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1、 有理数的乘方及混合运算（提高）【学习目标】1理解有理数乘方的定义；2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3. 进一步掌握有理数的混合运算.【要点梳理】aa即有：an.在 n中， 叫做底数， n 叫做指数.1 4 2 4 3n个要点诠释：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来（3）一个数可以看作这个数本身的一次方例如，5 就是51，指数1 通常省略不写要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0 的任何正整数次幂
2、都是 0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值(2)任何数的偶次幂都是非负数【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 有理数的混合运算】要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式
3、子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行(3)在运算过程中注意运算律的运用【典型例题】类型一、有理数的乘方1. 计算：3 ；- 3 ；（-3）；-（- 3）（1） 4444 23322(-2)3；（ ）；（ - ）；-（2）33333【答案与解析】由乘方的定义可得： (1)3 333381；4-3 -（3333）-81；4(-3) = (-3)(-3)(-3)(-3) = 814；-(-3) = -(-3)(-3)(-3)(-3) = -8142 222 822 2 283=( )3 = ( )( )( ) =(2)3 ；3333 3 3 2722228(- ) = (- )(- )(-
4、) = -3；273333(-2)3(-2)(-2)(-2)-8 8-= -= - =333 3(-a) -a【总结升华】注意 与 的意义的区别(-a) = a(-a)2n+1 = -a2n+12 （n 为正整数），nn2nn（n 为正整数）举一反三：【变式1】比较(-5) 与-5 的异同33【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；不同点：(-5) 表示-5 的3 次方，即(-5)(-5)(-5)-125，而-5 表示5 的3 次方的相33反数，即-5 -(555)因此，它们的底数不同，表示的意义不同3 2-2 = 4【变式2】已知a ，且 a，则a3 的倒数的相反数是1【答案】8类型二、乘
5、方运算的符号法则2不做运算，判断下列各运算结果的符号5 5(-2) ，(-3) ，(-1.0009) ， ，-(-2)2010 72420093 【答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得：5 5(-2) 运算的结果是负；(-3) 运算的结果为正；(-1.0009) 运算的结果是负；72420093 运算的结果是正；-(-2) 运算的结果是负2010【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负 举一反三：( ) ( ) ( )1 + -1-1 + -1nnn+1n-=【变
6、式】当 n 为奇数时，【答案】044类型三、有理数的混合运算3.计算：（1）-(-3) +(-2) (-3)-(-5)23（2）7 -6(-7) -(-1) (-21 -24+21 )3210441 3 1 2 2-+ - - 2（3）；22 3 31111341 2 -2 + 11 + 2 -13 24 -（4） ( )-0.24243 3【答案与解析】（1）-(-3) +(-2) (-3)-(-5)23-9+(-8)(-3+5)-9+(-8)2-9+(-4)-13（2） 7 -6(-7) -(-1) (-21 -24+21 )321044(77 -67 -1)(-21 +21 -24)22
7、447 (7-6)-1(-24)2(49-1)(-24)-2（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.1 1 221 18 31124= - + - (2 - ) = - - = -原式8 2 33（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.1111341 2 -2 + 11 + 2 -13 24 - ( )-0.24243 45 7 553151= (- ) + ( + - )24 -11624 3 4(- )351 2 57= - - 24+ 24 +12516 5 2133940= - - 60 + 56 +125 =12040【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关
8、键，细心计算是运算正确的前提举一反三：【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 典型例题 1】 1 ( ) （1）【变式】计算：21- 1- 0.5 2- -3 3 1 ( ) （2）（3）-1 - 2 - -34361 1(1 + - 2.75)(-24)+(-1) - -2320113 811（4）-(-0.1) (-0.2)+|-2 -3|3325176 ( )( )【答案】（1）原式= 1- - 7 = -7 = -661 1176( )或原式=（1-1+ ）（2-9）= -7 = -2 361135( )= =-1- 2 - -27-1- 2 9 -（2）原式6664 1 1
9、1=( + - )(-24)-1- 8(3) 原式-32-3+66-9=223 8 411=-+|-8 -3|(4) 原式-0.001 0.04= -1000-25+11 = -1014：4.计算(-2) + 220112012【答案 与解析】逆用分配律可得：(-2) + 2= -2 + 2= 2 (-1+ 2) =12 = 22011201220112012201120112011【总结升华】灵活运用运算律，简化运算.另外有22n+1 - 2 = 2 ;2 - 2= 22n-12n2n2n2n-1举一反三：2 - 2 - 2 - 2 - 2 -.- 2 - 2 - 2 - 2【变式 1】计算
10、： 2019181716432【答案】原式2 - 2 - 2 - 2 -.- 2 - 2 - 2 - 2 = 2 - 2 - 2 -.- 2 - 2 - 2 - 2= 19181716432181716432= . = 2 - 2 = 2234(- ) (- )【变式 2】计算：77443334(- ) (- ) = (- )(- ) =1【答案】7774343类型四、探索规律 5. 下面是按一定规律排列的一列数：1-1- 1+第1 个数：2；21第2 个数：3-1 (-1) (-1) 23- 1+1+1+ ；234 1第3 个数：4-1 (-1) (-1) (-1) (-1) 2345- 1
11、+1+1+ 1+ g 1+ ；23456 1-1 (-1) (-1) (-1) 232n-1- 1+1+1+ g 1+第n 个数：n +1 2 3 4 2n 那么，在第10 个数、第11 个数、第12 个数、第13 个数中，最大的数是（ ）A第10 个数【答案】AB第11 个数C第12 个数D第13 个数1 11 116【解析】第 1 个数结果为- = 0 ；第 2 个数结果为 - = -；第 3 个数结果为2 23 21 1- = -1-14 3 6 5 ，分子、分母相1+4 ；发现运算中在后边的各式为4 223 4 5 611-约为1，所以第n 个数结果为，把第10、11、12、13 个数
12、分别求出，比较大小即n +1 2可【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循举一反三：【变式】观察下面三行数：-3，9，-27，81，-243，729，0，12，-24，84，-240，732，-1，3，-9，27，-81，243，(1)第行数按什么规律排列?(2)第行数与第行数分别有什么关系?(3)取每行数的第10 个数，计算这三个数的和【答案 】 (1)第行数的规律是：-3，(-3) ，(-3) ，(-3) ，；234(2)第行数是第行数相应的数加3，即：-3+3，(-3) +3，(-3) +3，(-3) +3，；第2341行数是第行数相应的数的 ，即13 ，13 ，13 ，1-3(-3) (-3) (-3) 2343 ，；31(-3) +(-3) +3+ (-3) =(3)每行数中的第10 个数的和是：13778410101059049+59052+196833