(完整版)一元二次方程知识点和易错点总结.docx

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1、 一元二次方程知识点总结知识结构梳理（1）含有（2）未知数的最高次数是1、概念 （3）是 方程。（4）一元二次方程的一般形式是个未知数。( )(（1）（2）法，适用于能化为 x + m)2 = n n 0 的一元二次方程法，即把方程变形为 ab=0 的形式，一元二次方程2、解法（a，b 为两个因式）, 则 a=0 或（3）（4）法法，其中求根公式是根的判别式当（5） 当当时，方程有两个不相等的实数根。时，方程有两个相等的实数根。时，方程有没有的实数根。可用于解某些求值（1）（2）（3）一元二次方程的应用可用于解决实际问题的步骤 （4）（5）（6）知识点归类知识点一 一元二次方程的定义如果一个方

2、程通过移项可以使右边为 0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点：方程是整式方程。它只含有一个未知数。未知数的最高次数是1 2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。例 下列关于 的方程，哪些是一元二次方程？x2= 3； - 6 = 0 ；（3） x + x = 5 ；（4） -= 0 ；（5）2x(x - 3) = 2x2 +1x2xx2x2 + 5知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为+ + = 0 （a，b，c 是已知数， 0）。其中 a，b，c 分ax2 bx ca别叫做二次项系数、一次项

3、系数、常数项。注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。（3）形如+ + = 0 不一定是一元二次方程，当且仅当 0时是一元二次方程。ax2 bx ca( ) ( )例 1 已知关于 的方程 m -1 x 2 - m +1 x - 2 = 0是一元二次方程时，则 =xm +2m知识点三 一元二次方程的解= 2使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当 x时， -3 + 2 = 0 所x2x以 = 2 是- 3 + 2 = 0 方程的解。一元二次方程的解也叫一元

4、二次方程的根。xx2x知识点四 建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。例 如图（1），有一个面积为 150 的长方形鸡场 ，鸡场一边靠墙（墙长 18m），另三边用竹篱笆围成，若竹篱笆的长为 35m，求鸡场的长和宽各为多少？鸡场2 因式分解法、直接开平方法知识点一 因式分解法解一元二次方程如果两个因式的积等于 0，那么这两个方程中至少有一个等于 0，即若 pq=0 时，则 p=0 或 q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（

5、1）将方程的右边化为 0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为 0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。关键点：（1）要将方程右边化为 0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。例 用因式分解法解下列方程：()2（1） 5 = 4 ；（2）(2 x - 3) - 25 = 0； （3）-6+ = 5 - 29。222xxxxx知识点二 直接开平方法解一元二次方程( )若 x 2 = a a 0 ，则 叫做 a 的平方根，表示为 = ，这种解一元二次方程的方axx法叫做直接开

6、平方法。( )( ) ( )2n n（1） 2 =x0的解是x = a；（ ） +2=0的解是 x = n - m ；a ax m() ()c n-（3）mx n+=c 0, 且 0 的解是 x =。2c mm例 用直接开平方法解下列一元二次方程( )( ) ( )2 2（1）9 x - 16 = 0； （2）x + 5 - 16 = 0； （ ） x - 5 = 3 x + 13（因式分解）223 知识点三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程()2( )k形如ax b+- = 0 0 的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。k例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元

7、二次方程。()2( )（1）；（2） 1 - 2- 3 = 04 x - 5 - 36 = 02x知识点四 用提公因式法解一元二次方程把方程左边的多项式（方程右边为 0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若 pq=0 时，则 p=0 或 q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。()如 ： 0 .01 2 - 2 = 0 ， 将 原 方 程 变 形 为 0 .01 - 2 = 0 ， 由 此 可 得 出ttttt = 0或 0.0t - 2 = 0，即 t = 0, t = 20012注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢

8、失原方程的根。()”的方程的解法。+ = 0 , 为常数( )知识点五 形如“2 +a b x b+xa b()( )对于形如“ x 2 + a + b x + b = 0 a, b为常数 ”的方程（或通过整理符合其形式的），( )( )x + a x + b +可 将 左 边 分 解 因 式 ， 方 程 变 形 为0 ， 则 x + a = 0或 x + b = 0 ， 即x = -a, x = -b。12()”型方( )注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“程的特征。a b0 , 为常数2 + =a b x bx例 解下列方程：（1）- 5 + 6 = 0 ；（2）- - 12 =

