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1、模块一 正方形的折叠问题1、如图，将一张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上一点，将CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD.则下列结论中：ADF是等边三角形；tanEBF23；SADF13S正方形ABCD；BF2DFEF.其中正确的是()A B C D【解析】四边形ABCD是正方形，AB=CD=AD，C=BAD=ADC=90，ABD=ADB=45，由折叠性质：MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，FDE=CDE，DFE=C=90，DEF=DEC，FD=FA，AD=FD=FA，即ADF是等边三角形，正确；设AB=A
2、D=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，ADF是等边三角形，DAF=AFD=ADF=60，FA=AD=4a，M=3AM=23a，FN=MN-FM=（4-23）a，tanEBF=FNBN=4-232=2-3，正确；ADF的面积=12ADFM=124a23a=43a2，正方形ABCD的面积=（4a）2=16a2，SADFS正方形ABCD=4316=34，错误；AF=AB，BAF=90-60=30，AFB=ABF=75，DBF=75-45=30，BFE=360-90-60-75=135=DFB，BEF=180-75-75=30=DBF，BEFDBF，BFDFEFBF，BF2=DFEF，正确；
3、故选B【小结】本题是相似形综合题目，考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形是等边三角形和证明三角形相似是解决问题的关键2、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点，BE=，Q是CD上一动点，将CEQ沿直线EQ折叠后，点C落在点P处，连接PA点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，当PA的长度最小时，CQ的长为（ ）ABCD3【解析】：如图所示：在RtABE中，AE=BC=3，BE=，EC=3-由翻折的性质可知：PE=CE=3-AP+PEAE，APAE-PE当点A、P、E一
4、条直线上时，AP有最小值AP=AE-PE=2-（3-）=3-3故选A3、如图，正方形的边长是16，点在边上，点是边上不与点、重合的一个动点，把沿折叠，点落在处，若恰为等腰三角形，则的长为_.【分析】根据翻折的性质，可得BE的长，根据勾股定理可得CE的长，然后再根据等腰三角形的判定进行分情况讨论【解析】需分三种情况讨论：（1）若，则（易知此时点在上且不与点、重合）；（2）若，因为，所以点、在的垂直平分线上，则垂直平分，由折叠可知点与点重合，不符合题意，则这种情况不成立；（3）如图，若，作与交于点，交于点.因为，所以.因为，所以，所以，则，因为.在中，由勾股定理求得，所以.在中，由勾股定理求得.综
5、上，或.【小结】本题考查折叠性质和勾股定理，本题关键在于能够对等腰三角形的情况进行分类讨论4、如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N（1）若CM=x，则CH=（用含x的代数式表示）；（2）求折痕GH的长 【解析】（1）CM=x，BC=6，设HC=y，则BH=HM=6y，故y2+x2=（6y）2，整理得：y=x2+3，HMC+MHC=90，EMD=MHC，EDMMCH，=，=，得：HC=x2+2x，答案：x2+3或x2+2x；（2）方法一：四边形ABCD为正方形，B=C
6、=D=90，设CM=x，由题意可得：ED=3，DM=6x，EMH=B=90，故HMC+EMD=90，HMC+MHC=90，EMD=MHC，EDMMCH，=，即=，解得：x1=2，x2=6，当x=2时，CM=2，DM=4，在RtDEM中，由勾股定理得：EM=5，NE=MNEM=65=1，NEG=DEM，N=D，NEGDEM，=，=，解得：NG=，由翻折变换的性质，得AG=NG=，过点G作GPBC，垂足为P，则BP=AG=，GP=AB=6，当x=2时，CH=x2+3=，PH=BCHCBP=6=2，在RtGPH中，GH=2当x=6时，则CM=6，点H和点C重合，点G和点A重合，点M在点D处，点N在点
7、A处MN同样经过点E，折痕GH的长就是AC的长所以，GH长为6方法二：有上面方法得出CM=2，连接BM，可得BMGH，则可得PGH=HBM，GPH和BCM中，GPHBCM（SAS），GH=BM，GH=BM=25、在正方形ABCD中，（1）如图1，若点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，且AOF=90求证：AE=BF（2）如图2，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G若DC=5，CM=2，求EF的长 【解析】（1）如图1，四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABE=BCF=90，AOF=90，BAE+OBA=90，
8、又FBC+OBA=90，BAE=CBF，在ABE和BCF中，ABEBCF（ASA）AE=BF（2）由折叠的性质得EFAM，过点F作FHAD于H，交AM于O，则ADM=FHE=90，HAO+AOH=90、HAO+AMD=90，POF=AOH=AMD，又EFAM，POF+OFP=90、HFE+FEH=90，POF=FEH，FEH=AMD，四边形ABCD是正方形，AD=CD=FH=5，在ADM和FHE中，ADMFHE（AAS），EF=AM=6、如图，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，点A关于DE的对称点为F，BFC=90，求的值【解析】如图，延长EF交CB于M，连接CM，四边形ABCD是正方形，
9、AD=DC，A=BCD=90，将ADE沿直线DE对折得到DEF，DFE=DFM=90，在RtDFM与RtDCM中，RtDFMRtDCM，MF=MC，MFC=MCF，MFC+BFM=90，MCF+FBM=90，MFB=MBF，MB=MC，设MF=MC=BM=a，AE=EF=x，BE2+BM2=EM2，即（2ax）2+a2=（x+a）2，解得：x=a，AE=a，=37、在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕
