一阶直线双倒立摆系统的可控性分析.doc

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1、 一阶直线双倒立摆系统的可控性分析 学 生 姓 名 赵高飞 专 业 班 级 自 动 化 班 学 号 092210158 电 子 信 箱 联 系 电 话 15137500315 指 导 教 师 邢 广 成 First-order linear double inverted pendulum control system analysis Students surname name 赵高飞 Professional class level Automation class Learn number 092210158 Electricity letter box son Contact ph

2、one number 15137500315 Guidance teacher 邢 广 成 一阶直线双倒立摆系统的可控性分析摘要：倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。在论文中把一阶单倒立摆系统的模型作为基础，对一阶双倒立摆系统模型进行了建模、线性化处理、封装、验证和仿真，同时对仿真运行的结果进行了分析，得出了相应的结论。以一阶单倒立摆系

3、统的建模方法为基础，对一阶双倒立摆系统利用力学知识建立了精确的数学模型并进行了线性化的处理，得到了系统相应的状态空间表达式，并据对系统的验证分析作出总结和论述。利用SIMULINK仿真环境对系统的精确模型和线性化后的模型进行了对比分析的仿真验证，利用现代控制理论方法，借助MATLAB程序，通过对模型参数的改变探讨了线性化后模型的可控性。在经过大量的仿真试验分析后初步得到一阶直线双倒立摆系统在条件下的能控性。关键词：双倒立摆 建模 封装 线性化 MATLAB仿真 可控性Abstract: The inverted pendulum control system is a complex, uns

4、table, nonlinear system is the control theory teaching and carry out various control experiments ideal experiment platform. Research on the inverted pendulum system can effectively reflect the control of many of the typical problems: such as nonlinear problems, robustness issues, stabilization, with

5、 the dynamic issues and tracking problems. Through the control of inverted pendulum, the control method used to test whether the new treatment of strong nonlinearity and instability problems. In the paper ,the first-order single-inverted pendulum model as the basis of a two-stage model of inverted p

6、endulum system modeling, linear processing, packaging, validation and simulation, while running the simulation results are analyzed, too the corresponding conclusions. The first-order single-inverted pendulum system modeling method based on first-order double inverted pendulum system uses mechanical

7、 knowledge to establish a precise mathematical model and the treatment was linearized system are obtained the corresponding state space expression, and According to the verification of the system to review and discuss. SIMULINK simulation environment on the system using the exact model and the linea

8、r model after a comparative analysis of the simulation results, the use of modern control theory methods, using MATLAB program, the change of model parameters by a linearized model of the controllable sex. After analysis of a large number of simulation experiments to get a preliminary two-stage inve

9、rted pendulum system in a straight line under the conditions of controllability. Key words: double inverted pendulum modeling package linear MATLAB simulation controllability引言倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方

10、法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。第一章一阶直线双倒立摆基本原理及建模1.1倒立摆的基本实验原理倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于5铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内

11、旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。1.2一阶单倒立摆的建模倒立摆系统是一种复杂的要求快速性很高、有很强非线性的系统，为了简化直线一级倒立摆系统分析，在建立实际数学模型过程中，忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可以将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，则一阶直线单级倒立摆系统可以建立成较为精确的数学模型，其模型如图1-1所示。图1-1 一阶线性单倒立摆模型如图1-1所示，为加在小车上的外力，M为小车的质量，m为摆杆的质量，为小车的位移，为摆杆转

12、动轴心到杆质心（即为杆的中点）的长度，为摆杆的偏角。其中小车和摆杆的受力分析如下图1-2、图1-3所示。 图1-3 摆杆的受力分析 图1-2 小车的受力分析如图1-2、图1-3所示，其中为小车与摆杆相互作用力的水平方向的分量，为小车与摆杆相互作用力的垂直方向的分量。由图1-2示，根据小车在水平方向所受的合力，可得 （1-1）其中，为小车在水平方向的加速度。由于 所以 （1-2）由图1-3示，根据摆杆质心在水平方向所受的合力，可得 （1-3） 其中，为摆杆在水平方向的加速度。由于 所以 (1-4)由图1-3示，根据摆杆质心在垂直方向上所受的合力，可得 （1-5）其中，为重力加速度，为摆杆在垂直方

