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1、 2005 年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分。）1、如图，有一块矩形纸片 ABCD ，AB 8，AD 6。将纸片折叠，使得 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE ，再将AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为 F，则CEF 的面积为（ ）A、2B、4C、6D 、8AB ADD B ABFDCE CE C答：A解：由折叠过程知，DE AD 6，DAE CEF 45，所以CEF 是等腰直角三角形，且 EC 862，所以，S 2CEF2、若 M 3x 8xy 9y 4x 6y 13（x，y 是实数），则 M 的值一定是（）
2、22A 、正数B 、负数C、零D 、整数解：因为 M 3x 8xy 9y 4x 6y 132(x 2y) (x 2) (y 3) 022222B且x 2y， x 2，y 3 这三个数不能同时为 0，所以 M 03、已知点 I是锐角三角形 ABC 的内心，A ，B ，C 分别是A1111点 I关于边 BC ，CA ，AB 的对称点。若点 B 在A B C 的外接DC1 1 11圆上，则ABC 等于（）IA 、30答：CB 、45C 、60D 、90AC解：因为 IA IB IC 2r（r 为ABC 的内切圆半径），所以B点 I同时是A B C 的外接圆的圆心，设 IA 与BC 的交点为 D ，则
3、 IBIA 2ID，11111 1 1 1所以IBD 30，同理，IBA 30，于是，ABC 6011114、设 A 48 ()，则与 A 最接近的正整数为（）3 4 4 4100 4222A 、18答：DB 、20C 、24D 、25解：对于正整数 m1 1 1 1n3，有()，所以An 4 4 n 2 n 221 11 1 1) (98 5 611 1 1 1 1 1 148 (1) 12 (1)4 21022 3 4 99 100 101 10225 12 (1 1 1 199 100 101 102)因为12 (1 1 1 199 100 101 1024 1)12 ，所以与 A 最接
4、近的正整数为 25。99 2a5、设 a、b 是正整数，且满足 56ab59，0.9 0.91，则b a 等于（ ）22bA 、171B 、177C 、180D 、182 答：B解：由题设得 0.9bb59，0.91bb56，所以 29b32。因此 b30，31。当 b30 时，由 0.9ba0.91b，得 27a28，这样的正整数 a 不存在。当 b31 时，由 0.9ba0.91b，得 27a29，所以 a28。所以b a 17722二、填空题：（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分。）6、在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针，（O 为两针的旋转中心），若现在时间恰
5、好是 12 点整，则经过秒钟后，OAB 的面积第一次达到最大。答：15155911解：设 OA 边上的高为 h，则 hOB ，所以 S OA h OA OBOAB22当OA OB 时，等号成立。此时OAB 的面积最大。设经过 t秒时，OA 与 OB 第一次垂直。又因为秒针 1 秒钟旋转 6 度，分针 1 秒钟旋转 0.1度，于是（60.1）t90，解得 t15155937、在直角坐标系中，抛物线y x mx m （m 0）与x 轴交于 A 、B 两点，若 A 、B 两点到原点的距离分别2241 1 2为OA 、OB ，且满足答：2，则m 的值等于OB OA 33解：设方程x mx m 0的两根
6、分别为x ,x 且x x ，则有2241 2123x x m 0，xx m 02121 2 41 1 2OB OA 3所以有x 0，x 0，由，可知 OA OB ，又 m 0，所以，抛物线的对称轴在 y 轴的左侧，于是121 1 2得m2x x 3OA x x ，OB x ，所以由112128、有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按 A 、2、3、J、Q 、K 的顺序排列。某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，如此下去，直至最
7、后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是答：第二副牌中的方块 6解：根据题意，如果扑克牌的张数为 2， 2 ，2 ， 2 ，那么依照上述操作方法，只剩下的一张牌就是这些牌的23n最后一张。例如，手中只有 64 张牌，依照上述操作方法，最后只剩下第 64 张牌。现在，手中有 108 张牌，多出 1086444（张），如果依照上述操作方法，先丢掉 44 张牌，那么此时手中恰好有64 张牌，而原来顺序的第 88 张牌恰好放在手中牌的最底层。这样，再继续进行丢、留的操作，最后剩下的就是原来顺序的第 88 张牌。按照两副扑克牌的花色排列顺序，88542266，所剩下的最后一张牌是第二副牌中的方块 6。9、已知
8、D 、E 分别是ABC 的边 BC 、CA 上的点，且 BD 4，DC 1，AE 5，EC 2。连结 AD 和 BE ，它们相交于点 P，过点 P 分别作 PQ CA ，PR CB ，它们分别与边 AB 交于点 Q 、R ，则PQR 的面积与ABC 的面积之比为。 400答：1089CF解：过点 E 作 EFAD ，且交边 BC 于点 F，CF CE 2FD EA 555CD ，7则所以FD ED5 2PQ BP BD 4 28P又因为 PQ CA ，所以，57EA BE BF334AQB140于是PQ 33RSPQ 20 400由QPR ACB ，故 PQR ( ) ( )22CA 33 1
