《高中数学提高拓展题专题7.31：卡西尼卵形线的研究与拓展.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学提高拓展题专题7.31：卡西尼卵形线的研究与拓展.docx（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 专题 7.31：卡西尼卵形线的研究与拓展【探究拓展】(-1,0) F (1,0)探究 1：曲线 C 是平面内与两个定点F和的距离的积等于常12数 a2(a 1)的点的轨迹.给出下列三个结论： 曲线 C 过坐标原点； 曲线 C 关于坐标原点对称；1DF PFa2 若点 P 在曲线 C 上，则的面积不大于212其中正确命题的序号为_背景展示 在数学史上，到两个顶点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹成为卡西尼卵形线（CassiniOval），乔凡尼多美尼科卡西尼是一位意大利出生的法国籍天文学家和水利工程师，他是第一个发现土星的四个卫星的人.1675 年，他发现土星光环中间有条暗缝，这就后来以他
2、名字命名的卡西尼环缝.他猜测，光环是由无数小颗粒构成，两个多世纪后的分光观测证实了他的猜测。为了纪念卡西尼对土星研究的贡献，当代人类探测土星的探测器“卡西尼号”即以他的名字命名.卡西尼卵形线是 1675 年他在研究土星及其卫星的运行规律时发现的., F= 2= ( 0且为定值)探究 2：设两定点为 F，且 FF，动 点 满足 PF PF a2 aP,取直线 F F 作为121 2121 2(x, y)，则xF F1轴，的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，设Py2(x +1) + y (x -1) + y = a22222(x + y ) - 2(x - y ) = a -1整理得：解得：22
3、 2222y2= (-x -1)+ 4x + a222 （1- a x 1+ a）2= (-x -1)+ 4x + a1- a x 1+ a）于是曲线C 的方程可化为 y2 （2222 0对于常数a,可讨论如下六种情况：= 0F ；(-1,0), (1,0)（1）当a（2）当0 a 1时，图像变为两个点 F12,F F 收缩；a时，图像分为两支封闭曲线，随着 的减小而分别向点12（3）当a=1时，图像成 8 字形自相交叉，称为双纽线；（4）当1 a 2（6）当a时，曲线中部凸起。变式 1：若将“两定点”之一变为“定直线”，那么距离之比为定值的动点轨迹是什么？变式 2：若将“两定点”之一变为“定
4、直线”，那么距离之和为定值的动点轨迹是什么？变式 3：到定点的距离与到定直线的距离的k 倍之和为定值的定点轨迹是什么？变式 4：到定点的距离与到定直线的距离之差（的绝对值）为定值的定点轨迹是什么？变式 5：到定点的距离与到定直线的距离之积为定值的定点轨迹是什么？拓展 1：在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到点 F（3,0）的距离的 4 倍与它到直线x=2 的距离的 3 倍之和记为 d，当 P 点运动时，d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和（1）求点 P 的轨迹 C；（2）设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M，N 两点，求线段 MN 长度的最大值。= 4 (x - 3) - y
5、 +3x-2解：（1）设点 P 的坐标为（x，y），则 d221(x - 3) + y = 6 - x,由题设 当 x2 时，由得222x2 y2+=1.化简得36 27 2(3+ ) +2y x= 3+ ,当 x时 由得x2化简得 y2 =12xxy22C : + =1故点 P 的轨迹C 是椭圆在直线 x=2 的右侧部 分 与36 271: y =12x抛物线C在直线 x=2 的左侧部分（包括它与直线 x=222的交点）所组成的曲线，参见图 1 2 6 ），B（2，-2 6（2）如图 2 所示，易知直线 x=2 与C ，C 的交点都是 A（2，），直线 AF，BF 的12-2 6 k 2 6
6、.斜率分别为k =AF，=BF1= 6 - x当点 P 在C 上时，由知 PF.21= 3+ x当点 P 在C 上时，由知 PF2= k(x - 3)若直线 l 的斜率 k 存在，则直线 l 的方程为 y6（i）当 k k ，或 k k ，即 k-2时，直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M（ x ， y ），N（ x ， y ）AFBF1122都在 C 上，此时由知1112MF= 6 -x1NF= 6 -x22121212从而MN= MF+ NF= （6 -x ）+ （6 -1x ）=12 -( x + x )122y = k(x -3)(3+ 4k )x - 24k x + 36k -108
7、 = 0x1y1由 得2222则，是 这 个 方 程 的 两 根 ， 所 以x2y2+ =136 2724k1212k22x + x =*MN=12 -（ x + x ）=12 -3+ 4k3+ 4k121222 2 6,或k 2 6时,k2 24,因为当 k12k12100112MN =12 -=12 -=.当且仅当k = 2 6 时，等号成立。13+ 4k2+ 4k2 k k ,-2 6 k 2 6AN（2）当k时，直线 L 与轨迹 C 的两个交点AEM (x , y ), N(x , y ) 分别在C ,C 上，不妨设点 在C 上，点C 上，则知，M112212121MF = 6 - x
8、 , NF = 3+ x212(x , y ),则x x , x 2.设直线 AF 与椭圆C 的另一交点为 E10001211MF = 6 - x 6 - x = EF , NF = 3+ x 3+ 2 = AF22102= MF + NF EF + AF = AE所以 MN。而点 A，E 都在C 上，且1100100k = -2 6,有（1）知 AEAE,所以 MN =1111 11001112 - (x + x ) = 9 i若直线 的斜率不存在，则x = x =3=，此时 MN21212100综上所述，线段 MN 长度的最大值为11拓展 2：已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离
9、与点 到 y 轴的距离的差等于 1P（1）求动点 的轨迹C 的方程；P,ll,l（2）过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l ，设 与轨迹C 相交于点 A B ， 与1212, E轨迹C 相交于点 D ，求AD, EB的最小值.解：（1）设动点 P 的坐标为(x, y)，(x -1) + y - | x |=1.由题意为22= 2x + 2 | x |,化简得 y2 0时, y = 4x;当x 0时,y=0.、当 x2, y = 4x(x 0)和y=0(x 0).所以动点 P 的轨迹 C 的方程为2（2）由题意知，直线l 的斜率存在且不为 0，设为k ，则l 的方程为 y= k(x -1)
10、11y = k(x -1)由 ，得kx- (2k + 4)x + k = 0.2222 y2 =4x(x , y ), B(x , y ), x , x设 A则是上述方程的两个实根，于是1122124x + x =2 + , x x =112k2121 ll-，所以 的斜率为因为l122k(x , y ), B(x , y ),x + x = 2 + 4k , x x =1设 D则同理可得23344343 4故= x x + (x + x ) +1+ x x + (x + x ) +11 2123434 1= 1时， AD EB 取最小值 16=当且仅当k即 k2k2【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？