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1、“平行四边形（三）”教学案例与评析使用教材：义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）九年级上册。教材分析：本节教材是“证明（三）”中研究平行四边形问题的第三课时，主要研究三角形的中位线定义及定理的得出和证明。本节知识在今后的证明、计算、作图中有着广泛的应用，是判断线段之间的数量关系、位置关系的重要工具。另外，在本节内容中还渗透有转化的数学思想，对进一步培养学生的逻辑思维能力有着很重要的作用。学生分析：对于九年级学生而言，已掌握有较多的基础知识，有着较高的数学思维品质和理论探究水平，但由于在长期的考试压力下，他们的动手实验、自主探索数学的兴趣却不是很浓。基于此，我激励学生多动手，在剪拼图形的过
2、程中，自我感知、发现三角形中位线的定义以及三角形中位线定理的证明方法，以此转变学生的学习方式及对数学的认识。教学目标：知识与能力：引导学生准确地建立三角形的中位线概念，掌握三角形的中位线定理，并能运用综合法证明它；能运用三角形的中位线定理进行简单的计算和证明，并解决一些实际应用问题。过程与方法：通过动手操作、观察、思考体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程，从中发展几何直觉，进一步发展推理论证的能力；体会在证明过程中所运用的归纳、转化等数学思想方法。情感态度与价值观：通过对三角形中位线定理的自主探究、猜想、验证，让学生获得亲自参与研究、探索的情感体验，增强学习数学的热情；感受证明的严谨性，体
3、会事物之间的内在联系；通过与人交流合作、解决问题的过程，使学生认识自我，建立自信，树立正确的价值观。教学重点、难点：重点是观察思考，了解三角形的中位线定义及定理；进一步发展学生的逻辑思维能力，促使学生能用综合法证明三角形的中位线定理。难点是准确、合理地找出证明方法有条理地对三角形的中位线定理予以证明。教学准备：剪刀、任意三角形纸片、刻度尺、量角器、多媒体。教学过程：一、创设情境，问题引入师：请同学们拿出准备好的任意三角形纸片，用剪刀在纸片上只剪一刀，将分成的两块拼出一个平行四边形。要求：同学之间可以交流合作，并请画出剪拼前后的示意图。生：分成学习小组，各组内部交流讨论，积极剪拼，画出示意图。说
4、明：创设操作探究环境，营造合作气氛，为学生提供自主探索的平台。教师请小组推举发言代表中的生1、生2两位同学到讲台上描述、演示剪拼方案。并根据学生演示情况，用电脑模拟演示一种剪拼操作全过程，生成图形如下：(学生们仔细聆听，以好奇的心态欣赏电脑演示全过程)说明：在实验操作中，演示保留各静态图形，为后面提出问题和解决问题作铺垫。师：若上图中剪下的位置，我们称为三角形的中位线，那么一个三角形有几条中位线？生3：三条。师：你能通过图形给出三角形的中位线定义吗？生3：三角形的中位线就是连接三角形两边中点的线段。师：很好，观察仔细，描述准确，请坐下。（扳书课题）说明：把下定义的任务让给学生，是为了对学生进行
5、抽象、概括能力的训练和培养，发展其直观感知能力。二、实验操作，探究发现师：通过大家的努力，我们明白了三角形的中位线定义，对它予以研究，我们还可以得出什么结论呢？（停顿片刻，意在激疑）现在，请大家回想前面的剪拼过程，并观察下图，试猜想中位线DE和第三边BC有什么关系？（提示：位置关系和数量关系）生4：DE/BC和DE说明：教师作为引导者，提出思考问题的方向，不全面“灌知”，符合新课标精神。师：这一猜想是否准确呢？请同学们用量角器和刻度尺进一步验证该结论。(学生们立即画图，投入到热烈的自主探索气氛之中。时过不久，学生陆续发言，肯定了生4的结论是正确的)说明：在得出猜想的基础上，用新的操作方法予以检
