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1、 关于积分对称性定理1、 定积分： 设在上连续，则2、 二重积分：若函数在平面闭区域上连续，则（1）如果积分区域关于轴对称，为的奇（或偶）函数，即 （或），则二重积分 其中：为满足上半平面区域。（2） 如果积分区域关于轴对称，为的奇（或偶）函数，即（或），则二重积分 其中：为满足的右半平面区域。（3）如果积分区域关于原点对称，为的奇（或偶）函数，即（或）则二重积分 其中:为在上半平面的部分区域。（4）如果积分区域关于直线对称,则二重积分 .（二重积分的轮换对称性） (5)如果积分区域关于直线对称,则有 利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域对称及被积
2、函数具有奇偶性两个特性。3、三重积分： (1)若为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于坐标面对称，为位于坐标面上侧的部分区域，则有注：是的奇函数：是的偶函数：同样，对于空间闭区域关于坐标面对称也有类似的性质。4、 曲线积分（第一类）（1）若分段光滑平面曲线关于轴对称，且在上为连续函数，为位于轴右侧的弧段，则 （2） 若分段光滑平面曲线关于轴对称，且在上为连续函数，为位于轴上侧的弧段，则 （3）若关于直线对称，则 其中（3）式也称为第一类曲线积分的轮换对称性。 5、第二类曲线积分（1）设分段光滑的平面曲线关于轴对称，且在轴的上半部分与在下半部分的方向相反，则 （2）设分段光滑的平面曲线关于轴对
3、称，且在轴的右半部分与在左半部分的方向相反则对于积分也有类似地结论。上述结论可推广到空间曲线的情形.6、 第一类曲面积分：若曲面关于坐标面对称，为上的连续函数，为位于上侧的部分曲面，则曲面关于坐标平面对称也有类似的性质。 7、第二类曲面积分的对称性设函数在分片光滑的曲面上连续， （1）设分片光滑的曲面关于坐标面对称，且在上半空间的部分曲面取上侧，在下半空间的部分曲面取定下侧，则（2）设分片光滑的曲面关于坐标面对称，且在前半空间的部分曲面取前侧，在后半空间的部分曲面取后侧，则（3）设分片光滑的曲面关于坐标面对称，且在右半空间的部分曲面取右侧，在左半空间的部分曲面取左侧，则（4）若积分曲面关于具有轮换对称性，则 6