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1、第四章习题1.（）判别以下方程的类型，并指出变系数中自变量取值范围（1）（2）（3）（4）解：（1）a1，b2，c3，b2ac0，是双曲型方程（2）b0.5，b2ac0，是双曲型方程（3）b2acx2y2，当x0或y0时，是抛物线型方程，否则是双曲型方程（4）b2acxy，当x0或y0时，是抛物线型方程，当x和y同号时是双曲型方程，否则是椭圆型方程2. （）证明：（1）圆形区域上Laplace方程在圆对称情况下的通解为式中r为径向极坐标，A、B为任意常数（2）球形区域上Laplace方程在球对称情况下的通解为式中r为径向球坐标，A、B为任意常数证明：（1）在极坐标下，圆型区域内，laplace
2、方程的表达式为在圆对称情况下，原方程可化为 ，解得（2）同理可证3. （） 用分离变量法求解以下一维热传导方程的定解问题(1) 解：设由（4）（5）代入（2）其中An由下式确定： (2) 解：首先将方程化齐，为此，令代入方程，得解得于是用分离变量法解问题（12）得特征值特征函数及因此，问题的解为4. 解下列矩形域的拉普拉斯方程定解问题 解： 首先假设问题的解具有以下变量分离的形式 （1）代入原方程，得到关于X(x)的特征值问题和Y(y)的方程 （2） （3）类似与书P199中对于方程（4.2.5）、（4.2.6）的讨论，这里的参数只能取正值，否则只能得到零解。因此方程（2）的通解是 （4）由边
3、界条件X(0)=0知c2=0，再由知，若要有非零解, c10，必须0，由此应取以下值 （n=1,2,3,） （5）由此得到 （n=1,2,3,） （6）由方程（3）可得 （7）将值代入方程（7），得 （n=1,2,3,）（8）从而由方程（1）得到， （9）式（9）中An=A1nCn，Bn= B1nCn，均为任意常数。根据叠加原理构造以下级数形式的解 （10）令上式满足y的边界条件，得到确定系数An， Bn的方程 将以上两式的右端展开为的傅立叶级数，然后逐项比较系数，得到 由此解得 代入方程（10），于是问题的解最终为 （n=1,2,3,）5对于第一章习题2所述的池塘结冰问题，如果空气温度TW每
4、天呈现周期性变化，其规律用以下方程描述求冰层中的温度分布及厚度l的时间变化趋势，若给定冰的导温系数，TW10，DT5，t 86400s，再问冰冻三尺需几日之寒？ 提示：在求冰层中温度分布时，其厚度可作为常数考虑。在一般情况下，还可以将气温TW进一步考虑为时间t的Fourier级数以反映天气的逐日变化和中长期变化的影响。解： a）可用一维热传导方程来描述该过程，假定厚度l不变 假定定解为下列形式，T=F(t)G(x)。由于温度变化是周期的，则F(t)中解的指数为虚数，原一维热传导方程可化为即 解得 由此将产生4个特解当时，T有界，故将T4和T3舍去，将T1和T2相加得到另一个特解用三角函数进行表
5、示，依照边界条件确定常数A，B和 比较得在x0处，其平均温度是零瞬间时初始瞬变的结果。这一变化的阶梯解是： 将此式子附加至解，得:上式并不满足初始条件，所以不能用于很小的时间范围。但是对于很大的t值，趋于零，结果形成的表示式可以很好地表示在初始瞬变已消失的情况下的周期温度分布：b）厚度l的时间变化趋势由一维热传导公式可得： 其中为潜热两端分别积分可得将具体数值代入上式，用matlab解得t6882779.6s79.6天。随着时间的增加，负积温逐渐累积，冰层不断加厚，但是速度越来越缓慢。6（）求图示的半环形区域内的稳态温度分布()边界条件为：当rc时，uu0，其余边界保持0度。解：极坐标系下的热
