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1、清华大学高等微积分B期末试题及答案若想免费下载该文档：登录 论坛 文档下载区 （搜索想要的文档）1 填空题（直接填在横线上）（4分/小题）1)广义积分在 时收敛，在其它情形发散。2)叙述一致连续的定义：若，则称函数在区间一致连续。3） 0 。4） 1 。（注：）2选择题（直接填在括号内）(3分/小题)1)若级数绝对收敛，且，则级数的敛散情况是 A A. 绝对收敛；B. 条件收敛；C. 可能绝对收敛也可能条件收敛；D. 可能收敛也可能发散。2)若级数，的收敛半径分别为和，且，则的收敛半径为 A A. ； B. ； C. ； D. .3)下列陈述中，与“数列不收敛于”等价的是 D A. ； B.
2、；C. ； D. .4)设函数在区间可积，则函数在区间满足 C A有连续的导函数； B可导，但导函数不一定连续；C连续，但不一定处处可导； D不一定连续。3判断题：指出下列陈述是否正确，并简述理由(若正确，给出简要证明；若错误，举出反例)（5分/小题）。 评分：结论3分，理由2分1)若，则数列收敛。 错误。例如所以 但数列发散。2)若函数在区间可积，则函数在区间也可积。正确。因为在任何一个子区间上，函数的振幅都小于或等于函数在此子区间上的振幅。3)若正项级数收敛，则 错误。例如级数 收敛，但 4)函数项级数在区间上一致收敛。正确。因为，而正数项级数 收敛。4（12分）评分：每问6分（答案4分，
3、证明2分）。1）已知级数，都收敛，能否断定级数收敛？若能，证明之；若不能，举出反例。能。因为级数，都收敛，所以级数收敛，且。记级数的部分和数列为。因为收敛，所以存在。因为，所以存在且，所以存在，级数收敛。 2）已知级数收敛，能否断定级数，都收敛？若能，证明之；若不能，举出反例。不能。例如级数收敛，但，发散。5（12分）求级数的收敛域及其和函数。解 ，所以收敛半径.2在端点上，收敛,.1 收敛，.1 所以收敛域为。记，则当时，。，。.6 由连续性，.16（10分）设函数 以为周期，在区间可积， 是的Fourier系数，求函数（是常数）的Fourier系数。解 ，。1 记函数的Fourier系数为
4、，则，.3变量置换：。因为都以为周期，所以 .3同理 .37（10分）设，讨论广义积分的敛散性，其中是自然数。解 当时收敛，当时发散。.3 若，广义积分发散，从而广义积分发散。3 若，则函数没有奇点, 收敛当且仅当收敛。.3 总之，当且时广义积分收敛，其他情形发散。.18（8分）（二选一）1） 设不是的整数倍，证明数列发散。证明 因为 所以 假设数列收敛，记 则 展开： 所以数列也收敛。 记 则 即 再将展开： 两边取极限： 即 从而有 代入（1），在恒等式 两边取极限： 矛盾！2） 设（n=1，2，），证明级数收敛的充要条件是数列收敛。证明 由递推公式易知，。11） 设数列收敛，则。因为，所以级数与同敛散。故我们只要证明收敛。，所以前项和。因为存在，所以存在，所以存在，即级数收敛，从而收敛。.52） 设级数收敛。因为，所以，级数收敛。因为，从而，所以，存在，数列收敛。.4