（对） ：设拓扑空间 于每一个x X，易知B x B B| x B是点x处的一个邻域基， 有可数邻域基，故 X 满 足第一可数性公理.、若拓扑空间 X满
11、足第二可数性公理，则 基B ，因为Y是X的子空间，则 性公理.、若拓扑空间 X满足第一可数性公理，则X是一个不连X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基，对它是B 的一个子族所以是可数族， 从而 X在点x处X的子空间 Y也满足第二可数性公理（对）B| y B Y| B B是Y:由于X 的一个可数基,满足第二可数性公理，所以它有一个可数从而 X 的子空间 Y也满足第二可数X的子空间Y也满足第一可数性公理（对）：由于X满足第一可数性公理，所以对x Y,X 在点x处有一个可数邻域基 V x，因为丫是X的子空间，则V xl Y V Y|V V x是Y在点x的 一个可数邻域基，从而 X的子空间 Y也
12、满足第一可数性公理.12、设 X 1,2,3, T X, ,2,3,2,3，则（X,T）是T3空间.（错）：因为1,3是X的一个闭集，对 于点2和1,3没有各自的开邻域互不相交，所以X 不是正则空间，从而不是 T3空间。13 设 X 1,2,3，T X, ,1,2, 1,2，则（X,T ）是T3空间.（错）：因为 2,3 是X的一个闭集，对 于点1和 2,3 没有各自的开邻域互不相交，所以 X 不是正则空间，从而不是 T3空间.14、设 X包含1 ,从而15、设 X包含1 ,从而1,2,3X不是Ti1,2,3X不是TiT空间.T空间.X, ,1,3, 1,3,则（X,T ） 是T空间.（错）：
13、因为对于点1和点2 , 2没有开邻域不16、T3空间一定是 T2空间.（对）：因为X, ,1,3, 1,3,则（X,T）是T4空间.（错）：因为对于点1和点2 , 2没有开邻域不 （X,T ）是T4空间.空间是正则的T1空间，所以对于T3空间X中的任意不同的两点x, y X， y是X中的闭集，由于 X是正则空间，从而对于 x, y它们有各自的开邻域 U ,V使彳导U，所以X是T2空间.17、T4空间一定是 T3空间.（对）：因为T4空间是正规的 T1空间，所以对于 T4空间X 中的任意点 x和不包含 x的闭集 A,由于x也是一个闭集及X是正规空间，故存在x, A的开邻域U ,V使彳导UV四.1
14、 .同胚映射：设 X和丫是两个拓扑空间.如果 称f是一个同胚映射或同胚.2、集合A的内点：设 X是一个拓扑空间，A3、集合 a的内部：设 X 是一个拓扑空间，Af :XY是一个一一映射，并且 f和,这说明X是正则空间，因此 X是t3空间.1 .f : YX都是连续映射，则X .如果A是点x X的一个邻域，则称点X .则集合A的所有内点构成的集合称为集合x是集合A的一个内点.A的内部.4.拓扑空间（X,T ）的基：设（X,T ）是一个拓扑空间， B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是 B 中的某些元素的并, 则称B 是拓扑 T 的一个基.5.7、8、闭包：设X 序列：设X 导集：设X 不
15、连通空间：设是一个拓扑空间,是一个拓扑空间,是一个拓扑空间,9、A X .集合A与集合 A的导集d （A）的并A每一个映射S:ZX叫做X中的一个序列.d （A）称为集合A的闭包.集合A的所有凝聚点构成的集合称为X 是一个拓扑空间，如果 X 中有两个非空的隔离子集A的导集.A, B,使彳 A连通子集：设Y是拓扑空间 X 的一个子集如果 Y作为 X 的子空间是一个连通空间则称io、不连通子集设 Y是拓扑空间 X 的一个子集如果 Y作为X 的子空间是一个不连通空间则称B X，则称X是一个不连通空间.丫是X的一个连通子集.Y是X的一个不连通子集.11、12、A1空间：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一
