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1、高一数学下第5章解斜三角形解析及答案巩固基础一、自主梳理 1.正弦定理：=2R，其中R是三角形外接圆半径. 2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=. 3.SABC=absinC=bcsinA=acsinB,S=Sr(S=,r为内切圆半径)=(R为外接圆半径). 4.在三角形中大边对大角，反之亦然. 5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6.三角形内角的诱导公式 (1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin, sin=
2、cos 在ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC; (2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60； (3)ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列. 7.解三角形常见的四种类型 (1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180及=，可求出角C，再求b、c. (2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C. (3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C. (4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理=，求出另一边b的对角B，由C=-(A+B)，求出c，再
3、由=求出C，而通过=求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A90A=90Ab一解一解一解a=b无解无解一解absinA两解无解无解a=bsinA一解absinA无解 8.用向量证明正弦定理、余弦定理，关键在于基向量的位置和方向. 9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.二、点击双基1.在ABC中，A=60，a=43,b=4，则B等于( )A.45或135 B.135 C.45 D.以上答案都不对解析：sinB=,又ba,BA.0B60.故B=45.答案：C2.ABC中，a=2bcosC，则此三角形一定是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形
4、 D.等腰或直角三角形解析：由正弦定理得sinA=2sinBcosC, 即sin(B+C)=2sinBcosC. sin(B-C)=0. 又-B-C，B-C=0.答案：A3.设A是ABC最小内角，则sinA+cosA的取值范围是( )A.(-，) B.-, C.(1，) D.(1,解析：0A60,45时，PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120. 由综合得PQ2=48t2-24t+7,即PQ=. (3)PQ2=48t2-24t+7=48(t-)2+4, 当t=时，即在第15分钟时他们两人的距离最短.链接拓展 本题还可以转化为坐标运算，从而避免分类讨论. 提
5、示：以O为坐标原点，OE所在直线为x轴建立坐标系，则t时刻P(3-4t,0),Q(1+4t), (1+4t).状元训练复习篇10.在ABC中，下列三式0,0,0中能够成立的不等式个数( )A.至多1个 B.有且仅有1个 C.至多2个 D.至少2个解析：原条件可转化为cosA0,cosB0,cosC0.而A、B、C是三角形的内角，A+B+C=最多一个钝角.答案：D11.在ABC中，a=80,b=100,A=45，则此三角形解的情况是( )A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解解析：bsinA=50,absinA.答案：B12（理）在ABC中，若A=60,b=1,SABC=，则的值为( )A
6、. B. C. D.解析：SABC=bcsinA,bcsinA=. c=4.a2=b2+c2-2bccosA=13.a=. =.答案：B13、(文)(2004浙江高考)在ABC中,“A30”是“sinA”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：在ABC中,A300sinA1sinA;sinA30A150A30.答案：B14.在ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若三角形的面积S=(a2+b2-c2),则C的度数是_.解析：由S=(a2+b2-c2)得absinC=2abcosC.tanC=1.C=45.答案：4515.在AB
7、C中,若C=60,则+=_.解析：+= =. (*) C=60,a2+b2-c2=2abcosC=ab.a2+b2=ab+c2. 代入(*)式得=1.答案：116.在ABC中，c=2,ab,C=,且有tanAtanB=6,试求a、b以及此三角形的面积.思路分析：由已知可求出tanA+tanB,这样便可求得tanA和tanB的值，只要求出sinA、sinB利用正弦定理可求得a、b.解：tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB) =-tanC(1-tanAtanB) =-tan(1-6)=5, 又tanAtanB=6且ab,则tanAtanB.tanA=3,tanB=2. 而0A
8、,0B, sinA=,sinB=. 由正弦定理得a=, b=, SABC=absinC=.17.(2006北京海淀模拟)(理)ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，2sin2C=3cosC,c=,又ABC的面积为.求：(1)角C的大小；(2)a+b的值.解：(1)由已知得2(1-cos2C)=3cosC, cosC=或cosC=-2(舍), 在ABC中，C=60. (2)SABC=absinC=, absin60=.ab=6. 又c2=a2+b2-2abcosC, ()2=a2+b2-2abcosC. a2+b2-ab=7.a2+b2=13. a+b=5.18(文)ABC中，角A、B、
9、C的对边分别为a、b、c，ABC的面积为,且c=,3cosC-2sin2C=0.求：(1)角C的大小；(2)a、b的值.解：(1)由已知得2(1-cos2C)=3cosC, cosC=或cosC=-2(舍), 在ABC中，C=60.(2)SABC=absinC=, absin60=.ab=6. 又c2=a2+b2-2abcosC, ()2=a2+b2-2abcosC. a2+b2-ab=7.a2+b2=13. a+b=5. a=2,b=3或a=3,b=2.加强篇19、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,依次成等比数列，求y=的取值范围.解：b2=ac, cosB= =(+)-.0
10、B, y= =sinB+cosB=sin(B+). B+,sin(B+)1.故1y.20.(全新创编题)某城市有一条公路,自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB,现要修建一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,现要求市中心O与AB的距离为10 km,问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.(不要求作近似计算)解：在AOB中,设OA=a,OB=b. 因为AO为正西方向,OB为东北方向, 所以AOB=135. 则|AB|2=a2+b2-2abcos135=a2+b2+ab2ab+ab=(2+)ab,当且仅当a=b时,“=”
11、成立.又O到AB的距离为10,设OAB=,则OBA=45-.所以 a=,b=, ab= = = =, 当且仅当=2230时,“=”成立. 所以|AB|2=400(+1)2, 当且仅当a=b,=2230时,“=”成立. 所以当a=b=10时,|AB|最短,其最短距离为20(+1),即当AB分别在OA、OB上离O点10km处,能使|AB|最短,最短距离为20(-1).教学参考 一、教学思路 1.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角；(2)化角为边.具体有如下四种方法：通过正弦定理实施边角转换；通过余弦定理实施边角转换；通过三角变换找出角之间的关系；通过三角函数值符号的判断以
12、及正、余弦函数有界性的讨论. 2.用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形边长等. 3.在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件. 4.用向量的数量积求三角形内角时，需通过向量的方向判断向量的夹角与三角形内角是相等还是互补. 二、注意问题 1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段,通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力. 2.要加大以三角形为背景,以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练. 三、参考资料21已知A、B、C是ABC
13、的三个内角,y=cotA+.(1)若任意交换两个角的位置,y的值是否变化?试证明你的结论.(2)求y的最小值.解：(1)y=cotA+ =cotA+ =cotA+ =cotA+cotB+cotC, 任意交换两个角的位置,y的值不变化. (2)cos(B-C)1, ycotA+=+2tan=(cot+3tan)=. 故当A=B=C=时,ymin=.讲评：本题的第(1)问是一道结论开放型题,y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第(2)问实际上是一道常见题:在ABC中,求证:cotA+cotB+cotC.22、在ABC中,sinA=,判断这个三角形的形状.剖析：判断一个三角形的形状,可由三个内角的关系确定,亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题,就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理,可得 a=,所以b(a2-b2)+c(a2-c2)=bc(b+c).所以 (b+c)a2=(b3+c3)+bc(b+c).所以a2=b2-bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以ABC是直角三角形.讲评：恒等变形是学好数学的基本功,变形的方向是关键.若考虑三内角的关系,本题可以从已知条件推出cosA=0.