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1、1.（09年湖南高考题）（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为。（I）求椭圆的方程；（II）若存在过点A（1，0）的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上，求的取值范围。解：（I）设椭圆的方程为由条件知且所以 故椭圆的方程是（II）依题意, 直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是 设点关于直线的对称点为则 解得因为点在椭圆上，所以即设则因为所以于是,当且仅当上述方程存在正实根,即直线存在.解得所以 即的取值范围是2.（09年福建高考题）（本小题满分14分）已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交
2、于两点。 （）求椭圆的方程； （）求线段MN的长度的最小值； （）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由解法一：（）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为（）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而即又由得故又当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值（）由（）可知，当取最小值时， 此时的方程为 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线则由解得或3.（09年江苏高考题）（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆xyO11.（
3、1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.【解析】(1) 或，(2)P在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为或。 4.（09年安徽卷）（本小题满分12分）已知椭圆（ab0）的离心率为，以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的圆与直线y=x+2相切，（）求a与b；（）设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与x轴垂直，动直线与y轴垂直，交与点p.求线段P垂直平分线与的交点M的轨迹方程，并指明曲
4、线类型。【思路】（1）由椭圆建立a、b等量关系，再根据直线与椭圆相切求出a、b.（2）依据几何关系转化为代数方程可求得，这之中的消参就很重要了。【解析】（1）由于 又 b2=2,a2=3因此，.（2）由（1）知F1，F2两点分别为（-1，0），（1,0），由题意可设P（1，t）.（t0）.那么线段PF1中点为，设M(x、y)是所求轨迹上的任意点.由于则消去参数t得,其轨迹为抛物线（除原点）5.（09年陕西高考题）（本小题满分14分）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程(2)求的面积(3)问是否
5、存在圆包围椭圆G?请说明理由.【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c; 则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：.(2 )点的坐标为 （3）若，由可知点（6，0）在圆外， 若，由可知点（-6，0）在圆外； 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.6.（09年湖南高考题） （本小题满分13分） 已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆边形是一个面积为8的正方形（记为Q）（1） 求椭圆C的方程（2） 设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线L与椭圆C相交于M.N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线L的斜率的取值范围。解 （1） 依题意，设
6、椭圆C的方程为焦距为，由题设条件知， 所以 故椭圆C的方程式为（2） 椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。 如图，设点M，N的左边分别为线段MN的中点G， 由得 由解得 因为是方程的两根，所以，于是 =，因为0，所以点G不可能在轴的右边，有直线,方程分别为所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为既 亦即 解得，此时也成立故直线斜率的取值范围是,)7.（09年上海高考题）已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。（1） 求双曲线C的方程；（2） 若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；（3） 证明：当时，在双曲线C
7、的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.【解】（1）设双曲线的方程为这种设法很新奇，要注意 ，解额双曲线的方程为（2）直线，直线由题意，得，解得（3）【证法一】设过原点且平行于的直线则直线与的距离当时，又双曲线的渐近线为 双曲线的右支在直线的右下方， 双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为【证法二】假设双曲线右支上存在点到直线的距离为，则由（1）得设，当时，；将代入（2）得， 方程不存在正根，即假设不成立，故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为19. 已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A (0，)为圆心，
8、1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于y = x对称 （1）求双曲线C的方程； （2）若Q是双曲线线C上的任一点，F1，F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程； （3）设直线y = mx + 1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线l经过M (2，0)及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围 解：设双曲线C的渐近线为y = kx，即kx y = 0渐近线与x2 + (y )2 = 1相切，双曲线C的渐近线为y = x，设双曲线方程为x2 y2 = a2A (0，)关于y = x的对称点为(，0)，由题意知，双曲线的一个焦点为
9、(，0)，C = 2a2 = 2，a2 = 1，双曲线C的方程为x2 y2 = 1（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT| = |QF1|；若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT| = |QF1|根据双曲线的定义，|TF2| = 2T在以F2 (，0)为圆心，2为半径的圆上，点T的轨迹方程是(x )2 + y2 = 4 (x0) 易知，点N是线段F1T的中点设N (x，y)，T (x0，y0)，则代入得，N点的轨迹方程为x2 + y2 = 1 (x)（3）由得 (1 m2) x2 2mx 2 = 0，依题意有AB中点为，l的方程为y = 令x = 0得 b = m(1，) 2(m )2 + (2 + ，1) b的范围是(， 2 )(2，+)