16、个可数邻域基则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为 A2空间：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为A 2空间.13、可分空间：如果拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称 X 是一个可分空间.14、T0空间：设 X 是一个拓扑空间, 间.15、T1空间：设 X 是一个拓扑空间, 间.16、T2空间：设 X 是一个拓扑空间，如果 X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间如果 X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间如果 X中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个
17、开邻域互不相交,A 1空间.X是T0空X是工空则称拓扑空间X是T2空间.17、正则空间：设 X是一个拓扑空间， 如果 X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称 X是正则空间.18、正规空间：设 X 是一个拓扑空间如果 X 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域它们互不相交则称X 是正规空间.19、完全正则空间：设 X 是一个拓扑空间，如果对于 x X和X中任何一个不包含点x的闭集 B存在一个连续映射f：X 0,1使得f(x) 0以及对于任何 y B有 f(y) 1,则称拓扑空间 X 是一个完全正则空间.五2、设X , Y, Z都是拓扑空间.f : X
18、 Y , g : YZ都是连续映射，试说明 g o f : XZ也是连续映射.答：设W是Z的的任意一开集，由于 g :YZ是一个连续映射，j而 g 四)是Y的一个开集，由f : X Y是连续映射，故 f 1(g 1(W)是 X 的一开集，因此 (gof) 1(W) f 1(g 1(W)是 X 的开集，所以g o f : X Z是连续映射.3、设X是一个拓扑空间， A X试说明：若A是一个闭集，则A的补集A是一个开集.答：对于 x A ,则x A,由于A 是一个闭集,从而 x有一个邻域U使得 U (A x)，因此U A ，即 U A ，所以对任何x A , A是x的一个邻域，这说明 A是一个开集
19、.6、在实数空间r中给定如下等价关系：xy x, y (,1或者x,y (1,2或者 x, y (2,)设在这个等价关系下得到的商集 Y 1,2,3 试写出Y的商拓扑t .答： T ,Y,3,2,37、在实数空间r中给定如下等价关系：x y x, y (,1)或者x, y 1,2)或者x, y 2,)设在这个等价关系下得到的商集Y 1,1,2 试写出 Y的商拓扑t.答：T ,Y, 1, 1,112、离散空间是否为 A2空间？说出你白理由.答：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是庆2空间.至多含有可数多个点的离散空间是A2空间.13、更说明实数空间 R是可
20、分空间.答：因为 Q 是可数集，且 R的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域，从而与q都有非空的交，因此Q R ,故实数空间R是可分空间._19、若X是一个正规空间，试说明：对X的任何一个闭集 A及A的每一个开邻域 U，都存在 A的一个开邻域 V，使彳v VU .答:设 A是X的任何一个闭集，若 A是空集，则结t显然成立.下设 A不是空集，则对 A中任何一个开邻域 U ,则U的补集U 是一个 不包含点A的一个闭集.由于X是一个正规空间，于是 A和U分别有开邻域V和W,使彳导V W ，因此V W ,所以V W W U .20、试说明T1空间 X 的任何一个子集的导集都是闭集 .答：设 A是X
21、中任何一个子集，若 A是空集,则 d (A),从而 A的导集是集.下设 A不是空集，则对x (d(A) ，则x有开邻域U，使得 (U x) A ，由于X是T1空间，从而U x是开集，故U x(d(A),于是U (d(A),所以(d(A)是它每一点的邻域，故(d(A)是开集，因此d (A)是闭集.六2、设Y是拓扑空间 X 的一个连通子集，证明：如果 A和B 是X的两个无交的开集使得 Y AB ，则或者 YA，或者YB .证：因为A, B是X的开集，从而 A Y , B Y是子空间Y的开集.又因Y A B中，故Y (A Y) (B Y)；由于Y是X的连通子集，则A Y, B Y中必有一 个是空集.
