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1、 精品文档锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、 平方和等于斜边 c 平方。 a + b = cb2222、如下图，在 RtABC 中，C 为直角，则A 锐角三角函数为(A 可换成B)：义表达式取值范围ac220 cos A 1bcA的对边A的邻边(倒数)余切A的邻边A的对边ba(A 为锐角)3、任意锐角正弦值等于它余角余弦值；任意锐角余弦值等于它余角正弦值。Bsin A = cosBcos A = sin Bsin = cos(90 - )cos A = sin(90 - A)由A + B = 90得B = 90 - AAA对a 边cbAC邻边4、任意锐角正切值等于它余角
2、余切值；任意锐角余切值等于它余角正切值。tan A = cot Bcot A = tan Btan A = cot(90 - A)由A + B = 90得B = 90 - AcotA =tan(90 - A)5、0、30、45、60、90特殊角三角函数值(重要)45609010不存在011333cota不存在3精品文档 精品文档锐角三角函数题型训练类型一：直角三角形求值31已知 RtABC 中， = 90, tan = ,=12, 求 AC、AB 和 cosBCABC432已知：如图，O 半径 OA16cm，OCAB 于 C 点，sinAOC = 4求：AB 及 OC 长33已知：O 中，OC
3、AB 于 C 点，AB16cm，sinAOC = 5(1)求O 半径 OA 长及弦心距 OC；(2)求 cosAOC 及 tanAOC84.已知A是锐角，sin A =，求cos A tan A， 值17类型二. 利用角度转化求值：1已知：如图，RtABC 中，C90D 是 AC 边上一点，DEAB 于 E 点DEAE12求：sinB、cosB、tanBABDECF2. 如图 4，沿 AE 折叠矩形纸片 ABCD ，使 点 D 落在边点 F 处已知 ABBC= 8 BC =10,则 tanEFC，值为 ()3443354513. 如图 6，在等腰直角三角形DABC 中，C = 90 AC =
4、6 D AC， 为上一点，若tanDBA =，则AD5长为()A 2B2C1D2 216 334. 如图 6，在 RtABC 中，C=90，AC=8，A 平分线 AD=求B 度数及边 BC、AB 长.ACB类型三. 化斜三角形为直角三角形D精品文档 精品文档例 1 （2012安徽）如图，在ABC 中，A=30，B=45，AC=2 3 ，求 AB 长1sin A = 例 2已知：如图，ABC 中，AC12cm，AB16cm，3(1)求 AB 边上高 CD；(2)求ABC 面积 S；(3)求 tanB例 3已知：如图，在ABC 中，BAC120，AB10，AC5求：sinABC 值对应训练1（20
5、12重庆）如图，在 RtABC 中，BAC=90，点 D 在 BC 边上，且ABD 是等边三角形若 AB=2，求ABC 周长（结果保留根号）2已知：如图，ABC 中，AB9，BC6，ABC 面积等于 9，求 sinB类型四：利用网格构造直角三角形例 1 （2012内江）如图所示，ABC 顶点是正方形网格格点，则 sinA 值为（）125102 55ABCD510对应练习：C1如图，ABC 顶点都在方格纸格点上，则 sin A =_.AB特殊角三角函数值例 1求下列各式值3tan 60 + sin2 45 - 2 cos 301=.计算：3 +(21) tan30tan45=03精品文档 精品文
6、档013tan 45+ sin 301- cos 60+2 cos 60+ sin 45- tan 30=2 cos 30 + 2 sin 45 - tan 602212DABCcos A- + (sin B - ) = 0 A，B 都是锐角，求C， 度数.在中，若222例 2求适合下列条件锐角a 13322(1) cosa =(2) tan =(3) sin 2 =(4)6 cos(a - 16 ) = 3 3aa2tan( + 300) = 3tana 值（5）已知a 为锐角，且a，求12（6）在DABC中，若cos A- + (sin B - ) = 0 A，B 都是锐角，求C，度数.2
7、22例 3. 三角函数增减性1已知A 为锐角，且 sin A ，那么A 取值范围是12A. 0 A 30B. 30 A 60C. 60 A 90D. 30 A 902. 已知 A 为锐角，且cos A sin 300，则（）A. 0 A 60B. 30 A 60C. 60 A 90D. 30 A 9012例 4. 三角函数在几何中应用1已知：如图，在菱形 ABCD 中，DEAB 于 E，BE16cm，sin =A13求此菱形周长= BC = 32已知：如图，RtABC 中，C90， AC，作DAC30，AD 交 CB 于 D 点，求：(1)BAD；(2)sinBAD、cosBAD 和 tanB
8、AD13. 已知：如图ABC 中，D 为 BC 中点，且BAD90，tan B =，求：sinCAD、cosCAD、tanCAD3精品文档 精品文档解直角三角形：1在解直角三角形过程中，一般要用主要关系如下(如图所示)：在 RtABC 中，C90，ACb，BCa，ABc，三边之间等量关系：_两锐角之间关系：_边与角之间关系：11sin A = cos B =_；cos A = sin B =_；tan A = tan B =_；tan Btan A直角三角形中成比例线段(如图所示)在 RtABC 中，C90，CDAB 于 DCD2_；AC2_； BC2_；ACBC_类型一例 1在 RtABC