13、向的加速度。由于 所以 （1-6）由图1-1所示，根据刚体绕定轴转动定律，可得如下微分方程 （1-7）其中，为摆杆对质心的转动惯量，为刚体转动的角速度，为刚体主动力对该轴力矩的代数和。又因为 ，所以 （1-8）在摆杆上任取一微元，设摆杆的线密度为，则摆杆的质量 （1-9）根据刚体的转动惯量的公式，得 （1-10）把（1-9）带入（1-10），得 （1-11）因为 ， ， ， ，由（1-2）（1-4）可得 （1-12）由（1-4）（1-6）（1-8）(1-11)得 （1-13）则（1-12）（1-13）即为一阶单倒立摆的数学模型的微分方程。第二章一阶双倒立摆的建模2.1一阶双倒立摆的建模原理一阶

14、双倒立摆的建模原理与单倒立摆的建模原理类似，双倒立摆只是在单倒立摆系统的小车上多加了一个摆杆，可以利用叠加原理，在单倒立摆的基础上建立起一阶双倒立摆的数学模型.一阶直线双倒立摆系统如下图2-1所示。 如图2-1所示，在忽略空气阻力及所有摩擦力后，还需要设立如下的参数定义：M小车的质量，X小车的位置，F加在小车上的外力，M1，M2两个摆杆的质量，Ll，L2两个摆杆质心到转轴点的距离， 、两个摆杆与竖直方向的夹角,、两个摆杆的转动惯量。根据对单倒立摆的研究中可知： ， （2-1）由于小车上有两个摆杆，则小车水平方向受到了两个摆杆的分立、。所以根据牛顿第二定律，根据式（1-2）推出： （2-2）同理

15、，对两个摆杆分别进行分析，可根据（1-4）得：（2-3） （2-4）根据（1-6）式可推得： （2-5）（3-6）根据（1-8）式可推得（2-7）（2-8）把（2-3）、（2-4）式代入（2-2）式可得 （2-9）把（2-3）、（2-5）式代入（2-7）式，消去中间变量，可得 （2-10）把（2-4）、（2-6）式代入（2-8），消去中间变量，可得 （2-11）则（2-9）、（2-10）、（2-11）式即为一阶双倒立摆系统的数学模型的微分方程。2.2 双倒立摆系统数学模型的线性化由上述双倒立摆数学模型的微分方程可知，该系统是明显的非线性系统。为便于分析和计算，需要将系统在工作点( , )进行线

16、性化处理。各参数计算可作如下近似处理：， ， ， ， 。将上述条件代入一阶双倒立摆系统的微分方程（2-9）、（2-10）、（2-11）中，则进行线性化处理后的微分方程组为 （2-12） 由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式：其中，u表示系统控制输入向量，x表示系统状态变量，y表示系统的输出向量，A表示系统的状态矩阵，B表示系统控制输入矩阵，C表示系统输出观测矩阵，D表示系统输入输出矩阵。则，由方程组（2-12）可解的（2-13）整理后以、为状态变量，得到系统状态空间表达式为： （2-14）式中， 。（2-14）式即为一阶线性双倒立摆系统数学模型的状态空间表达式。第三章系

