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1、 精品文档经 典 题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CDGF（初二）证明：过点 G 作 GHAB 于 H，连接 OEEGCO，EFABEGO=90，EFO=90EGO+EFO=180E、G、O、F 四点共圆GEO=HFGEGO=FHG=90EGOFHGEO GO=FG HGGHAB，CDABGHCDGO CO=HG CDEO CO=FG CDEO=COCD=GF2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内部的一点，PADPDA15。求证：PBC 是正三角形（初二）证明：作正三角形 ADM，连接 MPMAD=60，PAD=15MAP=
2、MAD+PAD=75BAD=90，PAD=15BAP=BAD-PAD=90-15=75BAP=MAPMA=BA，AP=APMAPBAPBPA=MPA，MP=BP同理CPD=MPD，MP=CPPADPDA15PA=PD，BAP=CDP=75BA=CDBAPCDPBPA=CPDBPA=MPA，CPD=MPDMPA=MPD=75BPC=360-754=60MP=BP，MP=CP BP=CP BPC 是正三角形精品文档 精品文档3、已知：如图，在四边形ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN于 E、F求证：DENF证明:连接 AC，取 AC 的中点 G,
3、连接 NG、MGCN=DN，CG=DG1GNAD，GN= AD2DEN=GNMAM=BM，AG=CG1GMBC，GM= BC2F=GMNAD=BCGN=GMGMN=GNMDEN=F经 典 题（二）1、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且 OMBC 于 M（1）求证：AH2OM；0（2）若BAC60 ，求证：AHAO（初二）证明：（1）延长 AD 交圆于 F，连接 BF，过点 O 作 OGAD 于 GOGAFAG=FGAB =ABF=ACB又 ADBC，BEACBHD+DBH=90ACB+DBH=90ACB=BHDF=BHDBH=BF 又 ADBCDH=DFAH=AG+
4、GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD又 ADBC，OMBC，OGAD四边形 OMDG 是矩形OM=GD AH=2OM（2）连接 OB、OCBAC=60BOC=120OB=OC，OMBC1BOM= BOC=60OBM=302BO=2OM由（1）知 AH=2OMAH=BO=AO精品文档 精品文档2、设 MN 是圆 O 外一条直线，过 O 作 OAMN 于 A，自 A 引圆的两条割线交圆 O 于 B、C 及 D、E，连接 CD 并延长交 MN 于 Q，连接 EB 并延长交 MN 于 P.求证：APAQ证明：作点 E 关于 AG 的对称点 F，连接 AF、
5、CF、QFAGPQ PAG=QAG=90又GAE=GAF PAG+GAE=QAG+GAF即PAE=QAFE、F、C、D 四点共圆AEF+FCQ=180EFAG，PQAGEFPQPAF=AFEAF=AEAFE=AEFAEF=PAF在AEP 和AFQ 中PAF+QAF=180AFQ=AEPFCQ=QAFAF=AEF、C、A、Q 四点共圆QAF=PAEAFQ=ACQAEPAFQ又AEP=ACQAP=AQAFQ=AEP3、设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q求证：APAQ（初二）证明：作 OFCD 于 F，OGBE 于 G，连接
6、 OP、OQ、OA、AF、AGC、D、B、E 四点共圆B=D，E=CABEADCAB BE 2BG BG=AD DC 2FD DFABGADFAGB=AFDAGE=AFCAM=AN，OAMN又 OGBE，OAQ+OGQ=180O、A、Q、E 四点共圆AOQ=AGE同理AOP=AFCAOQ=AOP又OAQ=OAP=90，OA=OAOAQOAPAP=AQ精品文档 精品文档4、如图,分别以ABC 的 AB 和 AC 为一边,在ABC 的外侧作正方形 ABFG 和正方形 ACDE，点 O 是 DF的中点，OPBC求证：BC=2OP（初二）证明：分别过 F、A、D 作直线 BC 的垂线，垂足分别是 L、
