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1、 1勾股定理及其逆定理复习典型例题1. 勾股定理：直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。（即：a +b =c ）222勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长： a、b、c 有关系 a +b =c ，那么这个222三角形是直角三角形。2. 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。3. 如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如： C ，但不要认为最大边一定是 C ）（2）验证 c 与 a +b 是否具有相等关系，若 c =a
2、+b ，则 ABC 是以 C 为直角222222的三角形。（若 c a +b 则ABC 是以 C 为钝角的三角形，若 c a +b 则ABC222222是以 C 为锐角三角形）二、例题分析例 1、若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是 3x，4x，根据题意得：（3x） + （4x） =20222化简得 x =16 ；21直角三角形的面积 = 3x4x=6 x =9622注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。例 2、等边三角形的边长为 2，求它的面积。A解：如图，等边 ABC ，作 AD
3、BC 于 D1则：BD=BC （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）2BCDAB=AC=BC=2 （等边三角形各边都相等）BD=1在直角三角形 ABD 中 AB =AD +BD ，即： AD =AB BD =4 1=3222222AD= 31S= BCAD= 3ABC2 23注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为 a，则其面积为a4例 、直角三角形周长为 12 ，斜边长为 5 ，求直角三角形的面积。3cmcm解：设此直角三角形两直角边分别是 ， ，根据题意得：x yx + y +5 = 12 (1)x + y = 5(2)222由（1）得： + =7，x y（ + ） =49， +
4、2 + =49x y(3)2x2 xy y2(3)(2)，得：xy=12121直角三角形的面积是= 12=6（cm2）xy2例 、在锐角ABC 中，已知其两边 =1， =3，求第三边的变化范围。4ab分析 ：显然第三边 + ，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却b a c b a不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求AABC 为直角三角形时第三边的值。AC解：设第三边为 ，并设ABC 是直角三角形c33当第三边是斜边时， c =b +a ，c= 10222当第三边不是斜边时，则斜边一定是 b，B1b2=a2+c2， =2 2 （即 8 ）cABC 为锐角三角形所以点 A 应当绕着点 B
5、 旋转，使ABC 成为锐角（如图），但当移动到点 A 位置时ACB2成为直角。故点 A 应当在 A 和 A 间移动，此时 2 2 AC 1012注：此题易忽视或中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边，所以有两种情况要考虑。例 、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（5）A、8，15，17B、4，5，6 C、5，8，10D、8，39，40此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2 a2 b2= + 的变形： = =（ ）（ + ）来判断。例如：对于选择支 D，8 （40+39）（40b2 c2 a2c a c a239），以 8，39，40 为边长不能组成直角三
6、角形。答案：A例 、四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD6 3的面积。解：连结 ACB=90，AB=3，BC=4CAC =AB +BC =25（勾股定理）222AC=5BAC +CD =169，AD =169222AC +CD =AD222DAACD=90（勾股定理逆定理）11SABCD=SABC+SACD= AB BC+ AC CD=3622四边形本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。例 7、若直角三角形的三边长分别是 +1， +2， +3，求 。nnnn分析：首先要确定斜边（最长的边）长 +3，然后利用勾股定理列方程求解。n解
7、：此直角三角形的斜边长为 +3，由勾股定理可得：n（ +1） +（ +2） =（ +3）2n2n2n化简得： =4n2 =2，但当 n=2 时，n+1=10，n=2n三、练习题1、等腰三角形的两边长为 4 和 2，则底边上的高是 _，面积是_。2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为 _。3、一个直角三角形一条直角边为 16cm，它所对的角为 60，则斜边上的高为 _。11 1 14、四个三角形的边长分别是 3，4，5 4，7，8 7,24,253 ,4 ,5 其中是直角22 2 2三角形的是（A、）B、C、D、5、如果线段 a、b、c 能组成直角三角形，则它们的比可以是（A、1：
8、2：4 B、！：3：5 C、3：4：7 D、5：12：13）6、已知：如图，四边形 ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，B=90，求证：A+C=180。DCBA 47、已知直角三角形中，两边的长为 3、4，求第三边长。8、ABC 中，C=90，a=5，cb=1，求 b，c 的长。9、如图：ABC 中，AD 是角平分线， AD=BD，AB=2AC。求证：ACB 是直角三角形。ACDB三、练习题解答1、 15 ， 152、6，8，103、8cm4、DDC5、D6、本题类似于例 6，需连结 AC 证出ACD 也是直角三角形，从而1+2=90，3+4=90，DAB+DCB=18
9、0BA 57、解：设第三边长为 x,当第三边是斜边时： x =3 +4 =25，即 x=5222当第三边不是斜边时，则斜边长为 4：x =4 3 ，即 x=72228、此题类似于例 3 = - = ( + )( - ) = 25 c + b = 25 c = 13c b c ba2c2b2解：根据题意得： c - b = 1- b = 1b = 12 c9、证明：作 DEAB 于 EAD=BD,DEAB2AE=AB（等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合）DEA=90（垂直的定义）又AB=2ACAAE=ACEAD 是角平分线1=2CDB在ACD 和AED 中AC = AE1 = 2AD = ADACDAED（SAS）C=AED=90（全等三角形对应角相等）ACB 是直角三角形