10、O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长 【分析】（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，AOC=DOF=90，然后求出AOD=COF，再利用“边角边”证明AOD和COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DFOE，DG=OG=OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD【解析】（1）AD=CF理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，AOC=DOF=90，AOC+COD=DOF+COD，即AOD=COF，在AOD和COF中，AODC
11、OF（SAS），AD=CF；（2）与（1）同理求出CF=AD，如图，连DF交OE于G，则DFOE，DG=OG=OE，正方形ODEF的边长为，OE=2，DG=OG=OE=2=1，AG=AO+OG=3+1=4，在RtADG中，AD=，CF=AD=点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（1）熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键8、在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MNDF于H，交AD于N
12、（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t0）；判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由连结FM、FN，MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由 【分析】（1）证明ADFDNC，即可得到DF=MN；（2）首先证明AFECDE，利用比例式求出时间t=a，进而得到CM=a=CD，所以该命题为真命题；若MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论【解析】（1）证明：DNC+ADF=9
13、0，DNC+DCN=90，ADF=DCN在ADF与DNC中，ADFDNC（ASA），DF=MN（2）解：该命题是真命题理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=AB=CDABCD，AFECDE，=，AE=EC，则AE=AC=a，t=a则CM=1t=a=CD，点M为边CD的三等分点能理由如下：易证AFECDE，=，即，得AF=易证MNDDFA，即，得ND=t ND=CM=t，AN=DM=a-t若MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：（I）若FN=MN，则由AN=DM知FANNDM，AF=DM，即=t，得t=0，不合题意此种情形不存在；（II）若FN=FM，由MNDF，HN=HM，DN=DM=MC，
14、t=a，此时点F与点B重合；（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示： 易得MFCNMD，FC=DM=a-t；又由NDMDCF，即，FC=a-t，t=a，此时点F与点C重合综上所述，当t=a或t=a时，MNF能够成为等腰三角形【小结】本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解9、如图所示，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意一点，DEAG，垂足为E，延长DE交AB于点F在线段AG上取点H，使得AG=D
15、E+HG，连接BH求证：ABH=CDE 证明：如图，在正方形ABCD中，AB=AD，ABG=DAF=90，DEAG，2+EAD=90，又1+EAD=90，1=2，在ABG和DAF中，ABGDAF（ASA），AF=BG，AG=DF，AFD=BGA，AG=DE+HG，AG=DE+EF，EF=HG，在AEF和BHG中，AEFBHG（SAS），1=3，2=3，2+CDE=ADC=90，3+ABH=ABC=90，ABH=CDE10、如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作MECD交BC于点E，作MFBC交CD于点F求证：AM=EF 证明：过M点作MQAD，垂足为Q，作MP垂足AB，垂
16、足为P，四边形ABCD是正方形，四边形MFDQ和PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形，AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，在APM和FME中，APMFME（SAS），AM=EF专题二 矩形的折叠中的距离或线段长度问题【典例】在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5. 如图例1-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A处，折痕为PQ，当点A在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A在BC边上可移动的最大距离为 . 图例1-1 图例1-2 图例1-3【解析】此题根据题目要求准确判断出点A的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A的位置处
17、于最左端，当点P与点B重合时，点A的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA或CA的长度，二者之差即为所求.当点Q与点D重合时，A的位置处于最左端，如图例1-2所示.确定点A的位置方法：因为在折叠过程中，AQ=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A. 再作出AQA的角平分线，与AB的交点即为点P. 由折叠性质可知，AD= AD=5，在RtACD中，由勾股定理得，当点P与点B重合时，点A的位置处于最右端，如图例1-3所示.确定点A的位置方法：因为在折叠过程中，AP=AP，所以以点P为圆心，以AP长为半径画弧，与BC的交点即为点A.
