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1、北京市义务教育课程改革实验教材第十五册13.5全等三角形的判定（一）教学案例顺义区天竺中学 邵江华一、指导思想和理论依据新课程标准明确指出，数学教学是数学学习活动的教学，而有效的数学学习活动不能是单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流，可以促进学生全面、持续、和谐的发展，是学生学习数学的重要方式。所以我对教材13.5全等三角形的判定的内容进行了适当的重组与加工，并设计了很多小组自主、合作、探究活动，力求给学生提供研究、探讨的时间和空间，使学生真正成为学习的主体，让学生在动手实践、自主探究、合作交流的过程中亲身经历数学知识的形成与应用的过程，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思
2、想和方法，发展与他人合作交流能力，获得广泛的数学活动经验，感受成功的乐趣，养成良好的学习习惯，形成积极的学习态度。二、教学背景分析1、教学内容分析全等三角形的判定的学习，是在学生学习了全等三角形的概念，全等三角形的性质的基础上进行的。在知识结构上，它是证明线段相等、角相等的重要方法，而且后面等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角的平分线等相关内容都要通过证明两个三角形全等来加以解决；在能力培养上，无论是逻辑思维能力、推理论证能力，还是分析问题解决问题的能力，都可在这部分的教学中得以培养和提高。因此，全等三角形判定的教学对全章乃至以后的学习都是至关重要的。本节课是全等三角形判定内容的第一课
3、时，所以对它的学习自然就成为学生学好几何的切入点之一。2、学生情况分析（1）有利因素从知识铺垫上看, 学生已具备了学习全等三角形判定的基础知识；从推理能力上看，七年级教材中已安排了一点几何证明的内容,大部分学生能够进行简单的逻辑推理证明；从思维状态上看,初二学生的思维正由形象思维向抽象思维发展.，具有了强烈的逻辑推理欲望，渴求把直觉思维得到的猜想用推理的手段进行验证；从小组活动上看，由于平时教学中经常开展小组合作学习活动，所以学生了解小组合作学习的要求，具备一定的与他人合作交流的经验，乐于享受小组成员团结互助、努力探索知识的过程。（2）不利因素由于本节课之前学生对几何还处于初步学习阶段，农村中
4、学学生的学习水平又参差不齐，现在要求学生有理有据地推理证明且精练准确地表达推理过程，有一部分学生确实存在困难。学生对“分类讨论”这一数学思想方法认识不深，应用也不够多，而且思维的清晰度和缜密度不够高，所以本节课中学生探究三角形全等的条件过程中对三角形全等条件的分类会存在困难，尤其体现在满足一个条件时为什么要进行分类和满足三个条件时分类能否分得完全这两点上。 三、教学目标1理解并掌握ASA公理，能初步运用ASA公理证明两个三角形全等;2亲身经历探索三角形全等条件的过程，体会“分类”方法的优越性，发展分析问题能力、动手操作能力、猜想验证能力、语言表达能力；3参与小组探究活动，提高与他人合作交流的意
5、识，体验探索数学知识的乐趣，形成大胆猜想,乐于探究的良好品质，感受数学在生活中的应用。四、教学重点与难点教学重点：三角形全等条件的探究及ASA公理的应用教学难点：对三角形全等条件的分类，尤其体现在满足一个条件时为什么要进行分类和满足三个条件时分类能否分得完全这两点上。五、教学准备教师将制作的课件整理上传到区域新课程网络教学平台（中学版）。“区域新课程网络教学平台（中学版）”的建立不仅为本节课提供资源准备，也可是学生或老师平时学习、课后再学习、巩固、整理、搜集、储备资源的一个网络平台。六、教学过程本课的教学流程是创设情境、复习引入、合作探究、动手验证、归纳理解、链接生活、学以致用、练习巩固、质疑
6、反思、检测反馈共十个环节。（一） 创设情境教师：点击电子白板“创设情境”中“生活中的数学问题”标签来展示并读出情境问题；学生：表达自己愿意帮助小明的妈妈；教师：表示相信学生认真学习今天这节课的内容后一定能够帮到小明的妈妈。【设计意图】：通过创设情境放松学生的紧张情绪，更重要的是激发学生的学习兴趣并体会数学来源于生活。（二）复习引入1. 教师：提问前面刚刚学过的全等三角形定义；学生：举手回答；教师：待学生回答正确后点击电子白板“复习引入”中“回顾定义和性质”标签来展示出全等三角形的定义。【设计意图】：为引出全等三角形的判定做好知识上的准备2.教师：给出两个全等三角形的图形并提问全等三角形的性质及
