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1、 相似形和比例线段（提高） 知识讲解学习目标】1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；2、会运用比例线段解决简单的实际问题；3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、比例线段【高清课堂： 394495 图形的相似预备知识】1成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段2比例的性质：a c=b d，那么 ad = bc .（1）基本性质：如果a ca+b c+d= ，那么.（2）合比性质：如果b dbda-b c-da c= ，那么=.如果b dbd要点诠释：（1）两条线段的长度
2、必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数要点二、黄金分割AC BC=AB AC1.定义： 点 C把线段 AB分割成 AC和 CB两段,如果,那么线段 AB被点 C黄金分割，点C叫做线段 AB的黄金分割点，AC与 AB的比叫做黄金比.要点诠释：5 -15 -1AC =AB 0.618AB(叫做黄金分割值).222.作一条线段的黄金分割点：图 47如图，已知线段 AB，按照如下方法作图：1（1）经过点 B作 BDAB，使 BD= AB.2 （2）连接 A
3、D，在 DA上截取 DE=DB.（3）在 AB上截取 AC=AE.则点 C为线段 AB的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、比例线段1. （2016 春 上海校级月考）已知，（1）求的值；（2）如果，求 x 的值【思路点拨】（1）令 = = =k，则 x=2k，y=3k，z=4k，再代入代数式进行计算即可；（2）把 x=2k，y=3k，z=4k 代入=yz，求出 k 的值即可【答案与解析】解：（1） = = ，令 = = =k，则 x=2k，y=3k，z=4k，=1；（2）x=2k，y=3k，z=4k，=yz，22x+3=（yz） ，即 2k+3=（3k4k）
4、 ，解得 k=1 或 k=3(舍去)，x=2【总结升华】本题考查的是比例的性质，根据题意得出 x=2k，y=3k，z=4k 是解答此题的关键举一反三：【高清课堂：394495图形的相似预备知识 练习 2】= ，则 =（ ）.【变式】（2015春扶沟县期中）若A.B.C.D. 无法确定【答案】C.abc= k2. 已知：求 k值b + c a + c a +b【思路点拨】可分 a+b+c=0和 a+b+c0两种情况代入求值和利用等比性质求解.【答案与解析】当 a+b+c=0时，b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，ak为其中任何一个比值，即 k=-1;-a a+b+c0 时，1=k=b +
5、c + c + a + a +b 2(a +b + c) 21k=-1 或 .2【总结升华】考查比例性质的应用；分两种情况探讨此题是解决本题的易错点类型二、黄金分割5-13. 宽与长之比为:1的矩形叫黄金矩形.如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么2留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论.【答案与解析】四边形 ABEF 是正方形，AB=DC=AF,ABAD5 -1AFAD5 -1=又,，22即点 F 是 AD 的黄金分割点，5 -13- 5=ADDF =,即AD AF22DFAF5 -1DF5 -1=，即，2DC2矩形 CDEF 是黄金矩形.【总结升华】根据黄金矩形的定义去计算宽与长
6、之比即可.4.（1）已知线段 AB=10cm，C 是 AB 的一个黄金分割点，且 ACBC，求 AC 长；（2）已知线段 a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段 c 是线段 a 和 b 的比例中项求线段 c 的长【思路点拨】（1）根据黄金分割点的定义，知AC 是较短线段，由黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，可得 AC=10，计算即可；（2）根据线段比例中项的概念，可得a：c=c：b，可得 c =ab=36，故 c 的值可求注意线段不能为负2【答案与解析】解：（1）线段 AB=10cm，C 是 AB 的一个黄金分割点，且 ACBC，AC=10=155 （cm）；（2）线段 c 是线段 a 和 b 的比例中项，a=4cm，b=9cm，c =ab=36，2 解得 c=6，又线段是正数，c=6cm【总结升华】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍也考查了比例中项的概念举一反三：【变式】已知线段 AB=1，C是线段 AB的黄金分割点，则 AC的长度为（）A.B.C.或D. 以上都不对【答案】C.提示：线段 AB=1，C是线段 AB的黄金分割点，当 ACBC，AC=AB=；当 ACBC，BC=AB=，AC=ABBC=1=