6、验，体现了“做数学”的思想。师：那么，谁能用一句话概括我们的发现呢？生5：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。（学生边回答，教师边板书，并刻意在命题前空下两格）说明：仍然把提炼教学内容的任务交给学生，学生回答不够精炼不要紧，教师可从旁指导，以培养学生的归纳、概括能力。三、发散思维，严谨证明师：我们通过实践操作检验了这一猜想的正确性，真是实践出真知呀，但我们不能时时处处都这样啊，你能对这一猜想加以证明吗？（请同学们独立思考）说明：有开有合，在此提出独立思考的要求，可发现不同学生的不同思维特点，并为得出不同的解法创造契机。(全体学生陷入沉思之中。其间，有的学生重新拼接，动手思索；有的学
7、生画出草图，皱眉苦思；有的学生面对多媒体演示图形，会心而悟几分钟后，学生开始窃窃私语）师：下面请同学们举手发言，说说你的想法。生6：首先，得写出已知，求证。师：哦，思考缜密，很好！请继续说。（师边说边补写出）说明：从教师的语气中可听出刚开始并没有意识到学生会这么答，可见，我们的学生多么聪明。生6：我由D、E分别是AB、AC的中点，想到，所以，而AD、AE与AB、AC分别所夹的角是同一个角，所以ADE与ABC相似，那么ADE与B就相等，DE与BC就平行了。另外，可得出所以DE师：太好了，你真聪明，能从中点条件产生比值，联想到在八年级学过的相似形知识，使问题得以解决。同学们，我们一起来为他鼓掌。（
8、一时间，掌声响遍教室，师生精神为之一振，生6也在掌声中自豪地坐了下去。）说明：教师对学生调用知识的思路作以简单剖析，并给予积极评价，使师生情感交融、和谐，体现了教师驾驶课堂的能力。师：同学们还有其它的证法吗？（语声刚落，已有学生应声举手）生7：我是这样想的，通过我们刚才剪拼图形的过程，我联想到作辅助线构造出平行四边形来解决，就像您用电脑演示的第三个图形那样。师：哦，是这样想的呀，好！说说理由。（边说边根据学生回答用鼠标点出如下图形）生7：过点C作AB的平行线CF与DE的延长线交于点F，则有FADE，又有CEFAED，AECE，所以CFEADE，那么CFAD、EFED，而ADBD，所以CFBD，
9、那么，四边形DBCF就是平行四边形，所以说DF与BC平行且相等，而DF2DE，所以证得DE/BC且DE师：同学们说正确吗？生：(兴奋的齐声回答)正确师：那好，我们也用掌声来感谢他为我们作的发言。说明：至此，已有两名学生口述了两种不同的证法，口语表达能力培养的意图很明显。师：下面请两位同学到讲台上把刚才两位同学的说理过程板书一遍，毛遂自荐者请上台。(学生踊跃举手。最后生8、生9上台板书，其他学生在演草纸上书写)(教师在巡视中，对学生书写中的问题予以指导纠正）说明：进行到这里，是让学生口述说理的自然延续，不仅培养学生严谨的思维，更要注意证明的严密性。师：在对两位同学的板书作以评讲后发言，同学们都较
10、好地掌握了这一猜想的证明。这就是我们此堂课所要学习的重点内容：三角形的中位线定理（在前面书写的命题前用红色粉笔补写出“定理”二字）。下面请大家自阅课本第81页的内容。说明：教师补写出前面刻意留下的两个字：“定理”，凸显内容主题，使得整堂课自然流畅。通过阅读，用课本中的证法，进一步规范学生的书写过程。四、辨析训练，巩固新知师：请同学们把书翻到第82页，思考解答下方的随堂练习题。（稍停后，学生回答）生8：因为在ABC中，M、N分别是AC、BC的中点，所以MN是ABC的中位线，那么，即AB2MN，所以当小明测出MN的长，就可以算出AB长了。说明：学以致用，解决较为简单的实际问题。师：回答正确，你真棒