7、符号语言；学生：举手回答；教师：展示出全等三角形的性质及符号语言。【设计意图】：为引出全等三角形的判定及比较性质和判定作准备。3. 教师：提问把性质的已知和结论进行交换后，还叫全等三角形的性质吗？学生：思考回答；教师：引导学生观察对比前后不同之处，从而体会出这不是全等三角形的性质而是判定，此时马上板书课题。【设计意图】：通过课件清晰展示出两个互逆的符号语言帮助学生体会判定与性质的区别和联系并创造出板书课题的时机。（三）合作探究1.教师：提问刚才的推理是否成立； 学生：判断并说明理由。【设计意图】：明确利用定义是可以判定三角形全等的 2.教师：说明用定义中的六个条件判定全等太麻烦，所以提出“至少
8、需要几个条件可以判定两个三角形全等”的问题（点击电子白板“合作探究”中“探究问题”标签；学生：理解教师提出的问题。 【设计意图】：明确本节课要重点探究的问题3. 满足一个条件的探究教师：明确从条件的最少个数即一个条件开始研究，提问“满足一个条件指的是那个条件” ；学生：定义中六个条件中的任意一个；教师：提出“若一一验证六个推理太麻烦，思考有没有更简单的解决问题的策略”的问题；学生：思考回答（很可能不会回答）；教师：进行课前预设，即学生能说就由学生说，如果学生没有思路，就引导学生回忆以前解决=？这个问题的策略，从而来启发学生采用分类讨论的策略，并提问如何进行分类； 学生：分成“一对儿边等”和“一
9、对儿角等”两种情况；教师：板书一个条件的两种情况，再用自制教具（两对纸三角形）来验证两个三角形有一对儿边等或一对儿角等时并不一定全等，从而说明满足一个条件时是不能判定两个三角形全等的，把教具贴在黑板上；板书：学生：观察思考；【设计意图】：使学生充分体会“分类”的必要性并为下面的小组活动示范探究思路和展示的方法。4. 满足两个条件的探究教师：展示出分小组探究的问题“满足两个条件时可以分几种情况及每种情况能否判定两个三角形全等” ；学生：（1）分组进行探究；（2）按教师刚才展示“满足一个条件时”的方式把本组探究结果展示在本组的黑板上；（3）回答正确的组可获得一枚标志并贴在本组的墙报上。学生展示的正
10、确结果应该是： 小组比赛墙报： 教师：一一评价各组展示结果并请结果正确的其中一组到本组黑板前进行讲解； 学生：一组讲解，其他组思考理解 【设计意图】：发展自主探索与合作交流能力及语言表述能力，体会“分类”方法的应用，提高竞争意识和学习积极性。5.满足三个条件的探究 教师：展示出分小组探究的问题“满足三个条件时可以分几种情况” ；学生：1.各小组讨论交流 2.按要求把结果展示在本组的黑板上 正确的分类结果是：教师：进行教学预设，即若有分类正确的组就让学生利用本组结果讲解，若没有一个组的分类完全正确，利用课件引导学生继续分类；学生：分出四种情况的组获得一枚标志，分出六种情况的组获得两枚标志，贴在墙
11、报上；教师：明确本节课只挑六种情况中的一种即两角及夹边来验证并应用，其他五种情况将在接下来的几节课中一一验证并应用。【设计意图】：小组活动是为了进一步提高学生的分类能力、与他人合作交流能力并激发学习兴趣，另外此处三个条件的探究只要求分类而不要求验证是着眼于整个单元的教学设计，就是先分出六种情况，然后本节课只挑一种情况验证并应用，接下来再每节课验证并应用一个，这样学生会对整个全等三角形判定的内容有一个整体的理解认识。（四）动手验证教师：点击电子白板“动手验证”中“活动方案”标签.展示出小组活动方案：学生：每组按照要求做一个三角形，做完后各组互相检查，完成正确的组获得一枚标志，贴在墙报上；教师：把
12、各组做的正确的三角形放在一起，提问几个三角形完全重合说明什么？ 学生：思考归纳出结论。【设计意图】：发展动手操作能力、猜想验证能力并提高语言表达能力（五）归纳理解教师：点击电子白板“归纳理解”中“角边角公理”标签，展示公理的文字及符号语言；学生：理解及记忆【设计意图】：规范定理的应用格式（六）链接生活教师：点击电子白板“链接生活”中“生活中的数学问题”标签，回顾本节课开始时的情境问题，询问同学们现在能否帮小明的妈妈选一个最佳的方法？学生：利用刚刚学习的ASA公理来回答。【设计意图】：呼应本节课开始的问题情境，体会数学在生活中的应用。（七）学以致用教师：点击电子白板“学以致用”中“例题解析”标签
13、.展示例题并引导学生分析例题的证明思路，并给出规范的逻辑推理过程；学生：观察思考，理解记忆。【设计意图】：进行解题方法的指导以及解题格式的示范。（八）练习巩固教师：点击电子白板“练习巩固”中“做一做”标签，并发练习篇子，每人一张；学生：每个学生先独立去做；教师：给做完的同学判一下，正确的加量化分；学生：先做完且正确的同学辅导本组需要帮助的同学。【设计意图】:通过练习巩固新知，通过小组互助使每个学生都有所进步。（九）质疑反思教师：点击电子白板“质疑反思”中“梳理”标签.学生：畅所欲言【设计意图】：通过梳理鼓励学生大胆质疑，提升对本节课所学内容的认识，培养学生良好的反思意识。（十）检测反馈教师：点