9、中，C90= 35 2 ，求A、B，b；(2)已知：a = 2 3= 2，求A、B，c；(1)已知：a35，c，b23(3)已知：sin A = ，c = 6，求 a、b；(4)已知：tan B = , b = 9,求 a、c；32=12 3,(5)已知：A60，ABC 面积 S求 a、b、c 及B例 2已知：如图，ABC 中，A30，B60，AC10cm求 AB 及 BC 长例 3已知：如图，RtABC 中，D90，B45，ACD60BC10cm求 AD 长例 4已知：如图，ABC 中，A30，B135，AC10cm求 AB 及 BC 长类型二：解直角三角形实际应用仰角与俯角：精品文档 精品
10、文档例 1（2012福州）如图，从热气球 C 处测得地面 A、B 两点俯角分别是 30、45，如果此时热气球 C 处高度 CD 为 100 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点距离是（A200 米 B200 米 C220 米 D100（例 2已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子顶端在B 点；当它靠）米= 3 2m在另一侧墙上时，梯子顶端在 D 点已知BAC60，DAE45 点 D 到地面垂直距离DE求点 B 到地面垂直距离 BC，例 3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山高BD=30m从水平面上一点 C 测得风力发电装置顶端 A
11、 仰角DCA=60，测得山顶 B 仰角DCB=30，求风力发电装置高 AB 长例 4 .如图，小聪用一块有一个锐角为30直角三角板测量树高，已知小聪和树都与C地面垂直，且相距3 3 米，小聪身高 AB 为 1.7 米，求这棵树高度.ABDE例 5已知：如图，河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 俯角为 30，测得岸边点 D 俯角为 45，又知河宽 CD 为 50m现需从山顶 A 到河对岸点 C 拉一条笔直缆绳 AC，求山高度及缆绳 AC 长(答案可带根号)例 5（2012泰安）如图，为测量某物体 AB 高度，在 D 点测得 A 点仰角为 30，朝物体 AB 方向前进 20米，到达点
12、C，再次测得点 A 仰角为 60，则物体 AB 高度为（）米米米例 6（2012 益阳）超速行驶是引发交通事故主要原因之一上周末，小明和三位同学尝试用自己所学知识检测车速如图，观测点设在 A 处，离益阳大道距离（AC）为 30 米这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 B 处行驶到 C 处所用时间为 8 秒，BAC=75精品文档 精品文档（1）求 B、C 两点距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道 60 千米/小时限制速度？3（计算时距离精确到 1 米，参考数据：sin750.9659，cos750.2588，tan753.732， 1.732，60 千米/小时16.7米/秒）类型四.
13、 坡度与坡角3例（2012广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 坡比是 1：，堤坝高 BC=50m，则应水坡面 AB 长度是（）33mA100mB100mC150mD50类型五. 方位角1已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔 M 在北偏西 30，货轮以每小时 20 海里速度航行，1 小时后到达 B 处，测得灯塔 M 在北偏西 45，问该货轮继续向北航行时，与灯塔 M 之间最短距3 1.732离是多少?(精确到 0.1 海里，)综合题：三角函数与四边形：（西城二模）1如图，四边形 ABCD 中，BAD=135，BCD=90，AB=BC=2，tanBDC= 36(1) 求 B
14、D 长； (2) 求 AD 长（2011 东一）2如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 分别作 AEBC 于点 E，AFCD 于点 F（1）求证： BAE=DAF；24535（2）若 AE=4，AF=，sin BAE =，求 CF 长三角函数与圆：1 如图，直径为 10 A 经过点C(0，5)和点O(0，0)，与 x 轴正半轴交于点 D，B 是 y 轴右侧圆弧上一点，yC精品文档A 精品文档则 cosOBC 值为（）1233545ABCD2（延庆）19. 已知：在O 中,AB 是直径，CB 是O 切线，连接 AC 与O 交于点 D,(1) 求证：AOD=2CC4D(2) 若 AD=8，t
15、anC= ，求O 半径。3BAO（2013 朝阳期末）21.如图，DE 是O 直径，CE 与O 相切，E 为切点.连接 CD 交O 于点 B，在 EC 上取一个点 F，使 EF=BF.（1）求证:BF 是O 切线;E4（2）若cos C =, DE=9，求 BF 长5ODFBC作业：1（昌平）1已知sinA75，则锐角 A 度数是A =2B6045D30C（西城北）2在 RtABC 中， C90，若 BC1，AB= 5 ，则 tanA 值为52 5512ABCD2AC53(房山)3在ABC 中，C=90，sinA= ，那么 tanA 值等于（）.53354543B.C.D.BA43(大兴)4.
