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1、 七年级下三角形综合题归类一、 双等边三角形模型1. （1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC求AEB 的大小；（2）如图 8，OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和OCD 不能重叠），求AEB 的大小.BCBCADOAOD图 7图 82. 已知:点 C 为线段 AB 上一点，ACM,CBN 都是等边三角形，且 AN、BM 相交于 O. 求证：AN=BM 求 AOB 的度数。 若 AN、MC 相交于点 P
2、，BM、NC 交于点 Q，求证：PQAB。（湘潭中考题）NQPBAC同类变式： 如图 a，ABC 和CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接 AF 和 BE.(1)线段 AF 和 BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图 a 中的CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图 a 中的ABC 绕点 C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.图 c3. 如图 9，若ABC和为等边三角形，M N 分别为 EB CD 的中点，易证：, ,ADECD B
3、E ，AMN是等边三角形 = BE（1）当把ADE 绕 A 点旋转到图 10 的位置时，CD是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由；（2）当ADE 绕 A 点旋转到图 11 的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由图 9图 10图 11同类变式：已知，如图所示，在 ABC 和 ADE 中， AB = AC ，AD = AEBAC = DAE ，且 点 B，A，D 在一条直线上，连接 BE，CD，M ，N 分别为 BE，CD的中点（1）求证： BE = CD ； AM = AN；（2）在图的基础上，将ADE 绕点 按顺时针方向旋转180 o，其他条件不
4、变，得到A图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.CCNENDBAMMDBAE图图4. 如图，四边形 ABCD和四边形 AEFG均为正方形，连接 BG 与 DE 相交于点 HADE ；（1）证明：ABG（2）试猜想 BHD 的度数，并说明理由； （3）将图中正方形 ABCD绕点 A 逆时针旋转（0 BAE 180），设ABE 的面积S1SS S1为 ，ADG 的面积为 ，判断 与 的大小关系，并给予证明22DAGFCEB5.已知：如图，ABC是等边三角形，过ABD DGBC边上的点 作，交ACG于点 ，在GDE的延长线上取点 ，使DE DB=AE，CD，连接 （1）求证：AGED
5、AC；E EFDC（2）过点 作BCFAF ，并判断AEF于点 ，请你连接 是怎样的三角，交形，试证明你的结论ADGECBF二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点 1：利用垂直证明角相等1. 如图，ABC 中，ACB90，ACBC，AE 是 BC 边上的中线，过C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于 D求证：（1）AECD； （2）若 AC12 cm，求 BD 的长 2.（西安中考）如图(1), 已知ABC 中, BAC=900, AB=AC, AE 是过 A的一条直线, 且 B、C 在 A、E 的异侧, BDAE 于 D, CEAE
6、于 E 。图(1)图(2)图(3)(1)试说明: BD=DE+CE.(2) 若直线 AE 绕 A 点旋转到图(2)位置时(BDCE), 其余条件不变, 问 BD 与 DE、CE 的关系如何? 写出结论,可不说明理由。3. 直线 CD 经过BCA 的顶点 C ，CA=CB E F、 分别是直线CD 上两点，且BEC = CFA= a（1）若直线CD 经过BCA的内部，且E、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：BCA = 90 , = 90-BE AF （填“ ”，“ ”或如图 1，若“= ”号）；a，则ooEF如图2，若0o BCA 180，若使中的结论仍然成立，则 a 与BCA 应满足的关
7、o系是；（2）如图3，若直线CD 经过BCA的外部， = BCA，请探究EF、与BE、AF 三条a线段的数量关系，并给予证明BBBEAFDF DEECCFCAAD图 1图 2图 3 考点 2：利用角相等证明垂直1. 已知 BE，CF 是ABC 的高，且 BP=AC，CQ=AB，试确定 AP 与 AQ 的数量关系和位置关系QADFEPBC2. 如图，在等腰 RtABC中，ACB=90，D 为 BC 的中点，DEAB，垂足为 E，过点 B 作BFAC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF(1)求证：CD=BF；(2)求证：ADCF；(3)连接 AF，试判断ACF的形状.拓展巩固：如图 9 所示，
8、ABC 是等腰直角三角形，ACB90，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证：ADCBDECFDBAE图 9（提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？） 3. 如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形 DEFG的边 DE 上，连接 AE ，GC.（1）试猜想 AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形 DEFG绕点 D 按顺时针方向旋转，使 E 点落在 BC 边上，如图2，连 接 AE和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.DA
9、BCl BC, AC = BC, DEFP且FP 也4.如图 1，的边 BC 在直线 上， AC的边在直线l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EF= FP（1） 在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系；DEFPEP 交 AC 于点Q ,连接（2） 将沿直线l 向左平移到图 2 的位置时，AP, BQ .猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将DEFP沿直线l 向左平移到图 3 的位置时，EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q,连结 AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与 AP 的数量关系和位置