22、若B Y，则丫A;若A Y，则丫B 。3、设Y是拓扑空间 X的一个连通子集，证明：如果 A和B 是X的两个无交的闭集使得 Y A B ,则或者 Y A ，或者 YB .证：因为A, B是X的闭集，从而A Y , B Y是子空间Y的闭集.又因YA B中，故Y (A Y) (B Y)；由于Y是X的连通子集，则A Y, B Y中必有一个是空集.若B Y , 则YA；若A Y ，则丫 B8、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间 .证明X不满足第一可数性公理 .证：若 X 满足第一可数公理， 则在x X 处，有一个可数的邻 域基，设为 V x，因为X是可数补空间，因此对 y X,yx，Xy是x的一个开
23、邻域，从而Vy Vx，使得 VyX y. 于是yVy ，由上面的讨论我们知道：X xyVy X x是一个不可数集，而Vu是一个可数集，矛盾.从而X不满足第一可y性X理xy X yy X x10、设X ,Y是两个拓扑空间，f : X Y是一个满的连续开映射.X满足第二可数性公理，证明：Y也满足第二可数性公理.证：设X 满足第二可数性公理， B 是它的一个可数基.由于 f : X Y 是一个开映射， B% f (B) |B B是由Y中开集构成 的一个可数族.下面证明 B海Y 的一个基.设U是Y的任意开集，则 f (U )是X中的一个开集.因此存在 B 1 B ，使得f 1(U ) UBB B.由于
24、f是一个满射，所以有U f (f 1(U ) U f(B)，从而U是B%3某些元素的并，故 B% Y 的一本基.这说明 Y 也满足第二可数性公理 .B B 112、A是满足第二可数性公理空间 x的一个不可数集。求证： a至少有一个凝聚点.证：若 A没有凝聚点，则对任 x A,一定存在 x的一个邻域Ux，使得：U x A x,由于X满足第二可数性公理，设 B是它的可数基，故一定存在一个B x B，使得：x BxU x ,更有ByA=x,若令C=Bx| x A, ByB, ByU y ,则有CB ,从而C必可数.于是Ax 人人人入人 人 x = U (BxA) .这样A就是可数集，这与题设A为不可
25、数集相矛盾，故 A至少有一个凝聚点13、喇满足第二可教隹纶！的空间中每一个由两两无交的开集构成的集族都是可数族.证：设A是满足第二可数性公理的空间X中由两两无交的开集构成的集族，由于X满足第二可数性公理,设B是x的可数基，对a 的每一个元素a，因为B 是X的基，存在BA.因为 A 中的元素两两无交，从而 A 中不同元素包含B 中的元素也不相同.因为B 可数，故 A 是可数族-可编辑修改-15、设X是一个 T1 空间，AX，x d(A)，证明：对x的每一个邻域 U有UA是无f6集.证：设x d (A),若x有一个开邻域U含有满中的有限多个点，设 B U A xuB是一个有限集，从而 B是一个闭集
26、，故 U B是一个开集且是 x 的一个开邻域.又易知(U B) (A x),从而x d(A) ，矛盾 . 故UA是无限集 .21 、设 X 是一个拓扑空间， 0,1 是闭区间，若对 X 的任何两个无交的闭集 A, B 都存在一个连续映射 f :X 0,1,使得当xA时，f(x) 0，当 x B时，f(x) 1. 证明： X 是一个正规空间. 证：设 A, B 是 X 的任意两个无交的闭集，由题意知存在一个连续映射f : X 0,1 ,使得当 xA 时，f(x)0 ,当 x B 时，f (x)1 .设U f 1(0,0.5) ,V f 1(0.5,1) , 易知 U ,V 分别是A 和 B 的开
27、邻域且 U V.从而X 是一个正规空间 .22 、 证明 T4 空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点， 则它一定是一个不可数集.证： 设 C 是 T4 空间 X 中的一个连通子集， 如果 C不只包含一个点，任意选取 x, y C, xy .对于 T4 空间 X 中的两个无交的闭集 x, y ，应用 Urysohn 引理可见，存在一个连续映射 f:X 0,1，使得 f (x)0 和 f (y)1. 由于 C 是 X 的一个连通子集，从而 f (C) 连通，由于0,1 f(C) ，所以 f(C) 0,1 ，由于 0,1 是一个不可数集，所以C 也是一个不可数集.THANKS !致力为企业和个人提供合同协议， 策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考