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1、 .专题3 圆的基本性质题型一 点与圆的位置关系例 1 2017大冶校级月考若O的半径为 5 cm，平面上有一点A，OA6 cm，那么点 A与O的位置关系是( A )A点 A 在O 外C点 A 在O 内B点 A 在O 上D不能确定【解析】 O的半径为 5 cm，OA6 cm，dr，点A与O的位置关系是点A在O外变式跟进12016宜昌在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图 1 所示(图中小正方形的边长均相等)现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为( A )图1AE，F，GCG，H，EBF，G，HDH，E，F【解析】 OA
2、 12 5，O E2O A，点E在O内；OF2OA，点F在O内；OG1OA，2点G在O内；OH 2 22 2OA，点H在O外22题型二 垂径定理及其推论例 2 如图 2，O的直径CD10，弦AB8，A BCD，垂足为M，则DM的长为( D )B6 C7 D8A5图2例2答图【解析】 连结OA，如答图所示O的直径CD10，OA5，11弦AB8，ABCD，AM AB 84，22在 RtAOM中，OM OAAM22 5 4 3，22DMODOM538. .【点悟】 已知直径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，从而运用勾股定理来计算变式跟
3、进2如图 3，AB为O的直径，弦CDAB于点E，若CD8，且AEBE14，则AB的长度为( A )5A10B5 C12 D.3图3第 2题答图【解析】 如答图，连结OC，设AEx，AEBE14，BE4x，OC2.5x，OE1.5x，CDAB，1CEDE CD4，RtOCE中，OECEOC，(1.5x) 4 (2.5x) ，x2，AB10.22222223有一座弧形的拱桥如图 4，桥下水面的宽度AB为 7.2 m，拱顶与水面的距离CD的长为 2.4 m，现有一艘宽 3m，船舱顶部为长方形并且高出水面 2 m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？图4第3 题答图解：如答图，连结ON，O
4、B.OCAB，D为AB中点，1AB7.2 m，BD AB3.6 m.2又CD2.4 m，设OBOCONr，则OD(r2.4)m.在 RtBOD中，由勾股定理得r(r2.4) 3.6 ，解得r3.9.222CD2.4 m，船舱顶部为长方形并高出水面 2 m，CE2.420.4(m)，OErCE3.90.43.5(m)，在 RtOEN中，ENONOE3.9 3.5 2.96(m )，EN1.72(m)222222MN2EN21.723.44 m3，此货船能顺利通过这座弧形拱桥题型三 圆周角定理的综合例 3 2017市南区一模如图 5，在直径为AB的O中 ，C，D是O上的两点，AOD58，CDAB，
5、则ABC的度数为_61_. .图5【解析】 AOD58，ACDAOD29，CDAB，CABACD29，AB是直径，ACB90，ABC902961.【点悟】 (1)在同圆(或等圆)中，圆心角(或圆周角)、弧、弦中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等，利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；(2)注意圆中的隐含条件(半径相等)的应用；(3)圆周角定理及其推论，是进行圆内角度数转化与计算的主要依据，遇直径，要想到直径所对的圆周角是90，从而获得到直角三角形；遇到弧所对的圆周角与圆心角，要想到同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍以及同弧所对的圆周角相等变式跟进4如图 6，O是正
6、方形ABCD的外接圆，点P在O上，则APB_45_图6第4 题答图【解析】 如答图，连结OA，OB.根据正方形的性质，得AOB90.再根据圆周角定理，得APB45.52017永嘉二模如图 7，已知AB是半圆O的直径，OCAB交半圆于点C，D是射线OC上一点，连结AD交半圆O于点E，连结BE，CE.(1)求证：EC平分BED；(2)当EBED时，求证：AECE.图7证明：(1)AB是半圆O的直径，AEB90，DEB90.OCAB，第 5题答图AOCBOC90，BEC45，DEC45.BECDEC，即EC平分BED；(2)如答图，连结BC，OE，. .BEDE，在BEC与DEC中， BECDEC，