18、再作出APA的角平分线，与AD的交点即为点Q. 由折叠性质可知，AB= AB=3，所以四边形AB AQ为正方形. 所以AC=BCAB=53=2.综上所述，点A移动的最大距离为42=2.故答案为：2.【小结】此类问题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。作图的依据是折叠前后线段长度不变，据此先找到点A的落点A，再根据对称轴（折痕）是对应点连线的垂直平分线，确定出折痕PQ的位置. 利用勾股定理、正方形的判定定理及其性质求得相应的线段长度. 1、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P为边AD上一动点，连接BP，把ABP沿BP折叠，使A落在A处，当ADC为等腰三角形时，AP的长为（ ）A
19、2BC2或D2或【分析】根据ADC为等腰三角形，分三种情况进行讨论：AD=AC，AD=DC，CA=CD，分别求得AP的长，并判断是否符合题意【解析】如图，当AD=AC时，过A作EFAD，交DC于E，交AB于F，则EF垂直平分CD，EF垂直平分ABAA=AB，由折叠得，AB=AB，ABP=ABP，ABA是等边三角形，ABP=30，AP=；如图，当AD=DC时，AD=2由折叠得，AB=AB=2，AB+AD=2+2=4连接BD，则RtABD中，BD= ，AB+ADBD（不合题意）故这种情况不存在；如图，当CD=CA时，CA=2由折叠得，AB=AB=2，AB+AC=2+2=4，点A落在BC上的中点处此
20、时，ABP=ABA=45，AP=AB=2综上所述，当ADC为等腰三角形时，AP的长为或2故选C.【小结】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏2、矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点B处，当CEB为直角三角形时，BE的长为( )A3BC2或3D3或【分析】当CEB为直角三角形时，有两种情况：当点B落在矩形内部时，如图1所示连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得ABE=B=90，而当CEB为直角三角形时，只能得到EBC=90，所以点A、B、C共线，
21、即B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B处，则EB=EB，AB=AB=3，可计算出CB=2，设BE=x，则EB=x，CE=4-x，然后在RtCEB中运用勾股定理可计算出x当点B落在AD边上时，如图2所示此时ABEB为正方形【解析】当CEB为直角三角形时，有两种情况：当点B落在矩形内部时，如图1所示连结AC，在RtABC中，AB=3，BC=4，AC=5，B沿AE折叠，使点B落在点B处，ABE=B=90，当CEB为直角三角形时，只能得到EBC=90，点A、B、C共线，即B沿AE折叠，使点B落在AC上的点B处，EB=EB，AB=AB=3，CB=5-3=2，设BE=x，则EB=x，CE=4-x，在
22、RtCEB中，EB2+CB2=CE2，x2+22=（4-x）2，解得x=，BE=；当点B落在AD边上时，如图2所示此时ABEB为正方形，BE=AB=3综上所述，BE的长为或3故选D【小结】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等也考查了矩形的性质以及勾股定理注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解3、如图，在矩形ABCD中，AB3，BC3，将ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP与AD交于点F，连接BP交AC于点G，交AD于点E，下列结论不正确的是()APGCG=13BPBC是等边三角形CAC2APDSBGC3SAGP【分析】如图，首先运用勾股定理求出AC
23、的长度，进而求出ACB30，此为解决该题的关键性结论；运用翻折变换的性质证明BCP为等边三角形；运用射影定理求出线段CG、AG之间的数量关系，进而证明选项A、B、C成立，选项A不成立.【解析】如图，四边形ABCD为矩形，ABC90；由勾股定理得：AC2AB2+BC2，而AB3，BC3，AC23，AB12AC，ACB30；由翻折变换的性质得：BPAC，ACBACP30，BCPC，ABAP，BGPG，GC3BG3PG，BCP60，AC2AP，BCP为等边三角形，故选项B、C成立，选项A不成立；由射影定理得：BG2CGAG，AG33BG，CG3AG，SBCG3SABG；由题意得：SABGSAGP，S
24、BGC3SAGP，故选项D正确；故选：A【小结】考查了翻折变换的性质、矩形的性质、射影定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用矩形的性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求4、如图，矩形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，分别交于点，且，则的值为_【分析】由矩形的性质和已知条件，可判定,设，根据全等三角形的性质及矩形的性质可用含x的式子表示出DF和AF的长，在根据勾股定理可求出x的值，即可确定AF的值.【解析】四边形ABCD是矩形, , 是由沿折叠而来的，, ,，又 ，（AAS）， 设,则 ，在中，根据勾股
