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1、第十三章 结构的动力计算13. 1 动力计算概述一、结构动力计算的特点1、内容：（1）研究动力荷载作用下，结构的内力、位移等计算原理和计算方法。求出它们的最大值并作为结构设计的依据。（2）研究单自由度及多自由度的自由振动、强迫振动。2、静荷载和动荷载（1）静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板自重）。（2）动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑惯性力（与影响线不同）。3、特点（1）必须考虑惯性力。（2）内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯性力。依达朗伯原理，加惯性力后，将动力问题转化为静力问题。（3）分析自由振动即求自振频率、振型、阻尼参数等是求强迫振动动力反应的前提和准备。二、动
2、力荷载的种类 1简谐性周期荷载2冲击荷载3碰撞荷载4突加荷载5随机荷载三、动力计算的自由度1、基本未知量：以质点位移作为基本未知量。结构上全部质点有几个独立的位移，就有几个独立的未知量。2、自由度：结构运动时，确定全部质点位置所需要的独立几何参变量的数目（与几何组成自由度不同）。3、有关自由度的几点说明： （1）基本未知量数目与自由度数目是一致的。前者强调独立位移数目，后者强调独立坐标数目。具有分布质量的简支梁，有无限自由度对梁和刚架 （1）略去轴向变形 （2）略去惯性力矩 只有一个自由度质点y（2）与几何组成分析中的自由度不同。（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布的质量集中为几个质点研究
3、。（4）并非一个质量集中点一个自由度（分析下例）。（5）结构的自由度与是否超静定无关。（6）可用加链杆的方法确定自由度2个自由度 2个自由度 4个自由度静定结构3次超静定结构6次超静定结构13. 2 单自由度体系的自由振动一、研究单自由度体系振动的重要性 1、是工程上一些实际结构的简化。2、是研究复杂动力计算的基础。二、单自由度体系振动的简化模型 1、弹簧刚度系数（k11）： 使弹簧伸长或压缩单位长度所需之力。2、弹簧柔度系数（d11）: 在单位力作用下，弹簧的伸长或压缩量。三、单自由度体系运动方程的建立1、达朗伯原理是建立运动方程所依据的基本原理。2、列动力平衡方程取物块为隔离体,其上共作用
4、五个力mk11cy0ysydS(t)WI(t)D(t)P(t) 以弹簧为研究对象,分析它与物块联结点处的位移。3、列位移方程S(t)WI(t)D(t)P(t)y0S(t)即:任意时刻的位移:四、无阻尼自由振动1、特点 (1)无能量耗散,振动一经开始永不休止：ywtc2pfc fw (2)无振动荷载：2、运动方程及其解的形式fcc2c1令 则其解令 则：3、几个术语（1）周期：振动一次所需的时间。（2）工程频率：每秒钟内完成的振动次数。（3）频率（圆频率）：旋转向量的角速度，即体系在2p秒内的振动次数。自由振动时的圆频率称为“自振频率”。频率定义式： 自振频率是体系本身的固有属性，与体系的刚度、
5、质量有关，与激发振动的外部因素无关。频率计算式：周期计算式：4、微分方程中各常数由初始条件确定 于是：fcc2c1式中：5、分析例题13-1、12-2（P83） 二、有阻尼的自由振动1、振动方程及其解令：则：特征方程：特征根：（1）1，小阻尼情况（一对共轭复根）设 称为“有阻尼振动的圆频率”相应地 称为“有阻尼振动的自振周期”于是运动方程的解可写为：ywrt2p结论：振幅按负指数函数衰减的简谐振动。（2）1，大阻尼情况特征根 （两个不等的负实根）通解令则或结论：上式中不含简谐振动因子，阻尼使能量耗尽，故不振动。 ytoyto大阻尼情况下的振动曲线：（3）=1，临界阻尼情况特征根 （两个相同的实
6、根）通解结论：由振动过渡到非振动的临界状态。 2、阻尼系数的确定ykyk+1tktyO实际结构属于小阻尼衰减性振动。通常以阻尼比作为基本参数。（1）阻尼比的概念临界状态时，令根据定义故阻尼系数（2）阻尼比的确定小阻尼振动的解因为一般很小，=0.010.1依上式可绘出小阻尼自由振动位移时间关系曲线于是：（3）阻尼系数的确定根据实测两个相邻振幅来计算阻尼比，进而求阻尼系数。实测中为了提高精度，通常取相邻n个周期的两个振幅yk和yk+n，然后按下式计算阻尼比： ym=1000tPEI=例133 图示门式刚架作水平自由振动。设t=0时， ，测得周期Tr=1.5s，设振动一周后横梁的侧移，试求刚架的阻尼
