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1、121 2MFMF精品文档圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析圆锥曲线中的三角形问题（特别是与焦半径相关的三角形问题）是解析几何中的一个综合 性较强的重点内容。下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。一、定值问题例 1. 椭 圆xa22y 2+ =1( a b 0) b 2上 一 点 P ， 两 个 焦 点F ( -c,0)，F ( c,0) ， DF PF 1 2 1 2的内切圆记为 M ，求证：点 P 到 M 的切线长为定值。证明：设M 与PF F 的切点为 A、B、C，如图 1，因M 是F 的内切1 2 1 2圆，所以|F A|=|F C|、|F C|=|F B|，|PA|=|PB|；
2、|F C|F C|=2c， |F A|1 1 2 2 1 2 1|F B|=2c，由椭圆第一定义知 |PF |PF |=2a ， |PA|F A|PB|2 1 2 1|F B|=2a， 2|PA|=2a2c 即 |PA|=ac 为定值证毕2点评：圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础 , 而且也是解题的重要工具 . 对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简,捷足先登的解题 效果。二、动点轨迹问题例 2、已知椭圆x 2 y 2+ =1( a b 0) a 2 b 2上一动点 P，两个焦点F ( -c,0)，F ( c,0) 1 2，DF PF1 2的内切圆记为
3、M，试求圆心 M 的轨迹方程 。解析： 如图 1，设PF F = 、PF F = ，M(x，y)则 PF F 中由正弦定理及椭圆的定1 2 2 1 1 2| PF | | PF | | F F |义 有 = = ， 由 等 比 定 理 有 即 s bi ns ai ns 180i n -(a+b)| PF | +| PF | | F F | 2 a 2c1 2 = 1 2 =sin a+sin b sin(a+b) sin a+sin b sin(a+b)， 又 由 合 分 比 定 理 知a b a -c y ytan tan = 。由斜率公式知：k = , k = ( y 0), 2 2 a
4、 +c 1 x +c 2 x -c由前述不难看出，不论P位 于 椭 圆 上 （ 异 于 长 轴 两 端 点 ） 何 处 ， 总 有kMF1kMF2a b y y a -c=-tan tan , =- ( y 0).2 2 x +c x -c a +c整理得(ac)x2(ac)y2=(ac)c2(y0)证毕点评：由上获得的方程不难看出，PF F 的内切圆圆心 M 始终在包含于原椭圆内的一小椭2圆上移动如果 PF F 中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。同时从解题过程，不难得到1 2一 个 重 要 的 结 论 ： 已 知 椭 圆x 2 y 2+ =1( a b 0) a 2 b 2上 一 点 P
5、及 两 焦 点F 、F1 2， 若PF F =a ， PF F =b1 2 2 1，则椭圆的离心率为sin(a+b) sin a+sin b。三、方程问题例 3. 如图 2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，精品文档F 、F1 212221 21222223x y22+ =17 7精品文档分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点 P，F PF =1 2p3， PF F 的面积为 2 3 ， 1 2双曲线的离心率为 2，求该双曲线的方程。解 析 ： 设 双 曲 线 的 方 程 为x 2 y 2- =1( a 0，b 0) ， F ( -c， 0) ，F ( c， 0) a 2 b 2，
6、P ( x ，y ) 0 0。在 PF F1 2中 ，由余弦定理 ，得| F F |2 =|PF |2 +|PF |2 -2| PF | | PF | cos 1 2 1 2 1 2p3=(| PF |-|PF |) 2 +|PF | | PF | 1 2 1 2，即4 c =4a +|PF | | PF | ， 又 因 为 S =2 3 ， 所 以 1 p ， 所 以1 2 F | PF | | PF |s i n =2 32 32| PF | | PF | =8 ，所以 4 c =4a +8 即 b =2 ，又因为 c ，所以 a = 。故所求双 1 2 e = =2a曲线方程为3x 2
7、y 2 - =12 2。点评：如果在PF F1 2中仅知一个角，我们经常要联想到余弦定理解决问题。四、最值.范围问题例 4、 已知曲线 C 的方程为 ，A（1，0），B（1，0），过点 B 的直线 l 与曲线4 3C 交于 M，N 两点，若MAN 为钝角，求直线 l 的倾斜角为 a 的取值范围。解 ：（ 1 ） 若 l x 轴 ， 则 l 的 方 程 为3 3x =1 M (1， ) ，N (1， - )2 2，3MAN =2 arctan 90 4（不合题意）。（2）若 l 与 x 轴重合，则MAN（不合题意）。（3）若 l 与 x 轴、y 轴不垂直，设l：y =k ( x -1)( k 0
8、)，代入曲线 C 的方程得：(3 +4 k2 ) x 2 -8k 2 x +4 k 2-12 =0设M ( x ，y )，N ( x ，y ) x +x =1 1 2 2 1 28 k 23 +4 k2，x x =1 24 k 2 -12 3 +4 k 2所以 AM AN=( x +1)(x +1) +y y =( x +1)(x +1) +k 2 ( x -1)(x -1)1 2 1 2 1 2 1 2=(1+k2) x x +(1 -k 2 )( x +x ) +1 +k 1 2 1 22=7k 2 -9 3 +4 k 2因 为 MAN 为 钝 角 ， 所 以 AM AN 0所 以7k 2
9、 -9 0 ，所以 0 k 2 97， 所 以3 7 3 7- k 0 或0 k 0 PF1 PF2 0 ；F1PF2 为直角 cos F1 PF2 =0 PF1 PF2 =0 ；F1PF2 精品文档1 2精品文档 为钝角 cos F PF 0 PF PF 0，b 0 a 2 b2且a b ) 的两个焦点， P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点， O 为坐标原点下面四个命题： PF F 的内切圆的圆心必在直1 2线 x =a 上；PF F 的内切圆的圆心必在直线 x =b 上； PF F 的内切圆的圆心必在直1 2 1 2线 OP 上； PF F 的内切圆必通过点 (a，0)其中真命题的代号是
10、 （写出所有真命1 2题的代号）解析：设 PF F 的内切圆分别与 PF 、PF 切于点 A、B，与 F F 切于点 M，则|PA|PB|，1 2 1 2|F A|F M|，|F B|F M|，又点 P 在双曲线右支上，所以|PF |PF |2a，故|F M|F M| 1 1 2 2 1 2 1 22a，而|F M|F M|2c，设 M 点坐标为（x，0），则由|F M|F M|2a 可得（xc）（c 1 2 1 2x）2a 解得 xa，显然内切圆的圆心与点 M 的连线垂直于 x 轴，故、正确。点评：本题主要圆锥曲线焦点三角形内切圆问题。其中利用圆锥曲线定义和平面几何性质 是问题求解的关键。精品文档