25、定理得： ,即解得 故答案为：【小结】本题考查了求多边形中的线段长，主要涉及的知识点有矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，数学的方程思想，用同一个字母表示出直角三角形中的三边长是解题的关键.5、如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=2，点E为线段AB上的动点，将CBE沿 CE折叠，使点B落在矩形内点F处，则AF的最小值为_【分析】通过观察可以发现，当AFE=90时 ，AF最小；然后设BE=x，则：EF=x，AE=3-x，然后多次使用勾股定理即可解答；【解析】设BE=x，则：EF=x，AE=3-x在RtABC中，由勾股定理得：AC= 在RtEBC中，由勾股定理得:EC= 由折叠可知
26、CF=CB=2，所以：AF=AC-CF=-2，故答案为：-2.【小结】本题考查几何图形中的最值问题，其中找到出现最值的位置和运用勾股定理解题是关键.6、如图，在矩形ABCD中，AB6，AD2，E是AB边上一点，AE2，F是直线CD上一动点，将AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A，当点E，A，C三点在一条直线上时，DF的长为_【分析】利用勾股定理求出CE，再证明CF=CE即可解决问题（注意有两种情形）【解析】如图，由翻折可知，FEAFEA，CDAB，CFEAEF，CFECEF，CECF，在RtBCE中，EC ，CFCE2，ABCD6，DFCDCF62，当点F在DC的延长线上时，易知EFEF，
27、CFCF2，DFCD+CF6+2，故答案为62或6+2【小结】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明CFE的等腰三角形，属于中考常考题型7、如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A恰好落在边OC上，则OE的长为_.【解析】连接AD，AD，四边形OABC是矩形，BC=OA=4，OC=AB=3，C=B=O=90，CD=3DB，CD=3，BD=1，CD=AB，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A恰好落在边OC上，AD=AD，AE=AE，在RtACD与RtDBA
28、中，RtACDRtDBA（HL），AC=BD=1，AO=2，AO2+OE2=AE2，22+OE2=（4OE）2，OE=，【小结】本题关键词：“对应点的连线段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”8、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为【解析】连接BF，BC=6，点E为BC的中点，BE=3，又AB=4，AE=5，BH=，则BF=，FE=BE=EC，BFC=90，根据勾股定理得，CF=故答案为：9、如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D恰好在
29、线段BE上若AD=3，DE=1，则AB=5【解析】折叠，ADEADE，AD=AD=3，DE=DE=1，DEA=DEA，四边形ABCD是矩形，ABCD，DEA=EAB，EAB=AEB，AB=BE，DB=BEDE=AB1，在RtABD中，AB2=DA2+DB2，AB2=9+（AB1）2，AB=5，故答案为：510、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN，把BMN沿MN折叠，使点B落在点E处，若点E恰在矩形ABCD的对称轴上，则BM的长为5或【解析】当E在矩形的对称轴直线PN上时，如图1此时MEN=B=90，ENB=90，四边形BMEN是矩形
30、又ME=MB，四边形BMEN是正方形BM=BN=5当E在矩形的对称轴直线FG上时，如图2，过N点作NHFG于H点，则NH=4根据折叠的对称性可知EN=BN=5，在RtENH中，利用勾股定理求得EH=3FE=53=2设BM=x，则EM=x，FM=4x，在RtFEM中，ME2=FE2+FM2，即x2=4+（4x）2，解得x=，即BM=故答案为5或11、如图，矩形ABCD中，AD=4，O是BC边上的点，以OC为半径作O交AB于点E，BE=AE，把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应AD），当O与AD相切时，线段AB的长是【解析】设O与AD相切于点F，连接OF，OE，则OFAD，OC=O
31、E，OCE=OEC，四边形ABCD是矩形，A=B=A=90，由折叠的性质得：AEC=AEC，B+BCE=AEO+OEC，OEA=B=90，OE=OF，四边形AFOE是正方形，AE=AE=OE=OC，BE=AE，设BE=3x，AE=5x，OE=OC=5x，BC=AD=4，OB=45x，在RtBOE中，OE2=BE2+OB2，（5x）2=（3x）2+（45x）2，解得：x=，x=4（舍去），AB=8x=故答案为：12、如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC为半径作O，将ADE折叠至ADE，点A在O上，延长EA交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作O的切线交BC
