《求极限若干方法.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求极限若干方法.doc（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高等数学中求极限问题的题型与方法摘要：本文总结了一套专门解决江苏省专转本高等数学考试中涉及极限类型问题的方法，方法的关键是分析题目中函数的极限类型。关键词：极限；专转本；高等数学中图分类号：O13 文献标志码： 文章编号：0 引言求极限问题是江苏省专转本高等数学考试中的必考内容，并且分值逐年增加、能力要求也在提高，从近四年极限问题的分值表也可见它的重要性：年份2008年2009年2010年2011年分值12分16分30分30分以往的求极限的文章都是把极限的是十多种方法一一都罗列出来，这么多方法记忆起来比较麻烦，又容易混淆，导致学生得分率较低。笔者的方法是首先将极限问题进行分类，并将求每一类极限
2、问题的方法进行归纳总结。这样学生做题时只需找到该题的类型进而根据相应的方法使问题得到解答。这种方法学生比较容易接受，因为极限的基本类型就只有三种，方便记忆，学生做起来也不致于混淆出错。下面具体谈一谈极限基本类型及其处理的方法。1 极限的三种基本类型及方法。1.1.型所谓型是指分子、分母极限都为零的类型，因为分母极限为零，就不能使用极限四则法则中除法法则了，为了能够使用除法法则，即要求分母极限不为零，使分母极限不为零的方法有：约去分母中的趋零因式，具体操作方法有：a因式分解；b根式有理化；c等价无穷小的替换。使用罗必达法则，共四种方法。首先我们来看一个求解未知数的问题：例1已知，求。 （2009
3、年试题）解：这种求极限中未知数的题型是常考的，遇到这种题目时，首先分析极限类型，分母极限为零，函数极限要存在，分子极限也必须为零，即 ， 则。然后分析该题是型，型对应的方法只有四种，我们一一排查，题目中含有a，b两个未知数，不可以因式分解，分式中不含根式，不可以根式有理化，而且分子中没有与等价无穷小相接近的公式，所以只能使用罗必达法则求极限：。 所以， 。下面我们再来看一个抽象函数的问题： 例2 已知，则 。 （2007年试题）解：这种含抽象函数的题型在考试中也是较常见的，虽然函数没有具体解析式，但是用先分析函数极限类型来解决也不难，分母极限为零，函数极限要存在，分子极限也应为零，则是型极限，
4、下面一一排查四种方法，由于抽象函数不知道解析式，所以因式分解、根式有理化都不可以使用，而该题分子与等价无穷小公式比较接近，则尝试用等价无穷小的替换来解决：当是无穷小，当与是等价无穷小，即，令 ，当，下面是常见的型直接求极限的问题：例3 求极限 （2011年试题）解：该题看上去比较复杂，似乎无从下手，但是只要先分析极限类型，为型，然后排查适合的方法也就比较容易解决了。首先不可以使用因式分解，其次函数中不含有根式，也不可以使用根式有理化，而分母与等价无穷小公式较接近，则分母使用等价无穷小的替换，分子用罗必达法则比较方便。该题与2009年试题中的第17题求极限 相比，这两题用的方法是一样的，但是20
5、11年的题目比2009年的稍微要难一些了。 1.2.型所谓型是指分子、分母都趋向于无穷大的类型，因为分母极限不存在，所以也不能使用除法法则，为了能够使用除法法则，要让分母极限存在，使用的方法是1：同除以分母的最高次幂，若不能使用则使用2：罗必达法则。虽然这种类型专转本中没有直接出现，但是间接出现了，如：该幂指函数的底的极限为：，使用了同除以分母最高次幂的方法。1.3.型所谓型是底的极限为1，而指数趋向于无穷大的类型，是专门针对幂指函数的。使用的方法是1：使用公式，（是关于变量的一个解析式）若不能，则 使用2：对该函数先取以为底对数，再取以为底指数，然后化为前面的两种基本类型来做。下面是常见的型
6、直接求极限的问题：例5 求极限 。 （2010年试题）解：这种直接求极限的类型也常考，首先分析题目类型是型，则使用公式，然后来找公式中的，这样也不难解决。 注：其中是公式中的。下面是关于求未知数的问题：例6 已知则 。 （2009年试题）解：虽然题目中含有未知数，但是首先还是分析题目类型是型，该题“1”比较容易找到，则使用公式，然后来找公式中的。 。注：其中是公式中的。1.4.其他的类型综合题比如等等类型，都是综合了前面的三种基本类型来做的。例7 求极限 。 （2010年试题）解：分析该题是型，用通分方法将题目化为型来做，然后结合等价无穷小的替换与罗必达法则来求解该题。=。注：连续使用了两次罗必达法则。2. 结语。 本文总结了一套专门解决江苏省专转本高等数学考试中涉及极限问题的方法。求极限问题方法较多，学生经常会混淆方法，以致出错，笔者提出在教学中应首先和学生对题型进行分析，然后再比较使用相应的方法。笔者把以上分析极限题目的类型、方法总结成一张表如下（其中画*是近几年极限中用的较多的方法）：2、1、1、同除以分母最高次幂2、罗必达法则2、根式有理化 （含有根式）3、等价无穷小替换（熟记有哪些等价无穷小）*4、罗必达法则*1、因式分解 （分子分母容易因式分解）3、4、其他2、取对数再取指数1、公式（函数中底能找到数1）* 用通分等方法转化为上面的基本类型来做。求极限的类型