14、击电子白板“检测反馈”中“试题1” 、“试题2” 、“试题3”标签；学生：上机答题，反馈对错，巩固新知。【设计意图】：学生上机利用网络平台自主进行检测，而且能从网络平台上及时得到反馈结果，大大激发了学习兴趣，并提高了课堂教学效果。七、教学反思（一）利用网络教学平台进行教学，提高学生的学习效果 本节课充分利用多媒体的辅助教学来优化课堂教学过程，特别是电子白板和“区域新课程网络教学平台（初中版）”的合理应用，大大提高了课堂效率。无论是ppt课件的展示中，还是学生自主上节进行检测反馈，都在很大程度上提高了教学效果，而且大大提高了学生学习数学知识的兴趣。（二）采用加量化分的评价方式，激发学生的学习热情
15、本节课中学生加量化分的途径有两种：一是个人的精彩回答、精彩质疑和后面正确完成练习题都可加个人量化分；二是小组合作学习后，如果展示的结果正确，就奖励本组在数学墙报上印标志一枚，小组每得一枚标志就可以给本组每个组员都加量化2分。其实两种途径最终都落实到个人量化分上，学生每得20分就可获得教师在其荣誉卡上的签名一个，学校会定期组织拍卖会，学生就用荣誉卡上的签名来竟拍自己喜欢的东西。我觉得采用如此这样的评价方式，可以大大提高学生学习的积极性和竞争意识，从而保障小组合作学习的有效进行。 （三）教学内容设计的几点思考 1.着眼于对整个单元内容来进行本节教学设计，提高学生对知识理解的整体性和深刻性教材中全等
16、三角形的判定整个单元内容是ASA、SAS、SSS公理和AAS定理及它们的应用，我想如果本单元只是简单地告诉学生这四种判定方法并用它们进行证明，那学生的学习就只是单纯地依赖模仿与记忆。为了让学生亲身经历数学知识的形成与应用的过程，真正明白全等三角形的四种判定方法都是怎样得来的，又为什么都是满足三个条件，我对本单元内容进行了重组与加工。我的单元教学设计是在本单元的第一课时也就是本节课中先让学生围绕“至少需要几个条件就能判定两个三角形全等”的问题来探索三角形全等的条件，待否定了一个和两个条件的所有情况都不能判定两个三角形全等后，再给三个条件进行分类得到六种情况，然后对其中一种情况即两角及夹边进行验证
17、得出角边角公理并应用，而其他五种情况则安排在接下来的几节课，每节课都先动手操作验证一种，如果能判定就进行应用，如果不能判定就排除。这样通过学生的亲身探究来完成整个单元的学习，学生才能体会到全等三角形的四种判定方法的由来及它们之间的区别和联系，才能更深刻的理解每种判定方法的三个条件的意思，从而更好的应用它们。2.针对教学重点、难点问题进行教学预设，提高学生学习过程的顺畅性本节课的教学重点之一是三角形全等条件的探究，它包括一个条件、两个条件、三个条件三个探究环节。教学难点是对三角形全等条件的分类，我认为主要是难在一个条件时为什么要进行分类和三个条件分类能否分得完全这两点上。基于这样的教学重点和难点
18、，我有两个教学预设：对一个条件的探究，其实让学生给一个条件进行分类并不难，而在此之前让学生明白为什么要进行分类和怎样使学生想到分类却是个难点，因为学生对“分类讨论”这一数学思想方法认识不深，应用也不够多，所以我采用了由教师引导启发帮助学生来完成的方式。我先引导了一种复杂的解决问题的方法后，提出了有没有一种更好地解决问题的策略的想法，从而让学生体会到为什么要进行分类。但我觉得学生想不到分类这种好的解决问题的策略的可能性很大，所以我预设了两种情况，若学生想到分类，就大力肯定并顺势引导怎样分类；若学生想不到分类，就利用以前解决=？这个问题的经验来启发学生想到用分类这种方法来解决问题，从而感受这种方法
19、的优越性。对于三个条件的探究，分类的层次是否正确以及分得是否完全彻底是难点问题。我了解学生思维的清晰度和镇密度还不够，所以我觉得小组讨论后学生最多只能分出第一层次的四种情况，而想不到其中两边一角和两角一边这两种情况还可以再细分的可能性很大，也可能把两个层次的情况分的很混乱。所以我预设了两种情况，若学生能分对两个层次共六种情况就大力表扬并让学生来讲解说明；若学生只能分出第一层次的四种情况或分得更少或分的混乱，我都要利用事先准备好的课件进行演示说明，以便更好的帮助学生进行第二层次的分类。3.创设问题情境，提高学生学习数学的兴趣性本节课开始创设了请本班学生帮助小明妈妈配玻璃的问题情境，但不与解决，待学习完ASA公理后再回过头来利用ASA公理来解决。这样设计目的有三：一是为激发学生的学习兴趣；二是为让学生体会数学来源于生活并应用于生活；三是为了突出本节课的教学重点之一即ASA公理的应用。