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1、 一元二次方程根与系数的关系（附答案）评卷人得 分一选择题（共 6 小题）1已知关于 x 的一元二次方程 3x +4x5=0，下列说法正确的是（）2A方程有两个相等的实数根 B方程有两个不相等的实数根C没有实数根 D无法确定2关于 x 的一元二次方程 x +2xm=0 有实数根，则 m 的取值范围是（）2Am1 Bm1 Cm1 Dm13关于 x 的一元二次方程 x +3x1=0 的根的情况是（）2A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C没有实数根 D不能确定4设 x 、x 是一元二次方程 2x 4x1=0 的两实数根，则 x +x 的值是（）2221212A2 B4 C5 D65若 、
2、是一元二次方程 x 5x2=0 的两个实数根，则 + 的值为（）2A5 B5 C2 D6已知关于 x 的方程 x 4x+c+1=0 有两个相等的实数根，则常数 c 的值为（2A1 B0 C1 D3评卷人得 分二填空题（共 1 小题）7若关于 x 的一元二次方程 x 3x+a=0（a0）的两个不等实数根分别为 p，q，2且 p pq+q =18，则的值为22评卷人得 分第1页（共10页） 三解答题（共 8 小题）8已知关于 x 的方程 x （2k+1）x+k +1=022（1）若方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且 k=2，求该矩形的对角线
3、 L的长9已知关于 x 的方程 x +ax+a2=02（1）若该方程的一个根为 1，求 a 的值；（2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根10已知关于 x 的一元二次方程（xm） 2（xm）=0（m 为常数）2（1）求证：不论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为 3，求 m 的值11已知关于 x 的一元二次方程 x x+a1=02（1）当 a=11 时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根 x ，x ，求 a 的取值范围；12（3）若方程两个实数根 x ，x 满足2+x （1x ）2+x （1x ）=9，求 a 的121122值12已知 x
4、 ，x 是关于 x 的一元二次方程 4kx 4kx+k+1=0 的两个实数根212（1）是否存在实数 k，使（2x x ）（x 2x ）= 成立？若存在，求出 k 的值；1212若不存在，说明理由；（2）求使 + 2 的值为整数的实数 k 的整数值；（3）若 k=2，= ，试求 的值13已知关于 x 的方程（k+1）x 2（k1）x+k=0 有两个实数根 x ，x 212（1）求 k 的取值范围；（2）若 x +x =x x +2，求 k 的值121 214已知关于 x 的方程 x 2（m+1）x+m 3=022（1）当 m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设 x 、x 是方程的两根
5、，且 x +x =22+x x ，求实数 m 的值2212121 2第2页（共10页） 15已知关于 x 的一元二次方程 x 2x+m1=0 有两个实数根 x 、x 212（1）求 m 的取值范围；（2）若 x +x =6x x ，求 m 的值22121 2第3页（共10页） 参考答案与试题解析一选择题（共 6 小题）1已知关于 x 的一元二次方程 3x +4x5=0，下列说法正确的是（）2A方程有两个相等的实数根 B方程有两个不相等的实数根C没有实数根 D无法确定【解答】解：=4 43（5）=760，2方程有两个不相等的实数根故选：B2关于 x 的一元二次方程 x +2xm=0 有实数根，则
6、 m 的取值范围是（）2Am1 Bm1 Cm1 Dm1【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x +2xm=0 有实数根，2=2 41（m）=4+4m0，2解得：m1故选：A3关于 x 的一元二次方程 x +3x1=0 的根的情况是（）2A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C没有实数根 D不能确定【解答】解：a=1，b=3，c=1，=b 4ac=3 41（1）=130，22方程有两个不相等的实数根故选：A4设 x 、x 是一元二次方程 2x 4x1=0 的两实数根，则 x +x 的值是（）2221212A2 B4 C5 D6【解答】解：x 、x 是一元二次方程 2x 4x1=0 的两实数
7、根，212第4页（共10页） x +x =2，x x = ，121 2x +x =（x +x ） 2x x =2 2（ ）=5222212121 2故选：C5若 、 是一元二次方程 x 5x2=0 的两个实数根，则 + 的值为（）2A5 B5 C2 D【解答】解：、 是一元二次方程 x 5x2=0 的两个实数根，2+=5故选：B6已知关于 x 的方程 x 4x+c+1=0 有两个相等的实数根，则常数 c 的值为（）2A1 B0 C1 D3【解答】解：关于 x 的方程 x 4x+c+1=0 有两个相等的实数根，2=（4） 41（c+1）=124c=0，2解得：c=3故选：D二填空题（共 1 小题
8、）7若关于 x 的一元二次方程 x 3x+a=0（a0）的两个不等实数根分别为 p，q，2且 p pq+q =18，则的值为 5 22【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x 3x+a=0（a0）的两个不等实数根分2别为 p、q，p+q=3，pq=a，p pq+q =（p+q） 3pq=18，即 93a=18，222a=3，pq=3， + =5第5页（共10页） 故答案为：5三解答题（共 8 小题）8已知关于 x 的方程 x （2k+1）x+k +1=022（1）若方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且 k=2，求该矩形的对角线 L的长【解
