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1、 含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按 2 项的系数 的符号分类，即x a 0,a = 0,a 0例 1 解不等式：2ax( )D = a + 2 - 4a = a + 4 0分析：本题二次项系数含有参数，22，故只需对二次项系数进行分类讨论。( )D = a + 2 - 4a = a + 4 0解：22- a - 2 - a + 4- a - 2 + a + 4( )+ a + 2 x +1 = 0两根22x1=, x =解得方程2ax2a2a2- a - 2 + a + 4- a - 2 - a + 4 22x x| 或x 02a2a12a= 02x
2、+1 0x | x x 当时，不等式为,解集为 - -2 + a + 4- a - 2 - a + 4 22a 0 a 0例 2 解不等式2ax分析 因为，所以我们只要讨论二次项系数的正负。a 0 D 0，( )( )(x - 5x + 6) = a x - 2 x - 3 0解2a 当 a 0 时，解集为 | x 3；当 ax 0时，解集为x | 2 x 33、ax2(a1)x112(1)当a 0时，x | x 1a(1)当a 0时,x | x 1( 2)当a = 0时,x | x 212(3)当0 a 1时，x |1 x a(3)当0 a 1时,x | x a(4)当a = 1时，F( 4
3、)当a =1时,x | x 212(5)当a 1时，x | x 1时,x | x 2aD 0,D = 0,D 0例 3 解不等式2x1 D分析 本题中由于 x2 的系数大于 0,故只需考虑 与根的情况。D = a -16解：2( ) - 4,4 D 4 a 0=，显然 x x ,当 a或即,此时两根分别为 x， x221212- a + a -16- a - a -16 22或x不等式的解集为 x x22( )( )+1 x - 4x +1 0 m R例 4 解不等式 m22( ) ( )+1 0, D = (-4) - 4 m +1 = 4 3 - m解 因 m222212= 3D = 0x
4、 | x =所以当 m，即时，解集为；2 + 3 - m22 - 3 - m2- 3 m 0x或 当，即时，解集为x x；m2+1m2+1 3D 0时，解集为 R。当 m，即变式：解关于 的不等式： 2x+ +1 0axx-1+ 1- 4a-1- 1- 4a2a(1)当a 0时，x | x 2a( 2)当a = 0时，x | x -11-1- 1- 4a2a-1+ 1- 4a2a(3)当0 a 时，x | x 41( 4)当a 时，F4+ bx + c = 0x , x1x x , x = x , x x的大小来分类，即 ；三、按方程 ax2的根212121212 - (a + ) +1 0
5、( 0)例 5 解不等式 xxaa1( )- a (x - ) 0分析：此不等式可以分解为： x，故对应的方程必有两解。本题a只需讨论两根的大小即可。2 11( )- a (x - ) 0a =a = 1解：原不等式可化为： x，令，可得：aa11 -1 0 a 1或a | 当 a当 a时，故原不等式的解集为x a x；aa1=1 a = -1或a =时，,可得其解集为f ；a11| x a-1 a 1或a 当时,解集为 x。a a- 5ax + 6a 0 a 0例 6 解不等式 x22，( )x- 2a (x - 3a) 0( )D = - 5a - 24a = a 0分析 此不等式222，
6、又不等式可分解为，故只需比较两根2a 3a与的大小.( )x - 2a (x - 3a) 0( )x -2a (x - 3a) = 0的两根为解 原不等式可化为：，对应方程，解集为 x x a xa ；当x = 2a, x = 3a ，当 a02a 3a| 3 或 2a 2a或x 3a25949 a 0111112 x 04 22+ a2- a+ a125949163 个整数必为 1,2,3，所以 34，解得a2 - a一题多解专题一：一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题的两种解法(1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题.(2)不等式组法.借助二次函数的
7、图象性质,列不等式组求解.(x) = ax2 - 2x + 2例 1. 设函数 f，对于满足 1x0，求实数 a 的取值范围.11(x) = a(x - )2 + 2 -【解析】法一：当 a0 时， f，由 x(1,4)，f(x)0 得aa111 0 fa(4) =16 -8+ 2 0faa3 1143 a 1 a a 11124所以 或 或 ，所以a1或 a 。a 012a a 2 8(1) = a - 2 + 2 0 f当 a综上可得，实数 a 的取值范围是 a。 .22 - 2 + 2 0法二：由 f(x)0, 即 axx,x(1,4)，2 2 - +则有 a在(1，4)上恒成立.2x
8、x2 21 11 1 1，12(x) = - + = -2( - ) +( ,1) g(x) = g(2) =令 g2，x2xx 22 x 4max112a 所以要使 f(x)0 在(1,4)上恒成立，只要a即可. 故 a 的取值范围为.2(x) = x + bx + cx +1在区间(，2上单调递增，在区间2,2上单调 递减，且 b0.2.已知函数 f32(1)求 f(x)的表达式；(2)设 0m2，若对任意的 x1、x2m2，m不等式|f(x1)f(x2)|16m 恒成立，求实解析 (1)由题意知 x2 是该函数的一个极值点.数 m 的最小值f(x)3x22bxc，f(2)0，即 124bc0.又 f(x)在2,2上单调递减， f(x)3x22bxc 在2,2上恒有 f(x)0.f(2)0，即 124bc0. 124b4b120.b0，又 b0，b0，c12，f(x)x312x1.(2)f(x)3x 123(x2)(x2)20m2，而当 m2xm 时，0mx2m2，m4x2m20，f(x)0，xm2，m. 因此 f(x)为m2，m上的减函数，对任意 x ，x m2，m都有|f(x )f(x )|f(x) f(x) f(m2)f(m)1212maxmin43436m212m1616m， m ，即 m .min4