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1、1.4 行列式的性质一、行列式的性质转置行列式的定义:设 称为行列式D的转置行列式。性质1：行列式与它的转置行列式相等，即。证明：记的转置行列式按定义，又因为行列式D可表示为：，所以。注：行列式的等价定义与性质1告诉我们行列式的行和列具有同等的地位，所以后面对行成立的性质对列也一样成立。性质2：互换行列式的两行(列)， 行列式变号。证明用行列式定义考虑两行列式的对应项的符号即可，略。例如： 推论1：如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式等于零。性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k，等于用数 k 乘此行列式。证明直接用定义即可，略。 推论2：行列式的某一行（列）中所有元素
2、的公因子可以提到行列式符号的外面。性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。证明：由性质3以及推论1可得： =0性质5：若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如，则。证明直接用定义即可，略。性质6：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行 （列）对应的元素上去，行列式不变。证明由性质5及性质4可得，略。例如：二、行列式性质的应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。例1：计算五阶行列式解：例2：计算n阶行列式解：将第列都加到第1列得：三、小结1. 行列式的6个性质（行列式中行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立）。2. 计算行列式的常用方法：(1)利用定义 (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。4