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1、.1.3三角函数的诱导公式（二）学习目标.1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.完成下表，并由此总结角，角的三角函数值间的关系.(1)sin，cos，sincos；424244326236sin(-a)=cos，知识点一.诱导公式五21162326322(2)sin，cos，sincos；33(3)sin，cos，sincos.由此可得诱导公式五p2cos(p2-a)=sin.思考
2、.能否利用已有公式得出的正弦、余弦与角的正弦、余弦之间的关系？sincos()，cossin().知识点二.诱导公式六2答案.以代替公式五中的得到22由此可得诱导公式六sin(a+p)=cos，2.cos(a+p2)=sin1.sin()cos，cos()sin，sin()cos，cos()sin.公式五六归纳：的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值，前面加六组诱导公式可以统一概括为“k(kZ)”的诱导公式.记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k(kZ)中k的奇偶性，.知识点三.诱导公式的推广与规律332233222.诱导公式记忆规律：公式一四归纳：2k(kZ)，的
3、三角函数值，等于角的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.2上一个把看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.22当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把看成锐角时原函数值的符号，而不是函数值的符号.1例1.(1)已知cos()，为第一象限角，求cos的值.1526363解.(1)cos()cos，cos，又为第一象限角，则cossin1cos2类型一.利用诱导公式求值22(2)已知cos，求cossin的值.12122.13212.
4、2562sin(2)cos3cossincossin163211cos.反思与感悟.对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如与，与，与等互余，与，与等互补，6363sin369362336443344遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.6，求cos3的值.跟踪训练1.已知sin33解.，.coscos6333sincossin2cos2sincos6323263263sin.类型二.利用诱导公式证明三角恒等式tan(2)sin(2)cos(6)例2.求证：tan.22证明.左边tan()sin()cos()22(tan)(sin)cos22.sincos
5、cossincos32sincos112sin2()32sin(sin)112sin2.sin222sin2sintan右边.原等式成立.反思与感悟.利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.22跟踪训练2.求证：tan(9)1.tan()12证明.因为左边sin122sin12sin22sinsin112sin2cos2sin22sin2sin2cos2sincostan1s
6、incos2sinAB2，试判断ABC的形状.2sinABC2，22cossin1(sincos)2sincos.tan1sincos右边.所以左边右边，故原等式成立.类型三.诱导公式在三角形中的应用ABC例在ABC中，sin解.ABC，ABC2C，ABC2B.ABCsin.sin(C)sin(B)，22反思与感悟解此类题需注意隐含的条件，如在ABC中，ABC，ABC合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(AB)sinC，cos(AB)cosC，sinAB222.2C2Bsinsin，22即cosCcosB.又B，C为ABC的内角，CB，ABC为等腰三角形.22，结2CABCcos，coss
7、in.跟踪训练在ABC中，给出下列四个式子：sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；sin(2A2B)sin2C；cos(2A2B)cos2C.其中为常数的是(.)A.B.C.D.答案.B解析.sin(AB)sinC2sinC；cos(AB)cosCcosCcosC0；sin(2A2B)sin2Csin2(AB)sin2Csin2(C)sin2Csin(22C)sin2Csin2Csin2C0；cos(2A2B)cos2Ccos2(AB)cos2Ccos2(C)cos2Ccos(22C)cos2Ccos2Ccos2C2cos2C.故选B.类型四.诱导公式的综合应用.sin()cos()
8、sin()例4.已知f().(2)若角A是ABC的内角，且f(A)，求tanAsinA的值.解.(1)f()cos.(2)因为f(A)cosA，所以由平方关系，得sinA1cos2A，所以tanA，所以tanAsinA.2cos()sin()(1)化简f()；35sincoscoscos(sin)35又A为ABC的内角，45sinA4cosA34483515反思与感悟.解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.跟踪训练4.已知sin是方程5x27x60的根，是第三象限角，求3322sincos22cossintan2
9、()的值.由是第三象限角，得sin，则cos，3解.方程5x27x60的两根为x15，x22，345533sincos2222cossintan2()22sincossincostan2sincoscos(sin)tan2cos216sin29tan2.6331.已知sin，则cos的值为(.).3B.2323A.33C.131D.解析.coscos631sin.答案.D263，则sin()等于(.)2.若cos(2)53323C.5D.5A.3532B.3答案.A解析.cos(2)cos()cos53，sin()cos.sin()cos()sin()sin()352323.已知tan2，则等
