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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学（文科）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,，则 2. 复数的模长为 3.已知点，则与向量同方向的单位向量为 4.下列关于公差的等差数列的四个命题：数列是递增数列 数列是递增数列数列是递增数列 数列是递增数列其中真命题是 5.某班全体学生参加英语测试，成绩分布的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，。若低于60分的人数是15，则该班级学生人数是 6.在中，内角所对的边分别为,若，且，则 7.已知函数，则 8.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出 9.已
2、知点，若为直角三角形，则必有 10.已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若,，,则球的半径为 11. 已知椭圆的左焦点，与过原点的直线相交于两点，连结，若，则的离心率为 12. 已知函数满足，。设，（表示中的较大值，表示中的较小值），记的最小值为，的最大值为，则 第卷二、填空题13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 。14.已知等比数列是递增数列，是的前项和，若是方程的两个根，则= 。15.已知为双曲线的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为 16.为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本
3、平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 。三、解答题17.设向量，。（1）若，求的值；（2）设函数，求的最大值。18.如图，是圆的直径，圆所在的平面，是圆上的点。（1）求证：平面；（2）若为的中点，为的重心，求证：平面PABOCGQ19.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答。（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率。20.如图，抛物线，点在抛物线上，过作的切线，切点为（为原点时，重合于）。当时，切线的歇斜率为。（1）求的值；（2）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程（重合于时，中点为）。21.（1）证明：当
4、时，；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围。22.（选修几何证明选讲）如图，为的直径，直线与相切于，垂直于，垂直于，垂直于于，连接，证明：（1）；（2）ABCDEFO23.（选修4-4极坐标与参数方程）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆，直线的极坐标方程分别为，。（1） 求与交点的极坐标；（2） 设为的圆心，为与交点连线的中点，已知直线的参数方程为（为参数），求的值。24. （选修4-5不等式选讲）已知函数，其中（1） 当时，求不等式的解集；（2） 已知关于的不等式的解集，求的值。2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)参考答案一选择题1.【答案】B 【解析
5、】 由已知，所以，选B。2.【答案】B 【解析】由已知所以3.【答案】A【解析】，所以，这样同方向的单位向量是4.【答案】D【解析】设，所以正确；如果则满足已知，但并非递增所以错；如果若，则满足已知，但，是递减数列，所以错；，所以是递增数列，正确5.【答案】B 【解析】第一、第二小组的频率分别是、，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为，则，。6.【答案】A 【解析】边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以。7.【答案】D【解析】所以，因为，为相反数，所以所求值为2.8.【答案】A 【解析】的意义在于是对求和。因为，同时注意，所以所求和为=9.【答案】C 【解析】若A为直角，则根据A、B
6、纵坐标相等，所以；若B为直角，则利用得，所以选C10.【答案】C【解析】由球心作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M。计算AM=，由垂径定理，OM=6，所以半径R=11.【答案】B 【解析】由余弦定理，AF=6，所以，又，所以12.【答案】C 【解析】顶点坐标为，顶点坐标，并且与的顶点都在对方的图象上，图象如图， A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以A-B=【方法技巧】（1）本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。（2）并不是A，B在同一个自变量取得。二填空题13. 【答案】 【解析】直观图是圆柱中去除正四棱柱。14. 【答案】63【解析】由递增，所以，代入等比求和公式得15. 【答案】
7、44【解析】两式相加，所以并利用双曲线的定义得，所以周长为16. 【答案】10 【解析】设五个班级的数据分别为。由平均数方差的公式得，显然各个括号为整数。设分别为，则。设=，由已知，由判别式得，所以，所以。三解答题 （17）【解析】 （I） . （II） （18）【解析】由AB是圆O的直径，得ACBC.由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC,又PAAC=A,PA平面PAC，AC平面PAC,所以BC平面PAC.（II） 连OG并延长交AC与M，链接QM，QO.由G为AOC的重心，得M为AC中点，由G为PA中点，得QM/PC.又O为AB中点，得OM/BC.因为QMMO=M,QM平面QMO.所
8、以QG/平面PBC. （19）【解析】 （I）将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道一类题依次编号为5.6，任取2道题，基本事件为：1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的. 用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个，所以 P（A）= （II）基本事件向（I），用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共8个，所以P(B)=. （
9、20）【解析】 （I）因为抛物线上任意一点（x,y）的切线斜率为，且切线MA的斜率为，所以A点坐标为，故切线MA的方程为 .因为点在切线MA 抛物线C上，于是 由得p=2.设N(x,y),A 切线MA、MB的方程为 由得MA、MB的交点M（）的坐标为 由得 当时，A、B重和于远点0，AB重点N为0，坐标满足因此AB中点N的轨迹方程为（21）【解析】记F（x）=（II）因为当时.(22)【解析】证明：（I）由直线CD与O相切，得CEBEAB,由AB为O的直径，得AEAB,得EAB+EBF=；又EFAB,故FEB=CEB.（II） （23）【解析】 (I) 圆C的直角坐标方程为 直线C的直角坐标方程为x+y-4=0. 解 所以交点的极坐标为，注：极坐标系下点的表示不唯一.（II）由（I）可得，P点与Q点的直角坐标分别为（0,2），（1,3）.故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=.所以 解得,(24)【解析】（I）当a=2时，当(II)记 于是a=3