《2020年高考文科数学总复习：不等式的证明与柯西不等式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考文科数学总复习：不等式的证明与柯西不等式.docx（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 2020 年高考文科数学总复习：不等式的证明与柯西不等式1设 a，b，c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()11aA(a3) 2a 6a11Ba a222a21C|ab|答案 C2abD. a3 a1 a2 a解析 (a3)2(2a26a11)a22b 时，恒成立，当 ab 时，不恒成立；22由不等式0，y0，aR，bR.求证：() 2.xy答案 略证明 因为 x0，y0，所以 xy0.axbyxya xb y22所以要证()2，xy即证(axby)2(xy)(a2xb2y)，axbyxya xb y22即证 xy(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20 显然成立
2、故()2.xy7(2014江苏)已知 x0，y0，证明：(1xy )(1x y)9xy.22答案 略证明 因为 x0，y0，所以 1xy23 xy20，1x2y3 x2y0.故(1xy2)(1x23333y)3 xy23 x2y9xy.8(2018福建质量检查)若 a，b，cR ，且满足 abc2.(1)求 abc 的最大值；1 1 1 9(2)证明： .a b c 2827答案 (1)(2)略解析 (1)因为 a，b，cR ，3827所以 2abc3 abc，故 abc .23当且仅当 abc 时等号成立8所以 abc 的最大值为 .271 1 1 1(2)证明：因为 a，b，cR ，且 a
3、bc2，所以根据柯西不等式，可得 (aba b c 21 1 1 111b1c11c) ( ) ( a)2( b)2( c)2(a)2()2()2 ( a a b2a b c21b1c92 c)2 .第 2 页 共 5 页 1 1 1 9所以 .a b c 2119(2016课标全国，理)已知函数 f(x)|x |x |，M 为不等式 f(x)2 的解集22(1)求 M；(2)证明：当 a，bM 时，|ab|1ab|.答案 (1)x|1x1 (2)略122x，x ，11解析 (1)f(x) 1， x ，22122x，x .12当 x 时，由 f(x)2 得2x1；1212当 x 时，f(x)2
4、；12当 x 时，由 f(x)2 得 2x2，解得 x1.所以 f(x)2 的解集 Mx|1x1(2)由(1)知，当 a，bM 时，1a1，1b1，从而(ab) (1ab) a b a b 122222 2(a21)(1b2)0.因此|ab|0，b0，且 ab .证明：a b(1)ab2；(2)a a2 与 b b0，b0，得 ab1.a b ab(1)由基本不等式及 ab1，有 ab2 ab2，即 ab2.(2)假设 a a2 与 b b2 同时成立，则由 a a0 得 0a1；同理，0b1，从而222ab1，这与 ab1 矛盾故 a a2 与 b b2 不可能同时成立2211(2018广州
5、综合测试)已知函数 f(x)|xa1|x2a|.(1)若 f(1)3，求实数 a 的取值范围；(2)若 a1，xR ，求证：f(x)2.2 4答案 (1)( ， ) (2)见解析3 3解析 (1)因为 f(1)3，所以|a|12a|3.第 3 页 共 5 页 2323当 a0 时，得a(12a) ，所以 a0；1212当 0a 时，得 a(12a)2，所以 0a ；12431243当 a 时，得 a(12a)3，解得 a ，所以 a0，n0，且 mn1，求证： 2m1 2n12 f（x）.答案 (1)1，3 (2)略124x，x ，1212解析 (1)方法一：依题意，f(x) 2， x ，12
6、4x，xf(x) 2.min不等式 f(x)a22a1 恒成立，a22a30，解得1a3，实数 a 的取值范围是1，3方法二：f(x)|2x1|2x1|(2x1)(2x1)|2，f(x) 2.min不等式 f(x)a22a1 恒成立，a22a30，解得1a3，实数 a 的取值范围是1，3(2)由(1)知 f(x)2，2 f（x）2 2.( 2m1 2n1)22(mn)22 （2m1）（2n1）4(2m1)(2n1)8，12当且仅当 mn 时等号成立 2m1 2n12 2， 2m1 2n12 f（x）.1(2017武汉 4 月调研)(1)求不等式|x5|2x3|1 的解集；12(2)若正实数 a
7、，b 满足 ab ，求证： a b1.第 4 页 共 5 页 13答案 (1)x|7x (2)略32解析 (1)当 x 时，x52x31，32解得 x7，7x ；3213当 x5 时，x52x31，解得 x ，3213 x ；当 x5 时，x5(2x3)1，解得 x9，舍去1综上，7x .313故原不等式的解集为x|7x (2)要证 a b1，只需证 ab2 ab1，1214即证 2 ab ，即证 ab .1214而 ab 2 ab， ab 成立，原不等式成立2已知函数 f(x)m|x2|，mR，且 f(x2)0 的解集为1，1(1)求 m 的值；1 11(2)若 a，b，cR ，且 m，求证：a2b3c9.a 2b 3c答案 (1)1 (2)略解析 (1)因为 f(x2)m|x|，f(x2)0 等价于|x|m，由|x|m 有解，得 m0，且其解集为x|mxm又 f(x2)0 的解集为1，1，故 m1.1 1a 2b 3c1(2)证明：由(1)知 1，又 a，b，cR ，1 1a 2b 3c1由柯西不等式，得 a2b3c(a2b3c)( )1112( a 2b 2b 3c) 9.a3c第 5 页 共 5 页