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1、2 协整分析的模型和方法2.1 时间序列变量的平稳性时间序列的平稳性指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化，即生成时间序列的随机过程的特征不随时间的变化而变化。直观上，一个平稳的时间序列可以看作是一条围绕其均值上下波动的曲线。定义1 严平稳过程如果时间序列的联合概率分布随时间的平移而不变，则称该时间序列是严平稳的，即无论对的任何时间子集以及任何正整数都有：（2.1）成立，其中表示个随机变量的联合分布函数，则称为严平稳过程或强平稳过程。定义2 弱平稳过程若时间序列满足下列条件:(l)均值，与时间无关的常数。（2.2）(2)方差，与时间无关的常数。（2.3）(3)协方差，只与时间间隔有关
2、，与时间无关的常数。（2.4）则称该随机时间序列是弱平稳的，本文所说的平稳就是这种弱平稳。平稳时间序列是短时记忆的，也就是说它的当前值不受较远以前的值的影响，只受近期值的影响。而非平稳时间序列的当前值则要受很久以前的数值的影响。非平稳时间序列常有明显趋势，均值或方差或两者都与时间有关，且方差会随着时间推移而无限地增大。现实中我们接触到的许多变量并不是平稳的，对于非平稳的时间序列变量，一种处理办法就是对变量进行差分。2.2 时间序列变量的单位根检验、协整检验定义1 单整过程单整过程是一类特殊的非平稳随机过程。简言之，单整过程是指经过差分可以达到平稳的非平稳随机过程。如果一个原始时间序列平稳，我们
3、称之为过程。如果一个原始时间序列非平稳、而经过一次差分变成平稳的，即（2.5）我们就说原时间序列是一阶单整，记为。如果一次差分变换后仍然是非平稳的时间序列，则还可以对差分序列再作差分变换，在进行了次差分后才变为平稳序列，这种经过次差分才平稳的时间序列称为阶单整，记为。定义2 单位根过程对时间序列变量建立下面的回归式：（2.6）其中，当时，为一平稳过程，此时，这里，将（3.6）式改写成一下形式：（2.7）其中为滞后算子，称为滞后多项式，它的特征方程：（2.8）的根为。当时，（2.8）式有一特征根。这就是单位根过程。2.2.1单位根检验在用时间序列建模前首要的是考虑变量的平稳性，因而平稳性的检验则
4、成为建立模型之前的重要问题。相对应的办法是对序列进行单位根检验，如果一个序列的特征方程有一个单位根，那么它就是非平稳的，单位根检验常用的方法是DF(Dickey Fuller)检验或ADF(Augment Diekey Fuller)检验。我们对（2.6）式两边减去得：（2.9）（2.9）式中的系数提出如下零假设和备择假设： （非平稳） （平稳）在零假设成立的前提下，用DF统计量进行单位根检验。 （2.10）其中 （2.11）对（3.6）式进行最小二乘法回归并计算DF统计量，Dickey和Fuller通过蒙特卡罗模拟的方法得到了DF分布表，我们可以通过查表得到DF统计量在一定显著性下的临界值。
5、若DF统计量临界值，则接受，非平稳。若DF统计量临界值，则拒绝，平稳。当已经验证非平稳，则继续检验的平稳性，用到，不断作下去直到结论为平稳时为止，从而获得为几阶单整序列。当单位根检验估计式D-W值很小，就是误差项，存在序列自相关，应采用如下形式检验单位根。（2.12）这种带有滞后项的单整检验叫做ADF检验，做法与DF检验一样，只不过临界值在ADF表中查找。实际中我们还常运用到在（2.12）式的基础上相应加入位移项和趋势项的检验式：（3.13）（3.14）其中是位移项(也称截距)，是时间趋势，通过对（2.12）、（2.13）、（2.14）三个回归式的检验判定是否含有截距项、时间趋势项，并检验序列
6、平稳性。以上三式中加入的滞后项的是为了校正自相关性，因此滞后阶数的选取既要校正自相关性，同时又要减少因选取滞后项而带来的信息损失(滞后阶越大，用于估计的有效样本就越少)。实证中常用的方法有两种：其一，渐进检验，即对较大的滞后阶数用检验确认是否显著。若不显著，则减少值直到对应系数的值显著；其二，基于最小信息准则来选取滞后阶，定义：（2.15）令，称为Akaike信息准则(AIC)；令，则称为Sehwarz贝叶斯信息准则(SIC)，即（2.16）（2.17）选取较大的滞后阶数，计算对应的AIC(或SIC)值，然后减少，直至AIC(SIC)值最小并基于此确定最终滞后阶数。由于AIC和SIC渐近一致，
