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1、一级倒立摆物理建模和传递函数的推导设定：M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量F 加在小车上的力x 车位置 摆杆与垂直向上方向的夹角l摆杆xF小 车导轨图 1 直线一级倒立摆模型 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）vPPNFb=fNmg图 2 小车及摆杆受力分析IN图1、2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用。分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： (1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： (2)即： (3)把这个等式代入式(3)中，就得到系统的第一个运动方程： (4)对摆杆垂
2、直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程: (5) (6)力矩平衡方程： (7)此方程中力矩的方向，由于,故等式前面有负号。合并这两个方程，约去 P 和N，得到第二个运动方程： (8)设 = +, 假设 与1（单位是弧度）相比很小，即c 1，则可以进行近似处理：,。用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下： (9)假设初始条件为0，对式(9)进行拉普拉斯变换： (10)由于输出为角度 ，求解方程组的第一个方程，可以得到： (11)或 (12)令，则有： (13)把上式代入方程组的第二个方程，得到： (14)整理后得到传递函数： (15)其中 。系统物理参数：M 小车质量1.096Kgm 摆杆质量0.109Kgb 小车摩擦系数0.1N/m/secl 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI 摆杆惯量0.0034Kg*m*m设系统状态空间方程为： 对，解代数方程，得到解如下： (17)整理后得到系统状态空间方程： (18)对于质量均匀分布的摆杆有： ,由(9)的第一个方程，可得到：- mgl化简： = （19）设X= =,有： （20）