6、传导方程为（提示：本题作法与第四章第2节情况3介绍的圆上Laplace方程的第一边值问题解法类似，参见p204，区别有两点：一是此处为半圆，0q 0，(x)=10，q(x)=0，满足特征值问题的条件。由于k(x)在边界x=1上均为零点，因此边界条件应代之以自然边界条件 （9）根据Sturm-Liouville特征值问题的四个基本定理，特征值s和特征函数H(x)必定存在，且s(s+1)0，特征函数H(x)正交且完整。因此方程（7）若要得到满足边界条件（9）的解，参数s只能取为正整数，即 相应的特征函数为n阶的Legendre多项式 （10）从而由方程（6）、（10）以及线性叠加原理可将原问题的一
7、般解表示为一下级数形式 （n=1,2,） （11）由边界条件（2）得 （12），（13）方程（11）的系数An、Bn由上述两式确定。若f1()、 f2()具有一阶连续导数及分段连续二阶导数，则由Sturm-Liouville特征值问题的第四定理，可得 （14）其中 同理 （15）由（14）、（15）可解得系数An、Bn的值，然后代入方程（11）即得问题的解。 14. 如果将5.4节所述的反应扩散模型的边界条件(4.5.69）改换成无渗透边界条件，即试给出相应的线性稳定性问题的失稳判据。 解： 改为无渗透边界条件 之后，对于开放系统中的化学反应，仍存在唯一的均匀稳定解，即，小扰动变量的定义仍然适
8、用，u、v所满足的线性方程组(4.5.68)可转化为(4.5.68B)，其中 与例题类似，当方程中不含化学反应项时，(4.5.68B)中的两个方程可分别独立求解，其级数解具有如下形式，将此解形式代入原方程组再利用矩阵解法可得：，要令方程组存在非零解，则c1c2不能完全为零，其必要条件为表示成更直观的形式为 其中解得 I.时，有负实部，因此稳态解对波数很大的扰动总是稳定的II.当时，为复数，若同时，即，则的实部为正，此时系统是不稳定的，临界条件为n取0，1，2，时各本征解对应的B0，B1，B2，是产生分岔解的所在之处，意即，对于n的某个值，每当至少有一个相应的的实部为正时，稳态解对波数n的不均匀
9、扰动是不稳定的，这样的扰动便会长大而可能导致某种以波数n为特征的有序结构，由还可以得到,同时满足上两式的分岔解，属于时间周期解。.时，为实数，且必有一个正实数，系统是不稳定的从稳定到不稳定的临界曲线为此为稳定区和扰动能够非振荡地长大的不稳定区之间的分界线。15 理想流体绕球体的流动可用速度势函数的Laplace方程描述边界条件为试用分离变量法求出速度势函数在球外的分布，并进而求出径向和方向的速度分量解：问题由球坐标系中的Laplace方程描述，在轴对称条件下，方程简化为 （1）边界条件 （2）用分离变量法处 ，令 （3）分离变量后可得到 （4） （5）这里将常数表示为s(s+1)是为了下面求解
10、的方便。由于R(r)的边界条件不是齐次的，方程（4）不构成特征值问题，其展开后为欧拉方程，通解为 （6）对方程（5）作变换，令x=cos，化为Legendre方程 （7） （8）将上式与Sturm-Liouville方程（8）比较，知k(x)=1-x20，(x)=10，q(x)=0，满足特征值问题的条件。由于k(x)在边界x=1上均为零点，因此边界条件应代之以自然边界条件 （9）根据Sturm-Liouville特征值问题的四个基本定理，特征值s和特征函数H(x)必定存在，且s(s+1)0，特征函数H(x)正交且完整。因此方程（7）若要得到满足边界条件（9）的解，参数s只能取为正整数，即 相应
11、的特征函数为n阶的Legendre多项式 （10）从而由方程（6）、（10）以及线性叠加原理可将原问题的一般解表示为一下级数形式 （n=0,1,2,） （11）上式（11）求导可得 （12）由第一个边界条件得 易得 即 （13） 易知 （14） 再来看第二个边界条件，由于当r趋向于无穷大时， 为有限值，因此 （15）由（14）知，此时 （16）进一步可得因此 由于 （17）至此，将（13）、（15）、（16）、（17）中的An，Bn代入，我们得到了问题的解答即速度势函数在球外的分布为其中 进而可得 注: 此计算结果与流体力学（原著：Frank M. White 译著：陈建宏）一书P538中结论一致。