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1、第二章 解析函数2.1 基本要求和内容提要2.1.1基本要求1. 正确理解复变函数可导与解析的概念，弄清可导与解析两概念之间的关系，弄清复变函数可导与其实部、虚部作为二元实函数可微之间的联系与差别.2. 能运用C-R条件判别给定函数的解析性.3. 熟练掌握解析函数的和、差、积、商、复合函数及反函数的求导公式.4. 要知道解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数或，求解析函数.5. 要记住自变量取复数值时初等函数的定义和它们的一些主要性质.2.1.2 内容提要解析函数是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用.1. 解析函数的概念（1） 复变函数的导数定义2.1 设函数的某
2、领域内有定义，是领域内任一点，如果存在有限的极限值，则称处可导，记作或，即 或 . 也称处的微分，故也称处可微.（2） 解析函数的概念与求导法则 定义2.2 如果处解析；如果在区域内每一点解析，则称在内解析，或说是内的解析函数；如果处不解析，则称为的奇点. 1导数的四则运算设和都是区域上的解析函数，则在上解析，且有 ， . 2 复合函数的求导法则 设函数在区域上解析，函数在区域内解析，又的表示函数值域，也就是区域的像），则复合函数在内解析，且有. 3 反函数的求导法则 设函数在区域内解析且，又反函数存在且连续，则 . (3) 函数解析的一个充分必要条件 定理2.1 函数处可导的充要条件是，处可
3、微，而且满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程（简称C-R方程）： ，. 当定理2.1的条件满足时，可按下列公式之一计算： . 注意，C-R条件只是函数可导的必要条件而并非充分条件. 如果考虑区域上的解析函数，由定理2.1就可以得到下面的结论. 定理2.2 函数在区域内解析（即在内可导）的充要条件是，在内处处可微，而且满足C-R方程. 推论 设在区域内有定义，如果在内的四个偏导数存在且连续，并且满足C-R方程，则在内解析.2. 解析函数和调和函数的关系（1） 调和函数的概念 定义2.3 如果二元实函数在区域内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯（Laplace）方程，则称为区域内的
4、调和函数，或说函数在区域内调和. 定理2.3 设函数在区域内解析，则的实部都是区域内的调和函数.（2） 共轭调和函数 定义2.4 设函数及均为区域内的调和函数，且满足C-R方程 则称是的共轭调和函数.显然，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数. 反过来，由具有共轭性质的两个调和函数构造一个复变函数是不是解析的？下面的定理回答了这个问题. 定理2.4 复变函数在区域内解析的充分必要条件是：在区域内，的虚部是实部的共轭调和函数. 根据这个定理，便可利用一个调和函数和它的共轭调和函数作出一个解析函数.（3） 解析函数和调和函数的关系 由于共轭调和函数的这种关系，如果知道了其中一个，则可根据C-R方程求
5、出另一个，通常有两种方法：偏积分法和线积分法.3. 初等函数指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数、幂函数、反三角函数以及反双曲函数.当初等实变函数推广到初等复变函数时，揭示出了许多重要性质. 如指数函数的周期性，对数函数的无穷多值性，正弦函数、余弦函数的无界性.2.2 典型例题与解题方法 例1 试讨论函数的可导性. 解一 用导数定义来讨论. .当点沿平行于实轴的方向而使时， ，当点沿平行于虚轴的方向而使时， .因此，当点沿不同方向而使时，的极限不同. 所以不存在. 而z是复平面上任意点，所以在复平面上处处不可导，自然也处处不解析.显然在复平面处处连续. 解二 用C-R条件来研究.设，则，所以
6、. 因，故函数在复平面上处处不可导.例2 讨论函数的可导性. 解 因为 .先令沿着平行于x轴的方向趋近于z（图2.1），此时，因而.再令沿着平行于y轴的方向趋近于z，此时，故极限，所以函数在复平面上处处可导. 例3 证明在复平面上不解析. 分析 一般证明函数在复平面处处不可导或不解析多用函数不满足C-R条件来证明. 证 （1）因，所以 . 由此可知，仅在点（0，0）处C-R条件成立，所以仅在点（0，0）处可导，而在整个复平面上不解析. （2）因，所以 所以只有当时，才有. 由此可见：在复平面上不解析. （3）因，所以 ， ， 因此，只有当时，才有， 可见在复平面上不解析.例4 证明在处解析，并
7、求导函数. 分析 这种类型的题目在证明了解析性之后，求导数只要求出沿x方向的导数 或沿y方向的导数即可，这是因为，可导意味着沿任何方向的导数都相等. 证 因为.所以.以上是四个偏导数在除去原点外的平面上连续，所以除外可微，且满足C-R条件，因此除外解析.例5 下列函数在复平面上何处可导？何处解析？ （1）； （2）. 解 （1） . 所以 .对于，处处不满足C-R条件（z=0时函数无定义），所以函数处处不可导，从而处处不解析.（2） . 这四个偏导数处处连续，所以处处可微.要C-R条件成立,必须满足，从而.所以仅在直线上可导，而在复平面上处处不解析.例6 求证函数在满足C-R条件，但它在处没有
8、导数. 证 . ， ，且，所以在（0，0）满足C-R条件. 但是 所以，处不可导. 注：此题说明C-R条件是可导的必要条件，而非充分条件.例7 函数是不是解析函数？并求其导数. 解 . 均连续.要满足C-R条件，必须要成立.即仅当和时才成立，所以不是解析函数.，.例9 设在区域D内解析，试证明在D内下列条件是彼此等价的（即互为充要条件）：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）. 证 按的顺序证明. 显然，. 设.因为在D内解析，对任意， .于是对任意，有.所以（常数），即常数. 设（常数）. 即，因为在D内解析，所以 ，因此，即（常数）. 若，因为在D内解析，所以 ，. 即 .