7、M、NOF=OD，DNOPFLPN=PLOP 是梯形 DFLN 的中位线DN+FL=2OPABFG 是正方形ABM+FBL=90又BFL+FBL=90ABM=BFL又FLB=BMA=90，BF=ABBFLABMFL=BM同理AMCCNDCM=DNBM+CN=FL+DNBC=FL+DN=2OP经 典 题（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F求证：CECF（初二）证明：连接 BD 交 AC 于 O。过点 E 作 EGAC 于 GABCD 是正方形BDAC 又 EGACBDEG 又 DEACODEG 是平行四边形又COD=90ODEG 是矩形111
8、EG=OD= BD= AC= AE2EAG=30AC=AE22ACE=AEC=75又AFD=90-15=75CFE=AFD=75=AECCE=CF精品文档 精品文档2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 F求证：AEAF（初二）证明：连接 BD，过点 E 作 EGAC 于 GABCD 是正方形BDAC，又 EGACBDEG 又 DEAC1ODEG 是平行四边形CAE=CEA= GCE=152在AFC 中F =180-FAC-ACF=180-FAC-GCE=180-135-30=15F=CEA又COD=90ODEG 是矩形111EG = OD
9、 = BD= AC= CE2GCE=30AC=EC22AE=AF3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PFAP，CF 平分DCE求证：PAPF（初二）证明：过点 F 作 FGCE 于 G，FHCD 于 HCDCG HCGF 是矩形HCF=GCF FH=FGHCGF 是正方形CG=GFAPFP设 AB=x，BP=y，CG=zz：y=（x-y+z）：x化简得（x-y）y=（x-y）zx-y0APB+FPG=90APB+BAP=90FPG=BAP又FGP=PBAFGPPBAFG：PB=PG：ABy=z即 BP=FGABPPGF4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PE
10、F 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证：ABDC，BCAD（初三）证明：过点 E 作 EKBD，分别交 AC、AF 于 M、K，取 EF 的中点 H，连接 OH、MH、ECEH=FHOHEF，PHO=90EM=KM又 PCOC，POC=90EKBDP、C、H、O 四点共圆HCO=HPO又 EKBD，HPO=HEKHCM=HEMH、C、E、M 四点共圆ECM=EHM又ECM=EFAEHM=EFAHMACOB AO OD=EM AM KMOB=OD又 AO=CO四边形 ABCD 的对角线互相平分ABCD 是平行四边形AB=DC，BC=ADEH=FH精品文档 精品文档经典题(四
11、)1、已知：ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求APB 的度数（初二）A解：将ABP 绕点 B 顺时针方向旋转 60得BCQ，连接 PQ则BPQ 是正三角形PBQP=60，PQ=PB=3在PQC 中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5PQC 是直角三角形PQC=90BQC=BQP+PQC=60+90=150APB=BQC=150BCQ2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBAPDA求证：PABPCB（初二）AD证明：过点 P 作 AD 的平行线，过点 A 作 PD 的平行线，两平行线相交于点 E，连接 BEPEAD，AEPDPADPE 是平行四边形PE
12、=AD，E又 ABCD 是平行四边形AD=BCBCPE=BC又 PEAD，ADBCPEBC又ADP=ABPAEP=ABPBCPE 是平行四边形BEP=PCBADPE 是平行四边形ADP=AEPA、E、B、P 四点共圆BEP=PABPAB=PCB3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD（初三）证明：在 BD 上去一点 E，使BCE=ACDADCD =CD CAD=CBDBECADCEBE BC=AD ACADBC=BEACBCE=ACDBCBCE+ACE=ACD+ACE即BCA=ECD+得 ABCD+ ADBC =DEAC+ BEAC BC =BC ,BAC=BDC=（
13、DE+BE）AC=BDACBACEDCAB AC=DE CDABCD=DEAC精品文档 精品文档4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点，AE 与 CF 相交于 P，且AECF求证：DPADPC（初二）证明：过点 D 作 DGAE 于 G，作 DHFC 于 H，连接 DF、DEAD11FS= AEDG，S= FCDH22ADEFDCG1又 S= SADE= S2FDCABCDHEPAEDG=FCDH又 AE=CFBCDG=DH点 D 在APC 的角平分线上DPADPC经 典 题（五）31、设 P 是边长为 1 的正ABC 内任一点，LPAPBPC， 求证：L2证明