7、ECEC，BECDEC，CBECDE.CDE90AABE，ABECBE.AOECOE，AECE.题型四 弧长的计算 例 4 如图 8，ABC是正三角形，曲线CDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中，CD，DE，EF，圆心依次按A，B，C循环，它们依次相连结若AB1，则曲线CDEF的长是_4_(结果保留)图81201 2 1202 4 12031802【解析】CD的长是 ，DE的长是 ，EF的长是2，则曲线CDEF的长是 1803180334 24.3变式跟进166一个扇形的半径为 8 cm，弧长为 cm，则扇形的圆心角为_120_316n8180【解析】 设扇形的圆心角为n，根据题意得 ，解得n
8、120，扇形的圆心角为 120.3题型五 扇形的面积计算 例 5 2016河南如图 9，在扇形AOB中，AOB90，以点A为圆心，OA的长为半径作OC交AB于点C，13 若OA2，则阴影部分的面积是3图9例5答图【解析】 如答图，连结OC，AC，OAC是等边三角形，扇形OBC的圆心角是 30，阴影部分的面积等于扇形302 126022360321OBC的面积减去弓形OC的面积S ，S 2 3，S 23603433扇形 OBC弓形 OC阴影231 3 3 .3【点悟】 求不规则图形的面积，常转化为易解决的基本图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出. .结果变式跟进7若扇形的半径为 3 c
9、m，扇形的面积为 2 cm ，则该扇形的圆心角为_80_，弧长为_ _cm.423n3236014【解析】 由2，解得n80，由 2 l3，解得l .238如图 10，以AB为直径的O经过AC的中点D，D EBC于点E，若DE1，C30，则图中阴影部分的面4积是 933图10【解析】 C30，DE1，DEC90，D C2，ODBC，ODA30，ODOA，OAD22 31202 33313 4 2 .3 93ODA30，AOD120，O A，S 阴影36023题型六 圆锥例 6 2017西湖区校级三模一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 120且半径为 6 的扇形，则这个圆锥的底面半径为( B )A2
10、B2 C2.5D3【解析】 设这个圆锥的底面半径为r，根据题意，得 2r1206，解得r2.180【点悟】 (1)圆锥侧面展开图是一个扇形；(2)圆锥的底面周长是其侧面展开图的弧长；(3)圆锥的母线就是其侧面展开扇形的半径变式跟进9一个圆锥的底面半径是 5 cm，其侧面展开图是圆心角为 150的扇形，则圆锥的母线长为( B )A9 cmB12 cm C15 cm D18 cm【解析】 设圆锥的母线长为l，根据题意得 25150l180，解得l12.即圆锥的母线长为 12 cm.过关训练1一个圆锥形的圣诞帽底面半径为 12 cm，母线长为 13 cm，则圣诞帽的侧面积为( B )A312 cm2
11、C78 cm2B156 cm2D60 cm21【解析】 圆锥的底面周长是 12224，则圆锥的侧面积是 2413156(cm )22. .22017连云港三模一个滑轮起重装置如图 1 所示，滑轮的半径是 15 cm，当重物上升 15 cm 时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按顺时针方向旋转的角度约为(取 3.14，结果精确到 1)( C )图1A115C57B60D29n15180【解析】 根据题意得 15，解得n57，OA绕轴心O按顺时针方向旋转的角度约为 57.1803一个隧道的横截面如图 2 所示，它的形状是以点O为圆心，5 为半径的圆的一部分，M是O中弦CD的中点，EM经过圆心O交O于点E
12、.若CD6，则隧道的高(ME的长)为( D )图2A4C8B6D91【解析】 M是O弦CD的中点，根据垂径定理：E MCD，又CD6，则有CM CD3，设OM是x，在 Rt2COM中，有OCCMOM，即5 3 x，解得x4，EM549.222222 42017大庆模拟如图 3 是圆内接正方形ABCD，分别将AB，BC，CD，DA沿边长AB，BC，CD，DA向内翻折，已知BD2，则阴影部分的面积为_4_图3【解析】 由圆内接正方形的性质知，正方形的边长等于半径的 2倍，阴影部分的面积( 2) ( 2)224.52016贵港如图 4，在 RtABC中，C90，BAC60，将ABC绕点A逆时针旋转