7、系数及振动10周后的振幅。解：（1）数递减率：（2）阻尼比：（3）自振频率：（4）阻尼系数为：（5）振动10周后的振幅： 133 单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动一、有阻尼的强迫振动（简谐荷载）振动微分方程为：或： 齐次解： 特解： 将特解及其二阶导数代入运动方程，可确定A1、A2两常数： （b）全解： 分析上式：由于阻尼的作用，按频率r振动的部分由于含有因子，因此随着时间的增长逐渐衰减最后消失。而后一部分是特解描述的，不随时间衰减而按荷载频率进行的振动，称为纯强迫振动或称为稳态强迫振动。令 则特解可写成单项形式： 式中 A为考虑阻尼时纯强迫振动的振幅： 是位移与荷载之间的相位差： 二、
8、动位移幅值的计算运动方程达到稳态时运动方程的解为1、考虑阻尼 利用运动方程的解可改写为：动位移幅值为：mD称为“动力系数”或“放大系数”2、不考虑阻尼时动位移幅值的计算（=0）放大系数：动位移幅值：3、共振时动位移幅值的计算（q=）放大系数：动位移幅值：4、影响动位移幅值大小的因素（p90,图13-15）（1）情况：动荷载可以作为静荷载来计算。（2）情况：而。与阻尼无关，结构可视为静止。（3）情况：共振，应避免。由于阻尼的存在，振幅不会无限大。tanf=0,且为正值tanff0p/2ptanf=0,且为负值5、位移和振动荷载之间的相位关系（p91,图13-16）（1）当不计阻尼（V=0）时（a
9、）当q/w1 时: =0，A与P同相位；（b）当q/w1 时:=p， A与P反相位。（2）当考虑阻尼时（a）当q/w1时-0 p /2 ；A与P有相位差；（b）当q/w1时- p /2 p， A与P有相位差；（c）当q/w=1时- = p/2， A与P相位差为p/2 。三、动内力幅值的计算1、一般方法由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值时，内力也应达到幅值（不计阻尼时，由于qw，位移与动荷载同相位）。m将惯性力幅值和干扰力幅值同时加在体系上，而后按静力学方法求解，即可求得反力和内力的幅值。2、比例算法当动力荷载与惯性力共线时，由于结构的位移与外力成正比，位移、内力同时达到幅值，故可
10、以按比例计算。m P=1时， 位移为 d11 P=x时， 位移为 mDAs=mD d11 P四、计算动位移幅值、动内力幅值时应注意的问题1、纯强迫振动的振幅可由干扰力振幅P所引起的静位移AS放大m倍而得到。 2、当结构的刚度系数易求时，动位移幅值可按下式计算：3、若荷载直接作用在质点上，动位移幅值按下式计算若荷载不直接作用在质点上，则应以-Rip 代替P，或以Dip代替Pd11。mmm4、当动力荷载与惯性力共线时，m 既是动位移放大系数，也是各截面动内力和动位移的放大系数。五、讲解例题1、例134 （p92）2、例135 （P94）13.4 单自由度体系在任意荷载作用下的强迫振动一、瞬时冲量引
11、起的动力反应 1、冲量定理质点的动量在任意段时间内的增量，等于作用于质点的力在同一段时间内的冲量（质点的动量定理）。 2、冲量结束时，质点的速度和位移（1）有阻尼自由振动：（2）冲量结束时，质点的速度和位移由动量定理：取Dt时间内的平均速度与Dt相乘，得冲量结束时的位移：3、瞬时冲量引起的动力反应二、任意荷载引起的动力反应13.5 多自由度体系的自由振动一、两个自由度体系的自由振动1、运动方程的建立（1）列位移方程（柔度法）：将惯性力 代入上式并整理，得：（2）列动力平衡方程（刚度法）：2、运动方程的求解和频率方程（柔度系数易求情况）：设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：将方程
12、的特解及其二阶导数代入频率方程，化简后得：令该齐次方程组系数行列式等于零，可得频率方程：将该齐次方程组系数行列式展开：解方程，可得两个自振频率：3、运动方程的求解和频率方程（刚度系数易求情况）：设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：将方程的特解及其二阶导数代入原方程，化简后得：4、特定初始条件下的简谐振动主振型(1)柔度系数易求时:当w=w1时：代入运动方程：得：当w=w2时，得：(2)刚度系数易求时:当w=w1时：当w=w2时：5、任意初始条件下，体系的自由振动振动在一般条件下，质点的位移是由不同频率的简谐分量叠加而成，不再是简谐振动。例题：求图示体系的自振频率和主振型。解：（
13、1）求频率（2）求振型分析例题13-6（P101）、13-18（P105）二、多自由度体系的自由振动 1、运动方程的建立（1）列位移方程（柔度法）：移项后，写成矩阵的形式：（2）列动力平衡方程方程（刚度法）：移项后，写成矩阵的形式： 2、运动方程的求解和频率方程（柔度系数易求情况）：设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：将方程的特解及其二阶导数代入运动方程，化简后得：令该齐次方程组系数行列式等于零，可得频率方程： 3、运动方程的求解和频率方程（刚度系数易求情况）：设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：将方程的特解及其二阶导数代入运动方程，化简后得：令该齐次方程组系数