14、：（1）将BPC 绕 B 点顺时针旋转 60的BEF，连接 PE，BP=BE，PBE=60APBE 是正三角形。PE=PB 又 EF=PCL=PA+PB+PC=PA+PE+EFGPD当 PA、PE、EF 在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小（如图）3C在ABF 中，ABP=120AF=B3L=PA+PB+PCE（2）过点 P 作 BC 的平行线分别交 AB、AC 于 D、G则ADG 是正三角形FADP=AGP，AG=DGAPDAGPAPDADPADPA又 BD+PDPBCG+PGPC+得 AD+BD+CG+PD+PGPA+PB+PCAB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA
15、+PB+PC=LAB=AC=1L23由（1）（2）可知：L2精品文档 精品文档2、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PAPBPC 的最小值AD解：将BCP 绕点 B 顺时针旋转 60得BEF，连接 PE，则BPE 是正三角形PE=PBPPAPBPC=PA+PE+EFBC要使EPAPBPC 最小，则 PA、PE、EF 应该在一条直线上（如图）此时 AF= PA+PE+EF过点 F 作 FGAB 的延长线于 G则GBF=180-ABF=180-150=30GF312GF= ，BG=2213 2+ AG+12 + 3AF= GF22 = =2 22 + 3PAPBPC 的最小
16、值是3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长AD证明：将ABP 绕点 B 顺时针旋转 90得BCQ，连接 PQ则BPQ 是等腰直角三角形，P2222a=2 aPQ=PB=又 QC=AP=aQP2+QC2=(2 2 a)2+a2=9a2=PC2CBPQC 是直角三角形QBQC=135BC2=BQ2+CQ2-2BQCQcosBQC=PB +PA -2PBPAcos135222=4a +a -22aa(-)2225 + 2 2a解得 BC=5 + 2 2a正方形的边长为精品文档 精品文档4、如图，ABC 中，ABCACB80，D、E 分别是 AB、AC
17、上的点，DCA30，EBA20，求BED 的度数解：在 AB 上取一点 F，使BCF=60，CF 交 BE 于 G，连接 EF、DGABC=80，ABE=20，EBC=60，又BCG=60BCG 是正三角形 BG=BCAACB=80，BCG=60FCA=20EBA=FCA又A=A，AB=ACABEACF AE=AF1AFE=AEF= （180-A）=802FE又ABC=80=AFEEFBCEFG=BCG=60EFG 是等边三角形EF=EG，FEG=EGF=EFG=60ACB=80，DCA=30BCD=50DGBDC=180-BCD-ABC=180-50-80=50BCD=BDCBC=BD 前已
18、证 BG=BCBD=BGBC1BGD=BDG= （180-ABE）=802FGD=180-BGD-EGF=180-80-60=40又DFG=180-AFE-EFG=180-80-60=40FGD=DFGDF=DG 又 EF=EG，DE=DEEFDEGD11BED=FED= FEG= 60=30225、如图，ABC 内接于O，且 AB 为O 的直径，ACB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作O 的切线 PD 交 CA 的延长线于点 P，过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F，若 AC=6，BC=8，求线段 PD 的长。解：ACD=BCD AD =BD AD=BDAB 为O 的直径 ADB=90ABD 是等腰直角三角形ACB=90，AC=6，BC=8 AB=1022=5AD=ABcosDAB=10又 AECD，ACD=45222=3ACE 是等腰直角三角形 CE=AE=ACcosCAE=62精品文档 精品文档（5 2） -（3 2） = 324 2在ADE 中，DE2=AD2-AE2 DE2=22DE=2 4 2 7 2=CD=CE+DE=3+PD PA AD 5 2 5=PC PD CD=PDA=PCD，P=P PDAPCD 7 2 77575354PC= PD，PA= PD PC=PA+AC PD= PD+6解得 PD=5757精品文档