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1、 椭圆的焦点三角形一 知识梳理定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫焦点直角三角形。性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。所以周长为定值2a+2cx y22性质二：已知椭圆方程为1(a b 0),两焦点分别为 F ,F ,设焦点三角a b221 2形 PF F 中 FPF ,则S b tan .221 212F PF12yO|PF | r ,|PF | r2证明：记，P112r r 2a, (r r) 4a .由椭圆的第一定义得221212FFx12F PF1r r 2rr cos (2c) .2在中，由余弦定理得： 222121 2
2、(r r) 2rr 2r r cos 4c .配方得：22121 21 24a 2rr (1 cos ) 4c .即 221 22(a c ) 2b222rr1 2.1 cos 1 cos由任意三角形的面积公式得：2 sin cos2 212sinSrr sin b21 2b2b tan2 .1 cos2F PF122 cos22Sb tan .22F PF12x y22性质三：已知椭圆方程为1(a b 0),两焦点分别为 F ,F ,设焦点三角a b221 22b2a2形PF F 中 F PF ,则 cos1 1 2e .并且点 P 在 y 轴上是张角最大。21 212PF r ,PF r,
3、 F PF证明：设则在中，由余弦定理得：112212r r F F (r r) 2rr 4c 4a 4c21222rr22222cos11 2121 22rr2r r1 21 21 2 2b22b2a211 1 2e .r r2 当切仅当 ，即点P在y轴是cosr r( )2 21212取的最小值，而角 取得最大值。二 典型例题x y22例1 如图把椭圆1的长轴 AB 分成 8 分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半25 16P , P , P 七 个 点 ， F 是 椭 圆 的 一 个 焦 点 ， 则部 分 于127PF P F .P. F7_12P ,P , P 七个点分别解：只需取椭圆的另
4、一焦点与1 27连接，由结论 1 和对称性可知1PF P F .P F 14 5 352127x y22例2若 P 是椭圆1上的一点，F 、F 是100 6412其焦点，且 F PF 60 ，1）求F PF 的面积 2）求点 P 的坐标1212x y22已知 F 、F 是椭圆1(a b 0)的两个焦点，椭圆上一点 P 使例 3a b2212F PF 90 ，求椭圆离心率 的取值范围。e12由焦点三角形性质二， cos90 1 2e .2021e2三 练习题y x221. 椭圆1上一点 P 与椭圆两个焦点F 、F 的连线互相垂直，则F PF49 241212的面积为（ ）A. 20B. 22C.
5、 28D. 24x22. 椭圆 y 1的左右焦点为F 、F ， P 是椭圆上一点，当F PF 的面积241212为1时，PF PF 的值为（ ）12 A. 0B. 1C. 3D. 6x23. 椭圆 y 1的左右焦点为F 、F ， P 是椭圆上一点，当F PF 的面积241212最大时，PF PF 的值为（ ）12A. 0B. 2C. 4D. 2x24已知椭圆 y 1（ 1）的两个焦点为F 、F ，P 为椭圆上一点，a2a122且 F PF 60 ，则|PF | |PF |的值为（ ）1212134323A1BCD5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F 、F 为焦点，点 P 在椭圆上，1
6、25直线PF 与PF 倾斜角的差为 90 ，F PF 的面积是 20，离心率为 ，31212求椭圆的标准方程.x y22在C 上满足PF PF 的点P 的个数为？26 F ,F 是椭圆C :1 21的焦点,8 41A. 0B. 1C. 3D. 4x y2271F FPFPF的焦点为 、 ，点 为其上的动点，当 为钝角时，点 P 横椭圆9 41212坐标的取值范围是。8F F FF PF已知椭圆的两个焦点为 、 ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 为等21212腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）22 122 22 1ABCD292已知ABC 的顶点 B、C 在椭圆x +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦4点在 BC 边上,则ABC 的周长是.设 F,F 是椭圆 + =1 的左、右焦点,点 M 在椭圆上,若MF F 是直10121 2角三角形,则MF F 的面积等于( )1 2 (A) (B) (C) 或 16(D) 或16x y22是直设角三F ,角F形是,椭则圆MF F 的面积的等左于、？右焦点,点M在椭圆上,若MFF1变式12161 241 2