9、答】解：（1）方程 x （2k+1）x+k +1=0 有两个不相等的实数根，22=（2k+1） 41（k +1）=4k30，22k （2）当 k=2 时，原方程为 x 5x+5=0，2设方程的两个为 m、n，m+n=5，mn=5，=9已知关于 x 的方程 x +ax+a2=02（1）若该方程的一个根为 1，求 a 的值；（2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根【解答】（1）解：将 x=1 代入原方程，得：1+a+a2=0，解得：a= （2）证明：=a 4（a2）=（a2） +422（a2） 0，2（a2） +40，即0，2不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根10
10、已知关于 x 的一元二次方程（xm） 2（xm）=0（m 为常数）2（1）求证：不论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为 3，求 m 的值第6页（共10页） 【解答】（1）证明：原方程可化为 x （2m+2）x+m +2m=0，22a=1，b=（2m+2），c=m +2m，2=b 4ac=（2m+2） 4（m +2m）=40，222不论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根（2）解：将 x=3 代入原方程，得：（3m） 2（3m）=0，2解得：m =3，m =112m 的值为 3 或 111已知关于 x 的一元二次方程 x x+a1=02（1）当 a=11 时
11、，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根 x ，x ，求 a 的取值范围；12（3）若方程两个实数根 x ，x 满足2+x （1x ）2+x （1x ）=9，求 a 的121122值【解答】解：（1）把 a=11 代入方程，得 x x12=0，2（x+3）（x4）=0，x+3=0 或 x4=0，x =3，x =4；12（2）方程有两个实数根，0，即（1） 41（a1）0，解得；2（3）是方程的两个实数根，2+x （1x ）2+x （1x ）=9，1122把，代入，得：2+a12+a1=9，即（1+a） =9，2解得 a=4，a=2（舍去），所以 a 的值为4第7页（共10页） 12已知 x
12、，x 是关于 x 的一元二次方程 4kx 4kx+k+1=0 的两个实数根212（1）是否存在实数 k，使（2x x ）（x 2x ）= 成立？若存在，求出 k 的值；1212若不存在，说明理由；（2）求使 + 2 的值为整数的实数 k 的整数值；（3）若 k=2，= ，试求 的值【解答】解：（1）x 、x 是一元二次方程 4kx 4kx+k+1=0 的两个实数根，212x +x =1，x x =，121 2（2x x ）（x 2x ）=2x 4x x x x +2x =2（x +x ）9x x =21 9=22222121211 21 22121 2，若 2= 成立，解上述方程得，k= ，=
13、16k 44k（k+1）=16k0，2k0，k= ，矛盾，不存在这样 k 的值；（2）原 式=2=2=4=，k+1=1 或1，或 2，或2，或 4，或4解得 k=0 或2，1，3，3，5k0k=2，3 或5；第8页（共10页） （3）k=2，= ，x +x =1，12x +x =1，x =，x =，2221x x = ，1 2= ，=33 13已知关于 x 的方程（k+1）x 2（k1）x+k=0 有两个实数根 x ，x 212（1）求 k 的取值范围；（2）若 x +x =x x +2，求 k 的值121 2【解答】解：（1）关于 x 的方程（k+1）x 2（k1）x+k=0 有两个实数根，
14、2，解得：k 且 k1（2）关于 x 的方程（k+1）x 2（k1）x+k=0 有两个实数根 x ，x 212x +x =，x x =121 2x +x =x x +2，即=+2，121 2解得：k=4，经检验，k=4 是原分式方程的解，k=414已知关于 x 的方程 x 2（m+1）x+m 3=022（1）当 m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设 x 、x 是方程的两根，且 x +x =22+x x ，求实数 m 的值2212121 2【解答】解：（1）=2（m+1） 4（m 3）=8m+16，22当方程有两个不相等的实数根时，则有0，即 8m+160，解得 m2；第9页（共10
15、页） （2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，得 x +x =2（m+1），x x =m 3，2121 2x +x =22+x x =（x +x ） 2x x ，222121 2121 22（m+1）2（m 3）=6+（m 3），22化简，得 m +8m9=0，解得 m=1 或 m=9（不合题意，舍去），2实数 m 的值为 115已知关于 x 的一元二次方程 x 2x+m1=0 有两个实数根 x 、x 212（1）求 m 的取值范围；（2）若 x +x =6x x ，求 m 的值22121 2【解答】解：（1）方程有两个实数根，0，即（2） 4（m1）0，2解得 m2；（2）由根与系数的关系可得 x +x =2，x x =m1，121 2x +x =6x x ，22121 2（x +x ） 2x x =6x x ，即（x +x ） =8x x ，22121 21 2121 24=8（m1），解得 m=1.5第10页（共10页）