10、于(.)2A.2B.2C.0D.232coscoscossinsin()sin()21tan12答案.Bsin()cos()解析.222.222sin，4.已知cos2257求sin3()cos()5cos3sin的值.解.cos2sin，sin2sin，222sin2cos，即tan2.575cos3sin5cos23sin4225cos3sinsin3()cos()22sin3cos22sin3cos5sin3cos5tan31037sin3cossin2tan12sin212sin212sin2(sin2cos2)7(sin2cos2)7(sin2cos2)7(tan21)417(41)
11、35tan(2)cos()cos(6)33sin()cos()tan(2)cos()cos(6)33sin()cos()sin2cos2tan213.325.求证：tan.2232证明.因为左边22tan()(sin)coscossintansincoscossintan右边，.，的三角函数值，等于的异名三角函数值，前面加上一个把看成锐(2)以上两类公式可以归纳为：k(kZ)的三角函数值，当k为偶数时，得的同22.所以原等式成立.1.诱导公式的分类及其记忆方式(1)诱导公式分为两大类：k2，(2k1)(kZ)的三角函数值，等于的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，为了便于记
12、忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.22角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.2名函数值；当k为奇数时，得的异名函数值，然后在前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，)内的三角函数值”这种方式求解.用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到之间的角的三角函数的基本步骤：1.已知sin()，那么cos等于(.)课时作业一、选择题5125552A.1B.C.15D.25解析.sin()cos，故cos，故选C.答案.C5125.2.已知cos()，且是第四象限角，则cos(3)等于(
13、.).33255A.454B.54C.D.35解析.cos()sin，sin.又为第四象限角，cos1sin2，cos(3)cos()cos，故选B.答案.B332545453.若角A，B，C是ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(.)A.cos(AB)cosCB.sin(AB)sinC2sinBBCC.cosD.sincos22，coscos()sin，故C项不正确；sinBCsin()cos，故D项正确.ACA22答案.D解析.ABC，ABC，cos(AB)cosC，sin(AB)sinC，故A，B项不正确；ACBACB，ACBB2222BCA，AA22224.已知锐角终边上一点P的
14、坐标是(2sin2，2cos2)，则等于(.)22A.2C.2B.2D.2为锐角，2.答案.C解析.cos2sin2sin2，(2sin2)2(2cos2)225.已知f(sinx)cos3x，则f(cos10)的值为(.).2222236.若sin()cosm，则cos2sin(2)的值为(.)3322解析.sin()cossinsinm，sin.3故cos2sin(2)sin2sin3sin.17.若cos，且是第四象限角，则cos.5解析.cos，且是第四象限角，.1133A.B.C.D.答案.A解析.f(cos10)f(sin80)cos2401cos(18060)cos60.222m
15、2m3m3mA.B.C.D.答案.C2m223m2二、填空题5226答案.15126512.sin1cos2526cossin.222258.sin21sin22sin288sin289.89答案.解析.原式(sin21sin289)(sin22sin288)(sin244sin246)sin24518944.9.已知tan(3)2，则.sin(3)cos()sin2cossincostan12110.在ABC中，3sinA3sin(A)，且cosA3cos(B)，则C2.22sin()cos().答案.2解析.因为tan(3)tan()tan2，sintan2所以原式2.2.答案.解析.由题
16、意得3cosA3sinA，.由得tanA3，A.61由得cosB，B.3C.cos()sin()119cos()sin()x4cosA3cosB，36cos232三、解答题11.已知角的终边经过点P(4，3)，求2的值.22解.角的终边经过点P(4，3)，y3tan，cos()sin()cos()sin()211922sinsintan4sincos3.512.已知sincos60，且cos0，sincos，sincos，22260169120169又sin2cos21，2891694916942即sincos0，sincos0，1713713得sin，得cos.13.已知sin().计算：(
17、1)cos；(2)sin；(3)tan(5).解.sin()sin，sin.3122(1)coscossin.(2)sincos，cos21sin21.sin，为第一或第二象限角.12513131322113331829913当为第一象限角时，sincos23.22.当为第二象限角时，sincos2.223.sin，当为第一象限角时，cos，tan2，tan(5)tan.当为第二象限角时，cos，tan，(3)tan(5)tan()tan，13为第一或第二象限角.223244222344tan(5)tan2.32sin()2sin4)2cos()，sin2cos且cos0，原式2cos2cos
18、4cos4cossin()cos(2)31(1)若cos，求f()的值；cossin()cos(2)sincossinsin()cossin3125(1)cos，四、探究与拓展sin()5cos(2)14.已知sin(3)2cos(4)，则.3答案.解析.sin(3)2cos(4)，sin(3)2cos(4)，sin(sin5cos2cossin2cos5cos3cos3.15.已知是第四象限角，且f()sin()cos(2).225(2)若1860，求f()的值.解.f()sin()cos(2)21.cos322，12cos，sin，f()1(2)当1860时，f()11sin(1860)sin18602315515sin5.sin111sin(536060)sin603.