16、 若sina =，则锐角a .2(石景山)1如图，在 RtABC 中，C90，BC3，AC=2， 则 tanB 值是23322 552 1313ABCD（丰台）5将 放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tan 值是1252 55AB2CD2精品文档 精品文档(大兴)5. ABC 在正方形网格纸中位置如图所示，则sin a 值是35344345A.B.C.D.(通县)4如图，在直角三角形 ABC 中，斜边 AB 长为 m ，B = 40，则直角边 BC 长是（）mmsin 40mcos 40m tan 40CABDtan 40（通州期末）1如图，已知 P 是射线 OB 上任意一点，PMOA 于
17、 M，BP且 OM : OP=4 : 5，则 cos值等于（）34434535ABCDOM A第1题图35（西城）6如图，AB 为O 弦，半径 OCAB 于点 D，若 OB 长为 10，cosBOD =，则 AB 长是（)A . 20B. 16C. 12D. 847.在 RtABC 中，C=90，如果 cosA= ，那么 tanA 值是535533443ABCDC311如图，在ABC 中，ACB=ADC= 90，若 sinA= ，则 cosBCD 值为5ABD13.计算：13计算2 sin 60 - 2 cos 45 -3 tan 30 + tan 45.2 cos 30 + 2 sin 45
18、 - tan 602 sin 60 - 4cos 30 +sin 45 tan 60213计算：C14.如图，小聪用一块有一个锐角为 30直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地AB 1.7面垂直，且相距3 3 米，小聪身高为米，求这棵树高度.ABDE15已知在 RtABC 中，C90，a= 4 6 ，b=12 2 .解这个直角三角形精品文档 精品文档CA1CDBD20. 如图，在Rt ABC 中，CAB=90，AD 是CAB 平分线，tanB= ，求值D2BC（延庆）19. 已知：在O 中,AB 是直径，CB 是O 切线，连接 AC 与O 交于点 D,D(3)(4) 求证：AOD=2C4B(5
19、) 若 AD=8，tanC= ，求O 半径。AO3（延庆期末）19如图，某同学在楼房 A 处测得荷塘一端B 处俯角为30，荷塘另一端 D 处C 、 B 在同一条直线上，已知 AC求荷塘宽 为多少米？（结果保留根号）= 32米，CD =16米，BD18.（6 分）如图，在 ABC 中，点 O 在 AB 上，以 O 为圆心圆CA经过 A，C 两点，交 AB 于点 D，已知 2A +B =90（1）求证：BC 是O 切线；OD B第18题图（2）若 OA=6，BC=8，求 BD 长精品文档 精品文档（西城）15如图，在 RtABC 中，C=90，点 D 在 AC 边上若 DB=6，AD= CD，si
20、nCBD= ，求 AD1223长和 tanA 值18如图，一艘海轮位于灯塔 P 南偏东 45方向，距离灯塔 100 海里 A 处，它 计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 北偏东 30方向上 B 处.（1）B 处距离灯塔 P 有多远？（2）圆形暗礁区域圆心位于 PB 延长线上，距离灯塔 200 海里 O 处已知圆形暗礁区域半径为 50 海里，进入圆形暗礁区域就有触礁危险请判断若海轮到达 B 处是否有触礁危险，并说明理由22已知，如图，在ADC 中，ADC = 90，以DC 为直径作半圆，交边AC 于点 F，点B 在 CD 延长线上，O连接 BF，交 AD 于点 E，BED = 2 C（1）求证：
21、BF 是切线；OA（2）若BF FC=，= 3 ，求半径OAEFEBODC15如图，为了测量楼AB 高度，小明在点C 处测得楼 AB 顶端 A 仰角为 30，又向前走了 20 米后到达点D，点 B、D、C 在同一条直线上，并在点 D 测得楼 AB 顶端 A 仰角为 60，求楼 AB 高14.（2009眉山中考）海船以 5 海里/小时速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔 B 在海船北偏东 60方向，2 小时后船行驶到 C 处，发现此时灯塔 B 在海船北偏西 45 方向，求此时灯塔 B 到 C 处距离。o15.（2009常德中考）如图，某人在 D 处测得山顶 C 仰角为 30 ，向前走 200 米
22、来到山脚 A 处，测得山坡 AC3 1.73坡度为 i=10.5，求山高度（不计测角仪高度，结果保留整数）精品文档 精品文档16.（2008广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内滑滑板倾角由45 降为 30，已知原滑滑板 AB 长为 5 米，点 D、B、C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板正前方能有 3 米长空地就能保证安全，原滑滑板前方有6 米长空地，像这样改造是否可行？说明理由。2 =1.414, 3 =1.732, 6 = 2.449(参考数据：)18. 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13 所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在 A 北偏西31方向上，沿河岸向北前行 20 米到达 B 处，测得C 在B 北偏西 45方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河宽度31（参考数值：tan31 ，sin31 ）52图 13精品文档