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1、对柯西分布性质的进一步讨论第l4卷第5期2005年l0月淮阴工学院学报JournalofHuaiyinInstituteofTechnologyV0I,l4NO,5O(-t.2o05对柯西分布性质的进一步讨论郭彦(南京财经大学应用数学系,江苏南京210003)摘要:柯西分布是概率统计学中的一个极具特色的连续型分布,其独有的性质历来备受重视,利用特征函数这一l二,讨沦了柯西分布的结构,矩存在性,可加性,无穷叮分性等概率性质.针对柯西分布的参数估计,说明ur常用的估计方法(矩法,均方误差最小,最大似然估计法等)对柯西分布均不合适,给出了一个较为合适的参数估计方法一一样本中位数法,并利用CR等式计论
2、r有效率?关键词:柯两分市;特征函数;参数估计中图分类号:02I2文献标识码:A文章编号:1009796I(2005)05000802FurtherStudyonPropertiesofCauchyDistributionGUOYan(DepartmentofAppliedMathematics.NanjingUniversityofFinanceandEconomics,Nanjing210003.China)Abstract:Cauchydistributionisaparticularoneinprobabilityandithasalotofspecialproperties.Inth
3、ispaper,wediscussthepropertiesofCauchvdistributiononprobabilitiesandgiveapropermethodofestimationofparameters.Keywords:Cauchydistribution;characteristicsfunction;estimationofparameters众所周知,柯西分布是概率论中常见的连续型分布之一,其密度函数表达式可写为P(,A,tx)=1,一<<+,特另0地,当A=1,=0一(+待别地当A,时,可得标准的柯西分布的密度函数P()=1,一<<+.(为方便
4、计,下文中均以P(A,),P(1,0)分别表示这两个函数).由于柯西分布具有许多独特的性质,比如它的期望,方差均不存在,其参数估计也有特殊之处等,一直是众多统计学家的关注对象.在概率统计中常被作为反例来使用,本文试图从多个角度对柯西分布的性质作一详细讨论.l柯西分布的概率性质性质1(柯西分布的结构):设随机变量X.Y独立同,v(0,1)分布,则Z=,J(1,0).证明:由X,Y独立知其联合密度函数为P(.Y)=,根据商的密度公式,得(:):fp(,),)IYI7J一*dy=e-Y-dy=Ie_I+z2,-2y=1,故性质成立.注1:柯西分布是自由度为n的t一分布的特况,这从其结构即可看出.或者
5、,注意到t一分布的密度函数t()=r()X2!一(1+)一T,令n=1,Bp得t.()=P(1,0).r().性质2:随机变量XP(1,0)甘P(1,0).证明是容易的,不赘.注2:并非只有服从柯西分布的随机变量X才具有有,专相同分布这一特点,但若此分布还是稳定的,则此分布必为柯西分布.性质3:设随机变量XP(1,0),则当0<r<1时,EX存在;当r1时,EX不存在.证明:ElXI=Xr.1dxdx4-:.toI证明:=JII一七:fIzIJ一7rl丌dx,令z=,有ElXI=I.()孚t-tdz=一一(1一)字一dt,此为欧拉积分,由欧拉积分的收敛7r性知,此积分在r<l
6、时收敛;在r1时发散,性质3得证.注3:这表明柯西分布连一阶矩(期望)都不存在,更谈不上高阶矩了,这是柯西分布较为特殊的地方.性质4(可加性):设随机变量XP(A.,.),YP(A2,2),且x,Y相互独立,则X+yP(AI+A2,I+Ix2).证明:,的特征函数分别为(t)=eIl,(t)=e2,由,相互独立可知+(t)=(t)y(t)=e,而这正是参数为(AI+A2,I+Ix2)的柯西收稿日期:20050807作者简介:郭彦(1977一),女,江苏镇江人,助教,东南大学硕士生,主要研究方向:数理统计.第5期郭彦:对柯西分布性质的进一步讨论9分布的密度函数.性质5:柯西分布是无穷可分的.事实