11、！下面请同学们再把书翻到第80页，自己阅读此页上半部分。(学生默默阅读、思考)师：请问，图中的四个小三角形为什么全等呢？(学生积极发言，能准确回答)说明：灵活处理教材，使教材功用最大化。师：同学们回答的很好，下面再看一例（电脑显示）。例：如图，等腰三角形中ABAC6，BC4，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则四边形DECF是什么形状的图形？它的周长是多少？（学生沉思片刻后，踊跃发言）生9：四边形DECF是平行四边形，它的周长是10。五、指导应用，鼓励创新师：（打开几何画板软件边操作边口述，并显示题目）画任意四边形ABCD，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连接各中点，得到四边形EFG
12、H，不断运动A点，请猜想四边形EFGH是什么四边形？并证明你的猜想，与同伴进行交流。说明：运用先进的教学手段，实物动态化，很好地展现出数学结论的确定性。（学生积极思考，讨论分析）生10：四边形EFGH是平行四边形。连接AC后，我们就知道HG、EF分别是DAC和BAC的中位线，由刚学的知识就可得出HG/AC/EF，且HG，所以HG与EF平行且相等，那么四边形EFGH就是平行四边形了。（待口述完毕，教师用鼠标点出相应证明过程）师：你能学以致用，联想到连接四边形的对角线，把四边形问题转化为三角形问题加以研究、解决，真聪明。像这样，在我们研究四边形问题时，通过作辅助线，把其转化为三角形问题的方法，在今
13、后的学习中，运用还较多，请同学们细心体会这种思考问题的方法。说明：必要的学习指导是一堂优质、高效的课必不可少的环节。此处，教师清晰明了地提出了研究数学问题的常用思想和方法。教师用电脑显示上例变式题：在原例基础上，顺次连接四边形EFGH的各边中点，那么，所得四边形是什么形状的图形？如果再顺次连接所得四边形的各边中点，并像这样，无限连接下去，问所得四边形的形状会发生改变吗？生11：仍然是平行四边形；不会发生改变，还是平行四边形。说明：对原例加以拓展，并渗透了极限化的思想。六、品尝收获，自我评价师:这堂课中，同学们都能积极动手、勤于思考，回答问题清晰明白，这一切使老师很高兴，我相信大家一定会有很多收
14、获。现在请同学们回想一下，今天你学到了什么？又有何感受呢？说明：对同学们的表现作以积极评价，再让学生自主评价，体验收获的快乐。生：我认识了三角形的中位线，并知道了它平行于第三边，且等于第三边的一半；生6：我很自豪，我用了一种与课本证法不一样的方法证明了三角形的中位线定理；生：我认识到三角形的中位线定理在证明和计算中的作用很大；生：我觉得从实验操作的过程中可以寻找到解决问题的方法；生：我认识到读题时，如题中有中点条件，不只要联想到三角形的中线，还要想到三角形的中位线；生：我从同学们的发言中学到很多，希望老师能让我们多交流。说明：实现了不同的学生在数学上有不同的发展师：好，老师从大家的笑脸上体会到
15、大家的心情很高兴，只要我们积极思考，彼此多交流，你会觉得数学真是一门奇妙的学科，学起来真有意思。七、课后延伸，分类达标教师安排作业基础题：习题3.3中第3、4两题。开放题：请同学们根据所示图形，结合本节课所学习的内容或从前学过的数学知识，自己编一道数学题。给出解答过程并说明理由。（请不要按部就班的选用课本中的随堂练习题）说明：开放题是由课本变式出来的，问题解决方法多样化，同时也体现出数学从生活中来，又用到生活中去的新课程理念。教后反思：新教材和原来的教材相比有了很大的变化，教学此节内容，整体上我是按新课标中倡导的教学模式“问题情境建立模型解释、应用与拓展”展开的，并细化为七个教学环节，教学过后
16、，自我感觉效果是良好的。古人云：“教人未见其趣，必不乐学。”本节课的教学活动设计创设出剪纸拼图这一问题情景，融知识生成与解决途径于其中，体现了新课标的思想内涵。通过简单的操作活动引起学生的注意，使其“做中学，学中做”，突出了学生的主体地位。通过这节课，我认识到：教学中要注意基本概念的教学。数学中的概念简洁、抽象，如何让其形象化，使其生成过程显得自然，对学生把握它的本质很重要。这就要求教师要时时刻刻留心生活中的数学素材，尽可能多的将其引进课堂，这样可方便学生更好地掌握基本概念，为今后的学习打下坚实的基础。课堂教学中，要给予学生充足的动手操作、自主探索的时空。新课程要求教学以学生为主体，鼓励学生自