9、因此，在D内解析. 设在D内解析，由C-R条件， . （1） 又因为在D内解析，所以 . （2） 由（1）、（2）得，所以，因此. 由（1），因此. 所以 =常数. 设，所以在D内，. 若，则，结论成立. 若，将的两边分别对求偏导数，得， （3） . （4） 由于在D内解析，故有. 代入（4）式，得 . （5） 联立（3）、（5）解方程组，因为 ， 所以方程组有唯一解 ，由此立即可得 ，所以(都是常数). 即 .例10 证明在上半平面解析的充要条件是在下半平面解析. 分析 由上例知，当和都解析时，必为常数. 故当不是常数时，和不可能同时解析. 但本例却指出：当解析时，不论是否为常数，必解析；反
10、过来也成立. 证 设，则.先证必要性.因为解析，故有，因此 ， . 两式表明的实部与虚部满足C-R条件，又显然可微，所以在下半平面可微. 再证充分性.若已知在下半平面解析，则由必要性中推出之等式，必于上半平面解析，亦即于上半平面解析.例11 设是关于实轴对称的区域，证明函数与在内是同时解析的. 分析 由于区域关于实轴对称，则.我们可分别利用函数解析的充要条件与定义给出两种证明. 证一 设，则， 在内解析在内可微，且 . 记，则 不难推知，当在内解析时，在内可微且 即在内解析.反之亦然. 证二 令，则 . 若在点可导，则由上式可知在点可导并且. 反之，若在点可导，则在点可导.再利用解析函数的定义
11、可知与在内是同时解析的. 例12 试求下列函数值：（1）；（2）. 解一 （1） . （2） . 解二 .例13试求下列函数值及其主值：（1） ；（2）. 解（1） （2） 令，得主值 . 注意：在微积分中所见到的初等函数都有相应的复形式，并且在复形式下这些函数之间的关系更为清楚统一，但是实的初等函数的某些性质在复形式下时不再成立.例如上例中，负数也有对数，还有可以取负值，正弦、余弦函数不再是有界的，等等.这些地方我们应加以注意. 例14 求的值及其主值. 解 当时，主值为. 例15 解下列方程：（1）；（2）；（3）. 解（1）由于 ， 所以方程等价于或. 再由可知 . 故方程的解为. （2
12、）方程等价于，它的根为.故方程的解为（3）由双曲正切函数的定义 ， 于是方程等价于.两边平方并令，可知 ， 则推出 因，所以 ，其中. 故方程的解为满足 的所有复数z. 例16 已知都是区域内的调和函数，试证明也是区域内的调和函数，其中为常数. 证 如果令，那么 ， ， ， 由于与是内的调和函数，则与的二阶偏导数在内均连续，且有.从而在内也连续，且有， 因此，即是区域内的调和函数. 例26 试证：是在不包含原点的复平面所成的区域内的调和函数；并求一个以为实部的解析函数. 证 先证明是调和函数. 显然，当时，的二阶偏导数均连续，且满足Laplace方程，所以在不包含原点的复平面所成的区域内是调和
13、函数. 下面来求一个解析函数. 解一（用偏积分法） 因为，所以， 从而 . 由此得 ， 故 . 因此 ，而 . 解二（用线积分法）取为，积分路线如图2.4，就有 .以下做法与解一同. 注：上面求的方法，理论上只适于的情形（否则在积分过程中要取得零值，而这时被积函数无意义）.但可以直接验证所求得的（在除去原点所得区域内）符合题中要求.最后再指出一点：既然任给一个调和函数，我们一定能够找到一个以为实部或虚部的解析函数，而解析函数实部与虚部的任意阶偏导数是调和函数.因此，的任意阶偏导数也是调和函数.换句话说，调和函数的任意阶偏导数仍然是调和函数. 例27 已知在复平面上解析. 解 因 因此 . 从而
14、是全平面上的调和函数. 方法一 取，则 . 方法二 由C-R条件， 所以 . 方法三 因为，两边对x积分，得，两边对y求导，得.但故.于是 . 它在复平面上解析.例28 已知，求以为虚部的解析函数. 解 显然，是调和函数.由C-R条件， .由第一式得：，代入第二式，则有于是.因此 ， .例29 已知调和函数，求其共轭调和函数及解析函数. 解一（偏积分法） 利用C-R方程，所以 . 有 . 又 比较两式可得：，有.因此 .因而得到解析函数 . 解二（线积分法） 因为 ,所以 ， 于是由图2.5， （为任意常数），从而可得解析函数 . 例30 已知，试确定解析函数 解 因为 且，所以上面两式分别相加减，可得 ， （1） . （2）由（1）式得.代入（2）式，得 ，可推出（实常数）.因此 ， ，所确定的解析函数为 .