9、089SCAB10、已知x ,x ,，x 都是正整数，且x xx 58，若x xx 的最大值为 A ，最小值为B ，212224012401240则AB 的值等于答：494。解：因为把 58 写成 40 个正整数的和的写法只有有限种，故x xx 的最小值和最大值是存在的。2122240不妨设x x x ，若x 1，则x x (x 1) (x 1)，且124011212(x 1) (x 1) x x 2(x x ) 2x x22212221221221所以当x 1 时，可以把x 逐步调整到 1，这时，x xx 将增大；同样地，可以把x ，x ，x 逐步2122240112339调整到 1，这时x
10、2 x2x2 将增大。于是，当x ，x ，x 均为 1，x 19 时，x2 x2x2 取得40124012394012最大值，即A1 121 19 400。22239 个若存在两个数x ，x ，使得x x 2 ( 1ij 4 0），则ijji(x 1) (x 1) x x 2(x x 1)x x222i2j2i2jijji这说明在x ,x ,，x 中，如果有两个数的差大于 1，则把较小的数加 1，较大的数减 1，这时，x2 x2x240124012将减小。所以，当x xx 取到最小时，x ,x ,，x 中任意两个数的差都不大于 1。于是，当x xx 1，222122240124012x x23
11、x 2时，x xx 取得最小值，即21222402440B 1 11 2 22 94，故 A B 49422222222 个18 个三、解答题（共 4 题，每小题 15 分，满分 60 分） 11、某校举行春季运动会时，由若干个同学组成一个8 列的长方形队列。如果原队列中增加 120 人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少 120 人，也能组成一个正方形队列。问原长方形队列有同学多少人？8x 120 m2解：设原长方形队列有同学 8x 人，由已知条件知 8x120 和 8x120 均为守全平方数。于是可设8x 120 n2其中m 、n均为正整数，且m n。 得m n 240即(m n)(
12、m n) 240 2 3 5224m n 60由、可知，m 、n 都是 8 的倍数，所以 m 、n 均能被4 整除。于是 m n，m n 均能被 4 整除。所以22m n 4m n 20m n 12m 32 m 16或n 28 n 4或解得：所以，8x m 120 32 120 904或8x m 120 16 120 136 。2222故原长方形队列有同学 136 人或 904 人。12、已知 p，q 都是质数，且使得关于 x 的二次方程x (8p 10q)x 5pq 02至少有一个正整数根，求所有的质数对（p，q）。解：由方程两根的和为 8p10q 可知，若方程有一个根为整数，则另一个根也是
13、整数。由方程两根的积为5pq，知方程的另一个根也是正整数。设方程的两个正整数根分别为x ，x （x x ），由根与系数的关系得1212x x 8p10q12x x 5pq1 2由得，x ，x 有如下几种可能的情况：12x 1,5,p,q,5 p,5q1x 5 pq,pq,5q,5 p,q,p2所以x x 5pq1，pq+5，p5q，q5p，代入12当x x 5pq1 时，5pq18p10q，而 5pq110p8p10q，故此时无解。12当x x pq5 时，pq58p10q，所以（p10）（q8）8512q 8 5, 1p 10 17,85因为 p、q 都是质数，只可能所以（p，q）（7，3）
14、当x x p5q 时，p5q8p10q，所以 7p15q，不可能。12当x x 5pq 时，5pq8p10q，所以 3p11q，于是（p，q）（11，3）12 综上所述，满足条件的质数对（p，q）（7，3）或（11,3）13、如图，分别以ABC （ABC 为锐角三角形）的边AB ，BC ，CA 为斜边向外作等腰直角三角形 DAB ，EBC ，FAC 。求证：（1）AE DF ；（2）AE DF 。证明：（1）延长 BD 至点 P，使 DP BD ，连结 AP 、CP 。因为DAB 是等腰直角三角形，PAB 2所以ADB 90，AD BD ，在等腰直角三角形 EBC 中，ABD 2FDBE 2B
15、C 2BEC 90，BE CE ，BCAB BE所以BP BCE因为PBC PBA ABC 45ABC ，ABE CBE ABC 45ABC所以PBC ABE 。于是ABE PBC ，AE AB 2PC BP 22即 AE PC 。2AF AD 2AC AP 2同理，在ADF 和APC 中，有所以ADF APC,DAF= PAC=45 +DACDF AD 2PC AP 22即DF PC。 所以，AE DF 。2（2）因为ADF APC ，所以ADF APC ，又由ABE PBC ，得BAE CPB ，于是DAE ADF45BAE ADF 45CPB APC 90所以，AE DF 。14、从 1
16、，2，205 共 205 个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数 a，b，c（abc），都有 abc。解：首先，1，14，15，205 这 193 个数，满足条件。事实上，设 a，b，c（abc）这三个数取自 1，14，15，205。若 a1，则 abbc；若 a1，则 ab1415210c另一方面，考虑如下 12 个数组：（2，25，225），（3，24，324），（13，14，1314）上述这 36 个数互不相等，且其中最小的数为 2，最大的数为 1314182205所以，每一个数组中的三个数不能全部都取出来。于是，如果取出来的数满足题设条件，那么取出来的数的个数不超过 20512193（个）综上所述，从 1，2，205 中，最多能取出 193 个数，满足题设条件。