17、主学习，体验知识的形成过程，改变学生的学习方式，教师在中间是一个组织者、引导者与合作者。以前，一堂课讲下来成了教师的“一言堂”，学生是被动地接受式的学习，本节课中，我尝试着组织学生开展剪拼活动，从中提出问题，把时间大量的留给学生，引导他们去发现、猜想、验证，并适当地运用了接受式的学习方式，较顺利地完成了教学任务。这是贯彻课改新理念的有益尝试。教师要灵活地使用教材。教材是知识的载体，上面的具体素材，如知识发生背景、例题等都是可以改变的。本节课中，我将课本引例变换成一种剪拼活动，不仅要求学生动脑，还要动手，从中体验问题的提出和解决过程。对于“做一做”，我用“几何画板软件”予以呈现，更能体现其“任意
18、”性、“动态”性，并设计出几个变式问题，加强了学生对基础知识的理解和应用。教师要在课堂互动中积极的评价学生。评价的目的是激励学生的学习热情，促进学生的“情商”发展。古言：“师者，传道，授业，解惑者也。”那么，新时代的教师不仅要做到这些，更要在教学中，时时处处对学生的进步和成功予以肯定，加以表扬、激励，给以人文上的关怀，这样，方能促进学生和谐、健康的学习成长。评析：布鲁纳说：“探索是教学的生命线。”在平时的数学活动中要摒弃“重结论，轻过程”的传统教学思想，要从学生的生活经验和已有的知识体验出发，让学生经历“问题情境建立模型解释应用与拓展”的过程，引导学生积极参与知识的形成过程和探求过程，给学生以
19、充分从事数学活动的时间、空间。此节课的设计与实施具有以下特点：1.问题情境设计独特。“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”课一开始，授课教师让学生对任意三角形纸片只剪一刀，把分成的两块拼成一个平行四边形，改变了教材的知识引出方式，富有创意。通过让学生分组讨论，互相启发、帮助，改变了那种让学生中规中矩的正襟危坐般的学习气氛，为学生提供了自主探究、发现真知的空间，为新课的继续搭建了一个很好的平台。2.知识生成自然，学生在潜移默化中解决问题。课堂上，教师要尊重学生的学习主体地位，应充分相信学生的能力，不大包大揽。此节课中，教师通过学生的
20、操作及多媒体的演示，让三角形的中位线形象地呈现于学生面前，问题解决的方法也自然地蕴涵于操作过程之中。通过学生的回答：我是从老师用电脑演示的图形中想到的，即可见证此点。从而让学生在经历“探索发现验证证明”的过程中，体会合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用，学到有用的思维方法。3.能力培养的目的很突出。此节内容的教学，不只要求教师能让学生经历知识探索形成的过程，同时，还要使学生能用综合法加以证明，进一步发展推理能力。在教学中，教师不仅让学生口述其证明思路，并专门请同学上台书写证明过程，以及随后的学生自阅等过程，都充分体现出这一点。由学生的表现来看，实施贯彻的较好。4.题目设计颇具匠心数学教
21、学离不开例习题，如何选用适当的题目来巩固新学知识，以锦上添花，使学生掌握和应用新知，就显得很关键。授课中，教师组织学生在对“做一做”中的问题予以研究解决后的变式提问，就很好地升华了教学内容，并为此章最后一个“议一议”问题的解决作了一定程度的铺垫。最后一道开放题的安排，更是能考察出不同学生的不同思维特点和学习水平。5.师生互动和谐，真诚关怀凸显整节课的教学是师生互动自然和谐的活动。如学生按照剪拼要求，积极动手；围绕教师提出问题自主探究，或探索证明方法时独立思考，或同桌讨论，相互补充。有时，教师又适时点拨，穿插其间个别辅导。问答之间，教师的激励，真诚的赞美、微笑，无不给学生以道德情感上的熏陶，还有学生们的热烈掌声等，使情感态度与价值观这一教学目标得到很好的体现。