14、行列式等于零，可得频率方程： 4、振型矩阵的概念例139 三层刚架。质量、侧移刚度如图所示。略去横梁变形。试求该刚架的自振频率和主振型。设横梁变形略去不计。m3=180tk1=245MN/m1m2=270tm1=315tk2=196MN/mk3=98MN/m1k33=98MN/mk23=98MN/mk13=0k32=98MN/mk21=196MN/m11k22=294MN/mk12=196MN/mk31=011k11=441MN/m解：（1）求自振频率；令： （2）求主振型例1310 图示为一对称刚架，设横梁的弯曲刚度无穷大，两柱的弯曲刚度为EI=6.0MN.m2，横梁的总质量为1600kg，
15、两柱中点处的集中质量为m=300kg，求刚架的自振频率和主振型。解：正对称形式的自由振动m6mmEI=y3m1600kgmy13mmy2正对称图0.625m10.75m图12m4m2m2m1图， （2）反对称形式的自由振动0.69411-3.845113.6 多自由度体系主振型的正交性一、定义 所谓主振型的正交性是指不同频率相应的主振型之间存在着相互正交的性质。Xj(1)Xj(2)Xj(n)二、证明：Xi(1)Xi(2)Xi(n)振型正交性应用： （1）简化多自由度体系的动力计算； （2）检验所得主振型是否正确。分析：例1312 （P117）13.7 多自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动一、
16、运动方程的建立1、列位移方程（柔度法）：移项后，写成矩阵的形式：2、列动力平衡方程方程（刚度法）：移项后，写成矩阵的形式：二、简谐荷载作用下的强迫振动1、运动方程2、动位移幅值的计算设达到稳态后，各质点按干扰力频率作简谐振动：柔度系数易求时，将式（3）代入式（1），并化简： （13-153）刚度系数易求时，将式（3）代入式（2），并化简： （13-142）3、两个自由度体系动内力幅值计算（无阻尼）（1）柔度系数易求（13-147）（2）刚度系数易求 （13-133）4、动内力幅值计算（无阻尼）将惯性力幅值和动荷载幅值同时加在体系上，而后按静力方法计算即可。5、注意点（1）由于强迫振动的动荷载为
17、已知（幅值和频率），故可直接求出动位移幅值A1、A2 。（2）在简谐荷载作用下，体系达到稳态后，两质点也都作简谐振动，其频率与干扰力频率相同。（3）干扰力频率与振幅的关系： a)当0时；动力作用很小，动位移幅值相当于将干扰力幅值当作静荷载所产生的位移。 b)当时；A1 0， A2 0。c)当1 或2时；产生共振，A1 ， A2 。(4)当不计阻尼时，位移与惯性力随干扰力作同样变化，并同时达到幅值。与位移相应的惯性力幅值为：例题13-13： 三层刚架。质量、侧移刚度及动荷载如图所示，p(t)=100sinqt kN。每分钟振动200次。略去横梁变形。试求该刚架各层振幅值及各层柱的剪力幅值。解：（
18、一）求各楼层的振幅：（二）求动内力值：44.5947.61617.492位移（cm.)动M图（kN.m)分析例题3-14（P22）第八节 多自由度体系在一般动力荷载作用下的强迫振动一、正则坐标1、正则坐标应满足的条件(1)以质点位移作为坐标（几何坐标）建立的运动方程，必须联立求解。(2)以正则坐标代替几何坐标，可将联立方程变为若干个独立方程求解。(3)正则坐标的建立2、正则坐标的几何意义a)体系的实际位移可以看作是由固有振型乘以对应的组合系数v1、v2之后叠加而成。j1(1)j2(2)j2(1)j2(2)b)组合系数v1、v2称为“正则坐标”。上述作法相当于将实际位移按振型分解，固称“振型分解
19、法”；反之，“振型叠加法”。c)对n个自自由度体系，有：二、按振型叠加法计算强迫振动1、正则坐标方程的推导2、正则坐标微分方程的解3、振型叠加法解题步骤（1） 计算或k ,求频率：（2） 求规准化振型矩阵f：（3）计算广义质量、广义荷载：（4）代入正则坐标微分方程，求正则坐标（5）由正则坐标求几何坐标（6）计算其它动力反应第 十二节 能量法计算自振频率一、集中质量法将体系的分布质量集中于若干点上，根据静力等效的原则，使集中后的质点重力与原来的分布质量的重力互为静力等效（合力相等）；最终使多自由度体系的振动问题简化为有限自由度振动问题。二、能量法求第一频率瑞利法1、能量准则根据能量守恒和转化定律，当体系作自由振动时，在不考虑阻尼的情况下，体系既无能量输入，也无能量耗散，因而在任一时刻，体系的动能与势能之和为一常量，即设某体系以频率w作自由振动，分别考察其达到振幅位置和静平衡位置时刻的总能量之和，有利用上式即可确定自振频率。此法称为“瑞雷法”。2、用能量法计算自振频率yxyx依式（13-199），有：