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1、 1一、平面向量的概念1向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量2表示方法用有向线段来表示向量有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向用字母 a，b，或用3模，表示ABBC向量的长度叫向量的模，记作|a|或|4零向量|.AB长度为零的向量叫做零向量，记作 0；零向量的方向是任意的5单位向量a长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量与 a 平行的单位向量 e|a|.1 16平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行，平行向量又称为共线向量7相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量说明 向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比
2、较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小二、平面向量的线性运算1向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法(2)法则：三角形法则；平行四边形法则(3)运算律：abba；(ab)ca(bc)2向量的减法(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法(2)法则：三角形法则说明 要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则的要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”3实数与向量的积(1)定义：实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，规定：| a| |a|.当 0 时，a 的方向
3、与 a 的方向相同；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时， a0.由此可见，总有 a 与 a 平行(2)运算律： ( a)( )a，( )a a a， (ab) a b.三、两个定理1向量共线定理(1)如果有一个实数 ，使 b a(a0)，那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与 a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数 ，使 b a.(2)向量平行的坐标表示：若 a(x ，y )，b(x ，y )，则 ab x y x y 0.1122122 12平面向量基本定理平面向量基本定理：如果 e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任12意向量 a，
4、有且仅有一对实数 、 ，使 a e e .其中，不共线的向量 e ，e 叫做表示12112212这一平面内所有向量的一组基底一个平面向量用一组基底 e ，e 表示成 a e e 的形式，我们称它为向量的分解当12112 21 1e，e 互相垂直时，就称为向量的正交分解12说明 零向量不能作基底，两个非零向量共线时不能作基底，平面内任意两个不共线的向量都可以作基底，一旦选择了一组基底，则定向量沿基底的分解是唯一的四、平面向量的数量积1平面向量数量积的概念及意义(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和 b，作OA a，OB b，则AOB (0 180)叫做向量 a与 b的夹角，记作a，b(2)数量积
5、的定义：已知两个非零向量 a和 b，它们的夹角为 ，则数量|a|b|cos 叫做a与 b的数量积，记作 ab，即 ab|a|b|cos .(3)数量积的几何意义：数量积 ab等于 a的模与 b在 a方向上的投影|b|cos 的乘积说明 b在 a方向上的投影|b|cos 是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.2平面向量数量积的性质设 a与 b是非零向量，e是单位向量，a，e .(1)eaae|a|cos .(2)当 a与 b同向时，ab|a|b|；当 a与 b反向时，ab|a|b|，特别地，aa|a|，或|a| aa.2(3)ab ab0.ab(4)cos .|a|b|(5)|ab|a|