17、统模型验证3.1 模型封装模块封装是复杂系统建模和仿真时常用的方法之一，采用模块封装有很多好处：首先，它能使系统的结构更加清晰、简洁。其次，可以提高模型的通用性。它可以存入到自己的模块库中，使用时就可以和Simulink中其他的标准模块一样，只需双击，并在弹出的对话框中输入具体的参数值即可，而不需考虑它是如何实现的。由于内部结构被封装起来了，这样可以避免一些误操作，使用起来更方便。利用Simulink封装子系统功能，可使模型验证原理表示的更加简洁。以小车的外力F作为输入信号，位移、两个摆杆的摆角、作为输出响应，采用MATLAB中的Simulink工具箱以及模块封装技术对双倒立摆系统的模型进行封

18、装。一阶双倒立摆系统的模型进行封装处理后的模块如图3-1所示。 图3-1 封装后的双摆系统鼠标右键点击该子系统，选择Edit Mask选项，需要对封装模块的外部输入参数名（Variable）、参数描述（Prompt）、类型（Type）等进行设置，其具体设置窗口如图3-2、3-3所示。 图3-2 模块封装设计界面Icon选项卡设置 图3-3 模块封装设计界面Parameters选项卡设置3.1.1一阶双倒立摆精确模型的封装把（2-10）、（2-11）式带入（2-9）式中，以、为状态变量,消去、可解得： （3-1）由（2-10）可得 （3-2）由（2-11）可得 （3-3）则如图3-1所示的双倒立

19、摆系统精确模型封装的子系统内部的具体结构如图3-4所示。 图3-4 双倒立摆子系统精确模型其中，integrator为积分器环节。根据（3-1）式可知，Fcn3中输入的表达式为：(4*u5-3*g*M1*cos(u1)*sin(u1)+4*M1*L1*sin(u1)*(u32)-3*g*M2*cos(u2)*sin(u2)+4*M2*L2*sin(u2)*(u42)/(4*(M+M1+M2)-M1*(cos(u1)2-M2*(cos(u2)2)根据（3-2）式可知，Fcn1中输入的表达式为：(3*g*sin(u1)-u2*cos(u1)/(4*L1)根据（3-3）式可知，Fcn2中输入的表达式

20、为：(3*g*sin(u2)-u1*cos(u2)/(4*L2)3.1.2线性化模型的封装如图3-1所示的双倒立摆系统线性化后封装的子系统内部的具体结构模型如图3-5所示。 图3-5 双倒立摆子系统线性化后的模型其中，integrator为积分器环节。 根据方程组（2-13）可知，Fcn1中输入的表达式为：3*g*(4*M+4*M1+M2)*u1/(4*L1*a)+9*M2*g*u2/(4*L1*a)-3*u3/(L1*a)Fcn2中输入的表达式：3*g*(4*M+4*M1+M2)*u2/(4*L1*a)+9*M1*g*u1/(4*L2*a)-3*u3/(L2*a)Fcn3中输入的表达式为：-

21、3*M1*g*u1/a-3*M2*g*u2/a+4*u3/a而其中 a=4M+M1+M24.2模型验证对于采用机理建模法建立的数学模型，我们一般应用必要条件法来验证所建立的数学模型具备正确模型应具备的必要性质。对一阶线性双倒立摆系统的数学模型的验证过程如下：（1） 实验设计：假设使小车上的两个摆杆都在（、）的初始状态下，突加一个有限恒定作用的力，则根据经验知：小车的位置x将不断增大，而由于惯性定律，两个摆杆的摆角、都会增大。下面利用MATLAB仿真实验来验证“正确数学模型”应具有的这一必要性质。（2） 仿真实验：首先对封装后的双倒立摆系统的仿真模型如图3-6的子系统进行参数的设置，如图3-7选

22、取M=1、M1=M2=0.5、L1=L2=0.6、g=9.8,则a=4M+M1+M2=5。设置输入阶跃信号F=1，初始时间为0。 图3-6 双倒立摆系统仿真模型 图3-7 双倒立摆系统的参数设定分别对精确模型和线性化后的模型进行上述设置后执行如图3-6所示的双倒立摆系统，利用模型中的示波器观察各个输出量的波形图如下列各图。图3-8 精确模型小车位移的阶跃响应曲线 图3-9 精确模型两摆角的阶跃响应曲线 图3-10 线性化模型小车位移的阶跃响应曲线 图3-11 线性化模型两摆角的阶跃响应曲线如图3-8、图3-9、图3-10、图3-11所示，在t=0时刻，施加恒定的力F=1后，小车位移x逐渐增加，