9、0x 2xx 2x4 配方法知识点一 配方法解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程 x + px + q = 0 ，当对方程的左边配方时，一定记住2在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。例 用配方法解下列方程：7（1） 2 + 6 - 5 = 0 ；（2） 2 -x- 2 = 0xxx2知识点二用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的步骤

10、：（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；( )（2） 把原方程变为 + 2 = 的形式。x mn（3） 若 0，用直接开平方法求出 的值，若 n0，原方程无解。nx例 解下列方程： 2 - 4 + 3 = 0xx知识点三用配方法解二次项系数不是 1 的一元二次方程()当一元二次方程的形式为 ax + bx + c = 0 a 0,a 1 时，用配方法解一元二次方程的步25 骤：（1）先把二次项的系数化为 1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；(2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程( )化为 + 2 = 的形式；x mn（3）若 0

11、，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。n例 用配方法解下列方程：（1） 3- 9 + 2 = 0 ；（2） - 4 + 3 = 0x 2xx 2x公式法知识点一 一元二次方程的求根公式- b b - 4ac( )2一元二次方程 ax + bx + c = 0 a 0 的求根公式是： =x22a( )用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为 ax + bx + c = 0 a 0 的形式，确定2的值 , . （注意符号）；（2）求出 - 4 的值；（3）若 - 4 0 ，则 , .把及 - 4 的a b cb2acb2aca bb2ac- b b - 4ac2值代人求根公式 =

12、，求出 , 。xx x12a2例 用公式法解下列方程( )（1） 2- 3 - 1 = 0 ； （2） 2+ 2 + 1 = 0 ； （3）+ + 25 = 0x 2xx xx 2x知识点二 选择适合的方法解一元二次方程直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数6 的平方式的方程因式分解要求方程右边必须是 0，左边能分解因式；公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。例 用

13、适当的方法解下列一元二次方程：() ()( )x（1） 2 - 3 = 9 2 + 3 ； （2）- 8 + 6 = 0 ； （3）+2 (x - 1) = 0x2x2x 2x知识点三 一元二次方程根的判别式( )一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 a 0 根的判别式 = 2 - 4bac运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：（1） = - 4 0方程有两个不相等的实数根；b2ac（2） = - 4 =0方程有两个相等的实数根；b2 ac（3） = - 4 0方程没有实数根；b2 ac利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：把所有一元二次方程化为一般形式

14、；确定 , . 的值；计算 - 4 的值；根据 - 4 的符号判定方程根的情况。a b cb2acb2ac例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：（1） 2- 3 - 5 = 0 ；（2）9= 30 - 25 ；（3）+ 6 + 10 = 0x 2xx 2xx 2x7 知识点四 根的判别式的逆用( )在方程 ax + bx + c = 0 a 0 中，2（1）方程有两个不相等的实数根b2ac- 4 0（2）方程有两个相等的实数根b2ac- 4 =0（3）方程没有实数根b2ac- 4 0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为 0这一条件。( )例为何

15、值时，方程 2m +1 x + 4mx + 2m - 3 = 0 的根满足下列情况：m2（1）有两个不相等的实数；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；知识点五 一元二次方程的根与系数的关系( )bba若 , 是一元二次方程 ax + bx + c = 0 a 0 的两个根，则有 + = - ，=x x1x x1x x1 2222a根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：11+ x()2x1（1）- 2（2） +x x=x12+x2=x x+x x122122x x121 2( )（3）(x + a)(x + a) = x + x + a x + x + a ；2121212

16、( ) ( )（4） - = x - xx x= x + x - 4x x221212121 2例 已知方程 2- 5 - 3 = 0 的两根为 , ，不解方程，求下列各式的值。x 2xx x12()。2（1）；（2） -x12+x2x x1228 知识点六 根据代数式的关系列一元二次方程利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。例 当 取什么值时，代数式 2 - - 6 = 0 与代数式3 - 2 的值相等？xxxx一元二次方程的应用知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤（1） 审题，（2）设未知数