6、b|.说明(1)数量积的运算要注意 a0时 ，ab0，但 ab0时不一定能得到 a0或 b0，因为ab时，也有 ab0.(2)若向量 a、b、c满足 abac(a0)，则不一定有 bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量3平面向量数量积的运算律(1)abba；(2)( a)b (ab)a( b)；(3)(ab)cacbc.说明 数量积的运算不满足结合律，即(ab)ca(bc)4平面向量数量积的坐标运算设 a(x，y)，b(x，y)，则1122(1)abxxyy；121 2(2)|a| xy；21211 1x x y y(3)cosa，b；121 2x y x y212122
7、22(4)abab0x x y y 0.121 2说明 x y x y 0 与 x x y y 0 不同，前者是两向量a(x ，y )，b(x ，y )共线的122112121122条件，后者是它们垂直的条件(时间：120 分钟，满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分将答案填在题中的横线上)1 AB AC BC BA 化简后等于_解析：原式( AB BA)( AC BC )( AB AB )( AC CB )0 AB AB .答案： AB2已知向量 a(1,3x)，b(1,9)，若 a 与 b 共线，则实数 x 的值为_解析：a 与 b 共线，93x0
8、，x3.答案：33已知向量 m( 1,1)，n( 2,2)，若(mn)(mn)，则 _解析：(mn)(mn)(2 3,3)(1，1)(2 6)0，所以 3.答案：34已知点 A(1,3)，B(4，1)，则与向量 AB 同方向的单位向量为_134解析： AB (3，4)，所以| AB |5，这样同方向的单位向量是 AB ， .55534答案： ，555如图 ，M，N 分别是 AB，AC 的一个三等分点，且 MN ( AC AB )成立，则 _.解析：M，N 分别是 AB，AC 的一个三等分点，MN 1 ，即 MN BC .BC 313又 MN ( AC AB ) BC ，1 .31 11答案：3
9、6若|a|2，|b|6，ab3，则|ab|等于_解析：(ab) a 2abb 463634，2|ab| 34.答案： 34227已知向量OB (2,0)，OC (2,2)，CA(1，3)，则OA 和OB 的夹角为_解析：由题意，得OA OC CA(1，1)，则|OA | 2，|OB |2，OA OB 2，OA OB2 .2cosOA ，OB | OA |OB |4又 0OA ，OB ，OA ，OB .答案：48在梯形 ABCD 中， AB 2 DC ，AC 与 BD 相交于 O 点若 AB a， AD b，则OC _.OC DC 1解析：依题意得 ABCD，且 AB2CD， ，OC AC ，又
10、 AC AD DC bAO AB 2131 a，211因此OC b a.3611答案： b a369如图所示，在平行四边形 ABCD中，A PBD，垂足为 P，且AP3，则 AC _.AP解析：设 AC 与 BD 的交点为 O，则 AP AC AP 2 AO 2 AP 2 AP PO 2322018.答案：18210已知 e ，e 是夹角为 的两个单位向量，ae 2e ，bke e ，若 ab0，则实数3121212k 的值为_解析：ab(e 2e )(ke e )1212ke (12k)e e 2e2122121 125k(12k)cos 22k .32又 ab0，552k 0，k .245
11、答案：411下列 5 个说法：共线的单位向量是相等向量；若 a，b，c 满足 abc 时，则以|a|，|b|，|c|为边一定能构成三角形；对任意的向量，必有|ab|a|b|；(ab)ca(bc)；(ab)cacbc.其中正确的是_解析：共线也有可能反向，故不正确；若|a|0，显然不能构成三角形，故不正确；由数量积的性质知不正确；由向量加法的三角形法则知正确；由数量积的性质知正确答案：12设向量 a 与 b 的夹角为 ，定义 a 与 b 的“向量积”：ab 是一个向量，它的模|ab|a|b|sin ，若 a( 3，1)，b(1， 3)，则|ab|_.ab 3 331 ，sin .解析：cos |
12、a|b| 22221|ab|22 2.2答案：2DE CB13已知正方形 ABCD的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则的值为_；DEDC的最大值为_ABAD为基向量，解析：法一：以，设 AE AB (01)，DEAEADABAD ，CBAD ，则DE CBABADAD )所以 ABADAD 2,011.DCABDEDCAB ADABDC又，所以 ABADABDE2,101，,即的最大值为 1.可得DE CB法二：建立如图所示的平面直角坐标系，,令 E 点坐标为 t，t1 1 t， 1，, DE DC t，t1，, DE CB1， DE DC 最大值为 1.答案：1 114(上海高考)