13、60后得到ADE，若AC1，则线段BC在上述旋转过程中扫过部分(阴影部分)的面积是_ _(结果保留)2. .图4602 22601 2【解析】 C90，BAC60，A C1，AB2，S ，S ，则36033606扇形 BAD扇形 CAE2 .6 2S S阴影S S S3扇形 DABABCADE扇形 ACE6将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图5 所示，已知水杯的半径是 4 cm，水面宽度AB是4 3 cm.(1)求水的最大深度(即C D)是多少？(2)求杯底有水部分的面积(阴影部分)图5解：(1)ODAB，AB4 3 cm，11BC AB 4 32
14、 3(cm)，22在 RtOBC中，OB4 cm，BC2 3(cm)，OC OBBC 4 （2 3） 2(cm)，2222DCODOC422(cm)水的最大深度(即CD)是 2 cm；1(2)OC2，OB4，OC OB，2ABO30，OAOB，BAOABO30，AOB120，11S ABOC 4 324 3，22AOB1204 162S ，3603扇形 OAB16S S S 4 3 cm.23阴影扇形AOB. .72017苏州一模如图 6，已知 RtABD中，A90，将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，使BCAD，过点C作CEBD于点E.(1)求证：ABDECB；(2)若ABD30，BE3，
15、求CD的长图6解：(1)证明：A90，CEBD，ABEC90.BCAD，ADBEBC.将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，BDBC.在ABD和ECB中，ADBEBC，ABEC， ABDECB；BDCB，(2)ABDECB，ADBE3.A90，ABD30，BD2AD6，BCAD，AABC180，ABC90，DBC60，606180CD的长为2.82017高密模拟如图 7，AB为圆O的直径，C DAB于点E，交圆O于点D，OFAC于点F.1(1)求证：OF BD；2(2)当D30，BC1 时，求圆中阴影部分的面积图7第8 题答图解：(1)证明：OFAC，AFFC，OAOB，BC2OF，ABCD，
16、. . 1BCBD，BCBD，OF BD；2(2)如答图，连结OC，则OCOAOB，D30，AD30，COB2A60，AOC120，AB为O的直径，ACB90，在 RtABC中，BC1，AB2，AC 3，OFA C，AFCF，OAOB，11OF是ABC的中位线，OF BC ，221113S ACOF 3 ，222 4AOC1S OA ，233扇形 AOC3S S阴影S .34扇形 AOCAOC92017河北区二模如图 8，在 RtABC中，ABC90，点M是AC的中点，以AB为直径作O分别交AC，BM于点D，E.(1)求证：MDME；(2)如图，连结OD，OE，当C30时，求证：四边形ODME
17、是菱形图8证明：(1)在 RtABC中，点M是AC的中点，MAMB，AMBA，四边形ABED是圆内接四边形，ADEABE180，而ADEMDE180，MDEMBA.同理可得MEDA，MDEMED，MDME；(2)C30，A60，ABM60，OAD和OBE为等边三角形，BOE60，BOEA，. .OEAC，同理可得ODBM，四边形DOEM为平行四边形，而ODOE，四边形ODME是菱形102017东莞校级模拟如图 9，O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.(1)当EF时，则ADC_90_；(2)当A55，E30时，求F的度数；(3)若E，F，且 ，请你用含有 ，的代数式表示A的大小图9解：(1)EF，DCEBCF，ADCEDCE，ABCBCFF，ADCABC，四边形ABCD是O的内接四边形，ADCABC180，ADC90；(2)在ABE中，A55，E30，ABE180AE95，ADF180ABE85，在ADF中，F180ADFA40；(3)ADC180AF，ABC180AE，又ADCABC180，180AF180AE180，2AEF180，EF22A9090.