7、上,柯西分布的特征函数可写为(t)=e:【,-】n=(),且()为参数f,卫1的柯,正,正,西分布的特征函数,因此柯两分布是无穷可分的.2柯西分布的参数估计为简明计,设总体服从单参数的柯西分布,其密度函数为,:一<<+,其中为待估参数,.,为一组简单随机样本.首先有性质6:在上述条件下,样本均值与同分布.证明:因.,为简单随机样本,故诸X独立且同总体分布,而()=Cga-111,故i()=圭Xi()=兀(f)i=1=1=I(t)1=(e_.)=e=(t)=妒xI(t)由唯一性定理,与同分布.现在讨论对参数的估计,由于扣J西分布的特殊性,常用的参数估计方法均不尽如人意,具体分析如下:
8、(1)因总体均值EX不存在,不能使用矩估计法.(2)若从样本值与的均方误差最小(最小二乘法原理)的角度来考虑,即寻找,使得(一)=rain,用l简单的求极值的方法,可得估计量=X,但对此估计量的优良性却难以作出评判.这是因为EX,DX均不存在,无法讨论的无偏性,有效性.而据性质6,X与.同分布,这表明并不能汇集样本.,的全部信息,增加样本容量也不能提高对的估计精度,换言之,此估计量连最基本的相合性的要求也.不能满足.这也充分说明_柯西分布的特异.(3)再试用最大似然估计法.似然函数为,J()=兀即便在样本容量较小时(比如n=2),其似然方程的解也未必就是的最大似然估计,因一定满足,J(;一,X
9、)=supL(/.t;一,X)可参看文献6.为了给出一个对的较合理估计,先介绍下面的定理.定理:设总体密度函数为P(X),中位数为m且P(m)0,而.,为它的一组样本,其样本中位数为X,则:,/-fi一m)的极限分布为(0,注意到南dx=1,这表明为X的中位数,因此可以用样本的中位数来估计.事实上,这足一个比样本均值远为优良的估计.首先根据上述定理可知,渐近服从于正态分布,v(,),因此一是参数的渐近无偏估it,不妨再来计算一下它的有效率.记P(;)=,一,信息量)=【卜一,由cR不等式知,参数的无偏估计量的方差下界为去nlL,:_=2,故有效率e:.*/7-2:80.8l】.相对于柯西分nn
10、斗n布而言,这个数值还是能令人满意的.参考文献:1lbrahimA.Ahmad.OnMultivariateKemalEstimationforSampalfromWeightedDistribution,J.Stat.andProb.Letter,1995,22:568573.2王战权,赵朝义,云庆夏.进化策略中基于柯西分布的变异算子改进探讨J.系统工程,1999.17(4):4954.3o.J.w.F.Kardam,朱钰译.对关于统计推断性质的卜四个难以理解和有待澄清的问题的思考(中)J.统计与信息论坛,2004,19(6):8287.4毕秀春,王新华,李荣.带干扰古典风险模的极值联合分布
11、J.曲阜师范大学学报(自然科学版),2003,25(2):1721.5M.V.Menon,Ann.Math.Stat.fJ.1992.33:1267一取对数得,lnL(/z)=一nine一1271.6张文忠,但冰如.概率统计中的反例M,四JIl:成都科技去,令一.,得似然方程式窆i=1_=0.此方程的解析解很难求出,通常只能求J十LXi一其数值解,这在对其它的常见分布进行参数估计时很少遇到的.当然也可以根据似然估计的原理,直接讨论似然函数L(/.t)的极值.当样本容量n较大时,这显然是相当复杂的,大学出版社.1991,135136.7李贤平,沈崇圣,陈子毅.概率论与数理统计M,上海:复旦大学出版社,2003,205206.8魏宗舒.概率论与数理统计教程M,北京:高等教育出版社.1983.198200.(责任编辑:吴延东)