13、已知正方形 ABCD的边长为 1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a，a，a；以 C为起点，其余顶点为终点的向量分别为 c，c，c.若 i，j，k，l1,2,3且 ij，123123( ) ( )kl，则 aa cc 的最小值是_ijkl( ) ( )aacc互为相反向量，且它们的模最大时，解析：根据对称性，当向量与ijkl( ) ( )ccaaa AC a AD c CA c CB最小这时 ， ， ， ，ijk( ) ( ) | |lijklaacckaa25.ijlij答案：5二、解答题(本大题共 6小题，共 90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分
14、14分)在四边形 ABCD(A、B、C、D顺时针排列)中，AB (6,1)，CD (2，3)，若有 BC DA ，又有 AC BD ，求 BC 的坐标解：设 BC (x，y)，则 AC AB BC (6x,1y)，AD AC CD (4x，y2)，DA AD (x4,2y)，BD BC CD (x2，y3)又 BC DA 及 AC BD ，x(2y)(x4)y0，(6x)(x2)(1y)(y3)0.x6，y3，x2，解得或y1. BC (6,3)或(2，1)16(本小题满分 14分)已知|OA |1，|OB | 3，OA OB 0，点 C在AOB的内部，mn且AOC30，若OC mOA nOB
15、 (m，nR)，求 的值解：OA OB 0，OA OB ，AOB90，又AOC30，且点 C在AOB内部，BOC60.OA OC OA (mOA nOB )m|OA |OC |1 13cosAOC |2|，OCOB OC OB (mOA nOB )3n|OB |OC |3cosBOC |OC |.2mm3n，即 3.n17(本小题满分 14 分)已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a(1,2)(1)若|c|2 5，且 ca，求 c 的坐标；5(2)若|b| ，且(a2b)(2ab)0，求 a 与 b 的夹角 .2解：(1)设 c(x，y)，|c|2 5， x y 2 5，22即 x
16、 y 20.22ca，a(1,2)，2xy0，即 y2x.x2，y4，x2，y4.联立，得或c(2,4)或(2，4)(2)(a2b)(2ab)0，即 2a 3ab2b 0,2|a| 3ab2|b| 0.222255|a| 5，|b| ，代入式，得 ab ，224252ab|a|b|cos 1.552又 0， ， .1318(本小题满分 16 分)已知向量 a( 3，1)，b ，.2 2(1)求证：ab；(2)是否存在不等于 0 的实数 k 和 t，使 xa(t 3)b，ykatb，且 xy？如果存在，2试确定 k 和 t 的关系；如果不存在，请说明理由1333解：(1)证明：ab( 3，1)
17、， 0，ab. 222 2(2)假设存在非零实数 k，t 使 xy，则a(t 3)b(katb)0，2整理得ka tk(t 3)abt(t 3)b 0.22221 1又 ab0，a4，b1.2214kt(t3)0，即 k (t3t)(t0)，234故存在非零实数 k，t，使 xy成立，1其关系为 k (t3t)(t0)3419(本小题满分 16分)已知 A(2,0)，B(0,2)，C(cos ，sin )(0 )(1)若|OA OC | 7(O为坐标原点)，求OB 与OC 的夹角；(2)若 AC BC ，求 tan 的值解：(1)OA OC (2cos ，sin )，|OA OC | 7，1(
18、2cos )sin 7，cos .222又 (0， )， ，3326即AOC ，又易知AOBAOCBOC ，OB 与OC 的夹角为 .(2)AC (cos 2，sin )， BC (cos ，sin 2)，1由 AC BC ，知 AC BC 0，可得 cos sin .213(cos sin ) ，2sin cos ，244 (0， )， ， .27又(cos sin )12sin cos ，24cos sin 0，7cos sin .21 71 7由得 cos ，sin ，444 7从而 tan .320(本小题满分 16 分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 a(1,2)，且点
19、 A(8,0)，B(n，t)，C(ksin ，t)， 0， .21 1(1)若 AB a，且| AB | 5|OA |，求向量OB ；(2)若向量 AC 与向量 a 共线，当 k4，且 tsin 取最大值 4 时，求OA OC .解：(1)因为 AB (n8，t)，且 AB a，所以 8n2t0，即 n82t.又| 5|OA |，AB所以 564(n8) t 5t ，解得 t8.222所以OB (24,8)或(8，8)(2)因为 AC (ksin 8，t)， AC 与 a 共线，所以 t2ksin 16.又 tsin (2ksin 16)sin 4 32k k2k sin ，24当 k4 时，1 0，k4k32k所以当 sin 时，tsin 取得最大值 ；32k6由 4，得 k8，此时 ，故OC (4,8)，所以OA OC 848032.1