7、故使用AIC或SIC均是可行的。2.2.2 协整检验对两个或多个非平稳的时间序列用OLS方法直接进行回归，可能会出现决定系数接近于1，但D-W值很小的“伪回归”现象。所谓伪回归就是在有限样本回归中虽然各变量的相关系数较大，但事实上这些变量之间并不存在实际的关系。要识别回归的真伪，就要用到协整检验。协整的定义：如果一组时间序列，都是阶单整，存在向量使，其中，则称时间序列是阶协整(co-integration)，为协整向量。协整检验的思想在于：如果某两个或多个同阶时间序列向量的某种线性组合可以得到一个平稳的误差序列，则这些非平稳时间序列存在不受短期波动影响的长期均衡关系，或者说这些序列具有协整性。
8、协整检验分两个变量之间和多个变量之间的协整性检验，两个变量之间的协整检验通常用EngleGrange:两步法(1957)，多个变量之间的协整检验通常用Johansen(1988)提出的一种用向量自回归的检验方法，通常称为Johansen方法。EngleGranger两步法的基本步骤如下：步骤1：用用OLS法估计同阶单整的和，之间可能的长期均衡关系，形式如下：（2.18）步骤2：用，表示回归系数的估计值，则模型残差估计值为。对作平稳性检验。若残差序列是平稳的，则和之间存在阶协整关系，即存在长期均衡关系，否则就不存在协整关系。Johansen法要稍复杂一些，是基于向量自回归模型的系数矩阵的检验，由
9、于本研究的对象只涉及到两个变量，故不再赘述。2.3误差修正模型虽然误差修正模型的产生先于协整理论，但现在研究中普遍把误差修正模型作为协整模型分析的一个延伸，这样做的根据来自于Engle和Granger于1987年在协整与误差修正模型之间建立了同构，即著名的Granger定理，其文字表述如下：某两个(或个)经济变量的时间轨迹，在长期，这种轨迹被牵制着以大致相同的速率做同向运动且不至于分岔太远；在短期，它们有可能分岔(即偏离运行轨道)，但经过若干期调整，它们似乎又返回原有的运行轨道或朝着原有的轨道运行，则这两个经济变量存在协整关系。Granger定理说明存在协整关系的变量之间一定可以建立误差修正模
10、型。误差修正模型是有协整关系的单整时间序列之间包含的、一个反映长期均衡对短期波动影响的“误差修正机制”的、特定形式的差分方程模型。误差修正模型(ECM：Erro rCorreetion Model)是由Englel(1957)等提出的.考虑如下的阶自回归分布滞后模型：（2.19）在模型的两边同时减去，在右边加、减，得（2.20）其中 （2.21）所以 （2.22）对（3.22）式进行整理得 （2.23）（2.20）式就是误差修正模型，（2.21）是误差修正项，（2.23）是反映长期均衡关系的模型。误差修正模型反映了影响因变量的短期波动的各个因素。一方面，受自变量短期波动的影响，另一方面，受的调
11、节，将非均衡状态拉回到均衡状态。下面分析误差修正项对的调节作用：一般地，模型中，在（2.21）中，若时刻大于其长期均衡值，此时为正，而表现在误差修正模型（2.20）中，为负，从而使变小；若时刻小于其长期均衡值，此时为负，而表现在误差修正模型（2.20）中，为正，从而使变大。这说明，该模型有一种对前期波动的自动修正作用，因此被称为“误差修正模型”。误差修正模型的自动调整机制类似于适应性预期模型。若误差修正项的系数在统计上是显著的，它将告诉我们在一个时期里的失衡有多大一个比例部分可在下一期得到纠正，或者说“失衡”对下一期水平变化的影响的大小。通常由协整检验的阶数确定误差修正模型的阶数，更高阶数的误
12、差修正模型具有更加复杂的形式。2.4 格兰杰因果关系检验对于两个时间序列变量和，如果变量有助于预测变量，即根据的过去值对进行自回归时，如果再加上的过去值，能显著地增强回归的解释能力，则称是的格兰杰原因，否则，称为非格兰杰原因。格兰杰因果关系检验要求估计以下回归：（2.24）（2.25）对（2.24）而言，零假设，不是引起变化的原因。对（2.25）而言，零假设，不是引起变化的原因。对（2.24）式，在零假设成立的条件下，取检验统计量。（2.26）将当前的对其所有的滞后项做回归，这是一个受约束回归，其残差平方和记为。而回归式(2.24)本身是一个无约束回归，其残差平方和记为。式(2.26)中，是样本容量，是无约束回归中待估参数的个数，是滞后项阶数，滞后阶数可根据赤池信息准则(AIC)来确定。在显著性水平上，若统计量观测值 (临界值)，就拒绝，认为是引起变化的原因。同理，对(2.25)也这样检验。