23、两摆杆的摆角也逐渐的反向增加。这一结果符合前述的实验设计，故可以在一定程度上确认：该双倒立摆系统的数学模型是有效的。再根据精确模型的响应曲线图3-8、图3-9和线性化模型的响应曲线图3-10、图3-11的对比分析可知，线性化后的响应曲线与精确模型的响应曲线在施加恒力F后短期内的变化趋势是类似的。因此，利用线性化后的模型代替精确模型来研究双倒立摆系统的可控性是可行的。第四章仿真实验及结果分析4.1 仿真运行根据现代控制理论的知识，系统的能控性需要依据能控矩阵的秩来判断。下面利用MBTLAB软件对线性化后的模型在不同参数下的能控性进行研究。4.1.1 质量相同，摆杆长度相同当M=1，M1=M2=0

24、.5，L1=L2=0.6，F=1，即（，）时,响应曲线参数设置如图4-7所示。根据一阶线性双倒立摆系统数学模型的状态空间表达式（2-14）可以建立如下图4-1所示的M文件。 图4-1 能控性判断的M文件程序代码其中：是求开环系统的极点，是求系统的可控矩阵的秩。在上述参数(,)下，程序的执行结果为：系统的极点，则系统有两个临界稳定点和两个不稳定点。系统的能控矩阵的秩，说明此系统状态不完全可控。其双摆的摆角阶跃响应曲线如图4-11所示。4.1.2 质量相同，摆杆长度不同当M=1，M1=M2=0.5，L1=0.6,L2=0.8，F=1，即（，）时,修改图4-1的M程序的相关参数，执行结果为：系统的极

25、点，则系统有两个临界稳定点和两个不稳定点。系统的能控矩阵的秩，说明此系统状态完全可控。修改图3-7所示的相关参数，其双摆的摆角阶跃响应曲线如图4-2所示。 图4-2 ，时的摆角响应曲线4.1.3质量不同，摆杆长度相同当M=1，M1=0.5,M2=0.9,L1=L2=0.6,F=1，即（，）时，修改图4-1的M程序的相关参数，执行结果为：系统的极点，则系统有两个临界稳定点和两个不稳定点。系统的能控矩阵的秩，说明此系统状态完全可控。修改图3-7所示的相关参数，其双摆的摆角阶跃响应曲线如图4-3所示。 图4-3 ，时的摆角响应曲线4.2结论在本文中所建立的模型是在精确模型的基础上进行了线性化的，是为

26、了减少大量的分析和计算。仿真结果都是线性化的一阶双倒立摆系统的状态，所以其精度没有线性化之前的模型的精度高。结合上述仿真运行的结果和现代控制理论中判断稳定性的知识，可以看出不管摆杆的长度和质量如何变化，系统始终存在2个临界极点和2个不稳定的极点，由此可知一阶线性双倒立摆是自不稳定的系统。若时，经过多次改变L1和L2的值，可以发现只要，系统能控矩阵的秩，系统状态完全能控；若时，经过多次改变M1和M2的值，可以发现只要，系统能控矩阵的秩，系统状态完全能控；倘若且时，系统能控矩阵的秩，系统状态将不完全能控。根据以上分析可知两个摆杆的质量或长度不同时，那么该系统状态就完全可控。而摆杆的长度应理解为摆杆的质心到转动轴之间的距离。参考文献1张晓华.D.机械工业出版社，20092 黄忠霖.控制系统的MATLAB计算及仿真.国防工业出版社,20013郝培峰.计算机仿真技术.机械工业出版社