17、，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。关键点：找出题中的等量关系。知识点二 用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为 a，增长率 为，则一次x( )( )增长后的值为 1+ ，两次增长后的值为 1+ ；（2）若基数为 a，降低率 为，则一次降2axaxx( )( )低后的值为 1- ，两次降低后的值为 1- 。2axax例 某农场粮食产量在两年内由 3000 吨增加到 3630 吨，设这两年的年平均增长率为 ，列出x关于 的方程为x知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电

18、问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价进货价）进货价100%；（3）销售额=售价销售量9 例 某商店如果将进货价为8 元的商品每件10 元售出，每天可售200 件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5 元，其销量减少10 件。（1）要使每天获得700 元，请你帮忙确定售价。（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中a 0 .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要

19、先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化 1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.一元二次方程测试题一、选择题1、若关于x 的一元二次方程(m-1)x +5x+m -3m+2=0 有一个根为0，则m 的值等于（）22A、1B、2C、1 或2D、02、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45 万吨提升到50 万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为 ，则可列方程为（x）A45+ 2x = 50 B45(1+ x) = 50 C50(1- x) = 45 D45(1+ 2x) = 5022b a3、已知a，b 是关于 的一元二次方程x + nx -1= 0

20、的两实数根，则式子 + 的值是（）x2a bAn + 2B-n + 2Cn - 2D-n - 222224、 已知 a、b、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b)x + 2cx + (a + b)0 的根的情况210 是（）A没有实数根C有两个相等的实数根B可能有且只有一个实数根D有两个不相等的实数根5、已知m,n 是方程x2 - 2x -1 = 0的两根，且(7m -14m + a)(3n - 6n - 7) = 8 ，则a 的值等于22（）A5B.5C.-9D.96、已知方程x + bx + a = 0 有一个根是-a(a 0) ，则下列代数式的值恒为常数的是（）2ABaC +a b

21、D -a babb7、x - 2x - 2 = 0的一较小根为x ,下面对x 的估计正确的是 （）211A- 2 x -1 B-1 x 0C0 x 1D1 x 211118、关于 的一元二次方程 x - mx + 2m -1= 0 的两个实数根分别是 x、x ，且 + = 7 ，则xx x2 221212(x - x ) 的值是（）212A1B12C13D259、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450 张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( )x(x -1)A、x(x -1) = 2450 B、x(x +1) = 2450

22、C、2x(x +1) = 2450 D、= 24502( )10、若关于x 的一元二次方程 k -1 x2 + x - k 2 = 0的一个根为1，则k 的值为 ()B0C1D 或10A111、设 ， 是方程 + - 2009 = 0 的两个实数根，则 + 2 + 的值为（）a bx x2aa b2A2006B2007C2008D200912、对于一元二次方程 ax +bx+c=O(a0)，下列说法：2若 a+c=0，方程 ax +bx+c=O 必有实数根；2若 b2+4ac0，则方程 ax +bx+c=O 一定有实数根；2若 a-b+c=0，则方程 ax +bx+c=O 一定有两个不等实数根

23、；2若方程 ax +bx+c=O 有两个实数根，则方程 cx +bx+a=0 一定有两个实数根22其中正确的是( )11 ABCD二、填空题1、若一元二次方程 x (a+2)x+2a=0 的两个实数根分别是 3、b，则 a+b=22、设 x ,x 是一元二次方程 x +4x3=0 的两个根，则x x =22122123、方程（x1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是ax bx 1 0(a 0)24、已知关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根，求ab2(a 2) b 422的值为_a5、在等腰ABC 中，三边分别为 、 、 ，其中x b 2 x 6 b 02ca 5x，若关于 的方程b有两个相等的实数根，则ABC 的周长为_x6、已知关于 的一元二次方程x 6x k 02 2（ 为常数） 设x,x 为方程的两个实数k12x 2x 14根，且，则 K 的值为_12(n 2004n 2005)x2 2003 x 2004 027 、 已 知 m 、 n 是 方 程的 两 根 ， 则与(m 2004m 2005)2的积是.12