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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后
2、，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合M=x-4x2，N=xx2-x-60，则MN=Ax-4x3Cx-2x2Bx-4x-2Dx2x32设复数z满足z-i=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A(x+1)2+y2=1Cx2+(y-1)2=1B(x-1)2+y2=1Dx2+(y+1)2=13已知a=log0.2，b=20.2，c=0.20.3，则2AabcBacbCcabDbc0,b0)的左、右焦点分别为F，F，过F的直线与16已知双曲线C：x2y2-a2b2121C的两条渐近线分别交于A，B两
3、点若FA=AB，FBFB=0，则C的离心率为112_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17(12分)BCbcABC的内角A，的对边分别为a，设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC（1）求A；（2）若2a+b=2c，求sinC18（12分）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值19（1
4、2分）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若AP=3PB，求|AB|20（12分）已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f(x)为f(x)的导数证明：（1）f(x)在区间(-1,p)存在唯一极大值点；2（2）f(x)有且仅有2个零点21（12分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一
5、种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0,1,8)表示“甲药的累计得分”为i时，最终认为甲药比乙药更有效的概率，则p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c
6、=P(X=1)假设a=0.5，b=0.8(i)证明：pi+1-p(i=0,1,2,7)为等比数列；ix=，（1）1(ii)求p，并根据p的值解释这种试验方案的合理性44（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）1-t21+t2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）以坐标原点Oy=4t1+t2为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2rcosq+3rsinq+11=0（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值23选修45：不等式选讲（10分）已知a，b
7、，c为正数，且满足abc=1证明：11+a2+b2+c2；abc（2）(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3242019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题1C2C3B4B5D6A7B8A9A10B11C12D二、填空题13y=3x141213150.18162三、解答题17解：（1）由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，故由正弦定理得b2+c2-a2=bc由余弦定理得cosA=b2+c2-a21=2bc2()因为0A180，所以A=60（2）由（1）知B=120-C，由题设及正弦定理得2sinA+sin120-C=2sinC，即6cosC+sin
8、C=2sinC，可得cos(C+60)=-312+2222由于0C0,g()0，可得g(x)在-1,有ppp222唯一零点，设为a.时，g(x)0；当xa,p2所以g(x)在(-1,a)单调递增，在a,单调递减，故g(x)在-1,存在唯一极大值点，即f(x)在-1,存在唯一极大值点.pp22p2（2）f(x)的定义域为(-1,+).（i）当x(-1,0时，由（1）知，f(x)在(-1,0)单调递增，而f(0)=0，所以当x(-1,0)时，f(x)0，故f(x)在(-1,0)单调递减，又f(0)=0，从（ii）当x0,时，由（1）知，f(x)在(0,a)单调递增，在a,单调递减，而f(0)=0，
9、f0；当xb,时，f(x)0，所以当x0,时，f(x)0.从而，f(x)在0,没有零点.而x=0是f(x)在(-1,0的唯一零点.pp22pp22p2p2ppp222p2（iii）当x,p时，f(x)0，pp22p2f(p)1，所以f(x)0，从而f(x)在(p,+)没有零点.综上，f(x)有且仅有2个零点.21解：X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-a)b，P(X=0)=ab+(1-a)(1-b)，P(X=1)=a(1-b)，所以X的分布列为（2）（i）由（1）得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此p=0.4p+0.5p+0.1p，故0.1(pii-1ii+1i+1p-
10、p=4(p-p).i+1iii-1-p)=0.4(p-piii-1)，即又因为p-p=p0，所以p101i+1比数列（ii）由（i）可得-p(i=0,1,2,i,7)为公比为4，首项为p的等1+(p-p)=p3p=p-p+p-p+88776+p-p+p=(p-p)+(p-p)+100877610148-1.由于p=1，故p=81348-1，所以)=44-1pp4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p)+(p11-p011=2573.p表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率4为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p=4此时得出错误结论的概率非常小，说
11、明这种试验方案合理.12570.0039，+(21+t222解：（1）因为-11-t21+t21，且xy21-t224t22+=1+t22)=1，所以C的直角坐标方程为x2+y24=1(x-1).y=2sin（2）由（1）可设C的参数方程为l的直角坐标方程为2x+3y+11=0.x=cosa,a（a为参数，-a）.4cosa-+11C上的点到l的距离为.|2cosa+23sina+11|3=77时，4cosa-+11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.当a=-23323解：（1）因为a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac，又abc=1，故有a2+b2+c2ab+bc+ca=ab+bc+ca111=+.abcabc所以111+a2+b2+c2.abc（2）因为a,b,c为正数且abc=1，故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)333(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)3(2ab)(2bc)(2ac)=24.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.