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1、第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为，输出为，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。图P2.1解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。这里采样机理分析法。设两端电压为，两端的电压为，则 (1) (2)选择状态变量为，由式(1)和(2)得：状态空间表达式为：即: 2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。 图P2.2解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令为输入量，即，的位移量，为输出量，选
2、择状态变量，= ，=，。根据牛顿定律对有：对有： 经整理得：状态方程为： 输出方程为： 写成矩阵形式为：2.5 系统的结构如图P2.5所示。以图中所标记的、作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，、分别为系统的输入、输出，、均为标量。图P2.5系统结构图解 图P2.5给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。着眼于求和点、，则有：输出为，得2.7 试求图中所示的电网络中，以电感、上的支电流、作为状态变量的状态
3、空间表达式。这里是恒流源的电流值，输出是上的支路电压。图P2.8 RL电网络解 采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程整理得状态空间表达式为2.8 已知系统的微分方程 (1) ；(2) ；(3) 。试列写出它们的状态空间表达式。(1) 解 选择状态变量，则有：状态空间表达式为：(2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件下取拉氏变换得：由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为(3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件下取拉氏变换得：在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是
4、否为严格真有理分式，即是否小于，若需作如下处理再由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为 2.9 已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。(1) (2)(1) 解 首先将传函(1)化为严格真有理式即：令，则有，即：由上式可得状态变量图如下： 由状态变量图或公式(2.14)、(2.15)直接求得能控标准型状态空间表达式(2) 解 由已知得：，令： ，得： 状态变量图如下：状态表达式如下： 2.13 列写图P2.10所示系统的状态空间表达式。图P2.10解 设 (7) (8)则由系统方框图可得 (9) (10)对式进行拉氏反变换得则系统状态空间表达式为2.14 试将下列状态方程化为对角标准形。(1) (2) (1) 解 求特征值解得 求特征向量、对于：有 解得 、对于：有 解得 构造，求 求，。, 则得对角标准型 (2) 解 求特征值： 求特征向量、对于有：、对于有：、对于有： 构造，求。 求，。则得对角标准型 2.15 试将下列状态方程化为约当标准形。解 求特征值： 求特征向量、对于有 即 、对于有 即 即 构造，求。 求，。则得约当标准型 2.16 已知系统的状态空间表达式为求其对应的传递函数。解，2.19 设离散系统的差分方程为求系统的状态空间表达式。解 对差分方程取Z变换，得：离散系统状态方程式为15