10、关系和位置,关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.A (E)EAQCBC (F)(1)PlBFPl(2)AElFPBC(3)Q 三、 等腰三角形（中考重难点之一）考点 1：等腰三角形性质的应用1. 如图，DABC 中，=，BAC = 90 ， 是D BC中点，AB AC交于 求证： = ， = BE AF AE CFED FD ED AB ， 与交于， 与E FD ACFAFEBDC2. 两个全等的含30，60角的三角板和三角板ADEABC，如图所示放置，E, A,C 三点在ooDEMC一条直线上，连结明理由BD，取 BD的中点，连结 试判断ME,MC的形状，并说MBMDECA
11、压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知 DRt ABC中，=， = ， 为 AB 边C 90AC BCD的中点，= ，EDF 绕 点旋转，它的两边分别交EDF 90、AC CB（或它们的延长线）D于 E 、 F1当 绕 点旋转到EDF D 于 时（如图 1），易 证DE AC E+=当EDF 绕SSSDDEFDCEF2 DABC点旋转到和DE AC不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，D请给予证明；若不成立，S需证明，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不SSDDEFDCEFDABCAAEADDDECCFBCBEFBF图1图2图3提示：此题为上面题目的综合应用
12、，思路与第一题相似。 3. 已知：如图，ABC 中，ABC=45，CDAB 于 D，BE 平分ABC，且 BEAC 于 E，1与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连结DH 与 BE 相交于点 G。(1) BF=AC (2) CE= BF2(3)CE 与 BC 的大小关系如何。考点 2：等腰直角三角形（45 度的联想）1. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点E 在 AB 边上滑动（点E 不与点 A，B 重合），另一条直角边与CBM的平分线 BF 相交于点 F. 如图 141，当点 E 在 AB 边的中点位置时
13、： 通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 请证明你的上述两猜想.； 如图 142，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N,使得 NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明 2. 在 RtABC 中，ACBC，ACB90，D 是 AC 的中点，DGAC 交 AB 于点 G.（1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF，连结 EF 与 CF，过点 F 作 FHFC，交直线 AB 于点 H求证：DG=
14、DC判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明（2）若E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点F 在射线 DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变（本小题直接写出结论，不必证明）BBHGGFAACDECDE图 1图 2同类变式：（期末考试原题哦）已知：ABC 为等边三角形，M 是 BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 A，且 60 角的顶点 E 在 BC 上滑动，（点 E 不与点 B、C 重合），斜边与ACM 的平分线 CF 交于点 F（1）如图（1）当点 E 在 BC 边得中点位置时1 猜想
15、 AE 与 EF 满足的数量关系是.2 连结点 E 与边得中点，猜想和满足的数量关系是.3 请证明你的上述猜想；（）如图（）当点在边得任意位置时，和EF 有怎样的数量关系，并说明你的理由？AAFNFBCME图（2）BCM图（1） 四、 角平分线问题1. 如图：E 在线段 CD 上，EA、EB 分别平分DAB 和CBA, AEB=90,设 AD x ,+ y - 6x -8y + 25 = 0BC y ，且 x, y 满足 x22（1）求 AD 和 BC 的长；（2）你认为 AD 和 BC 还有什么关系？并验证你的结论；（3）你能求出 AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.E
16、CDAB2. 如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。BBMEEDFDFOPACANC图图图(第 23 题图)BAD3.(北京市中考模拟题)如图，在四边形中，平分，过 作 于E ，C
17、CE ABABCDAC1并且=(AB AD)+，则ABC + ADC 等于多少？AE2DCABE4. 如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE、BE 的长.AEGDCBF 五、中点问题1. 在ABC 中, D 为 BC 的中点， 过 D 点的直线GF 交 AC 于 F , 交 AC 的平行线BG 于点G 。 DE GF , 并交 AB 于点 E . 连结 EG .（1）求证: BG（2）请猜想 BE；与 EF 的大小关系, 并加以证明2.如右下图，在DABC 中，
18、若 = ，B 2 C， 为AD BC E BC边的中点求证：AB = 2DEABDEC3. 已知 DABC 中，的中线求证AB AC BD AB=，为的延长线，且（提示：倍长中线试试）BD AB CE= ，为DABC的 边上ABCD 2CE=CEABD附加思考题：（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究） 以DABC 的两边 AB 、AC为腰分别向外作等腰 DRt ABD和等腰 DRt ACECAE 90，BAD = = .连接， 、 分DE M N别是、的中点探究：与的位置关系及数量关系BC DE如图 当 DABC 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是数量关系是将图中的等腰 D90AM DE；线 段 AM 与 DE 的；绕点 A 沿逆时针方向旋转q ( q )后，如图所示，问Rt ABD 0中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由DNDNEAEABMCCBM图图