32、延长线于点G若FG=1，则AD=2，O半径=【解析】作OHDG于H，如图，设DA=x，则AB=2x，ADE折叠至ADE，DA=DA=x，DAE=A=90，DA与O相切，在ODA和OCF中，DOAFOCDA=CF=x，DG是O的切线，OHDG，H点为切点，DH=DA=x，GH=GC=CF+GF=x+1，在RtDCG中，DC2+CG2=DG2，（2x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，AD=2，设O的半径为r，则OC=OA=r，OD=2xr=4r，在RtDOA中，DA2+OA2=DO2，22+r2=（4r）2，解得r=，即O的半径为故答案为2，13、在长方形纸片A
33、BCD中，点E是边CD上的一点，将AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且BAC=54，则DAE的度数为18（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB=6，AD=10，求CG的长 【解析】（1）四边形ABCD是矩形，BAD=90，BAC=54，DAC=9054=36，由折叠的性质得：DAE=FAE，DAE=DAC=18；故答案为：18；（2）四边形ABCD是矩形，B=C=90，BC=AD=10，CD=AB=6，由折叠性质：AF=AD=10，EF=ED，BF=8
34、，CF=BCBF=108=2，设CE=x，则EF=ED=6x，在RtCEF中，由勾股定理得：22+x2=（6x）2，解得：x=，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：点E是CD的中点，DE=CE，由折叠的性质得：AF=AD=10，AFE=D=90，FE=DE，EFG=90=C，在RtCEG和FEG中，RtCEGFEG（HL），CG=FG，设CG=FG=y，则AG=AF+FG=10+y，BG=BCCG=10y，在RtABG中，由勾股定理得：62+（10y）2=（10+y）2，解得：y=，即CG的长为模块三 矩形折叠问题中的类比问题【典例】如图例2-1，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE
35、沿BE折叠后得到GBE，且点G在矩形ABCD内部小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值AEDBCFG 图例2-1 图例2-2【解析】（1）同意，理由如下：如图例2-2，连接EF ，E是AD的中点，AE=ED由折叠及矩形性质得：AE=EG，EGF=D=90，所以，EG=DE在RtEFG和RtEFD中，EF=EF EG=DE，RtEFGRtEFD （HL），DF=FG（2）根据DC=2DF，设DF=FC=x，AE=ED=y ，由折叠性质及（1）知BF=
36、BG+GF=AB+GF=3x在RtBCF中，由勾股定理得：BF2=BC2+CF2 ，(3x)2=(2y)2+x2 ，即：，（3）设AE=ED=y，DF=x，根据DC=nDF，得CD=nx，FC=(n1)x；由折叠性质及矩形性质知：BF=BG+GF=AB+GF=(n+1)x在RtBCF中，由勾股定理得：BF2=BC2+CF2(n+1)x2=(2y)2+(n-1)x2 ，即：，1、如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则的值为 ABCD【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由EOF
37、=BOP、B=E、OP=OF可得出OEFOBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4x、BF=PC=3x，进而可得出AF=1+x在RtDAF中，利用勾股定理可求出x的值，即可得出答案【解析】根据折叠，可知：DCPDEP，DC=DE=4，CP=EP在OEF和OBP中，OEFOBP（AAS），OE=OB，EF=BP设EF=x，则BP=x，DF=DEEF=4x又BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BCBP=3x，AF=ABBF=1+x在RtDAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4x）2，解得：x=0.6，DF=4
38、x=3.4，故选C【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF的长度是解题的关键2、如图，以矩形ABOD的两边OD、OB为坐标轴建立直角坐标系，若E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长BG交OD于F点若OF1，FD2，则G点的坐标为 【分析】连结EF，作GHx轴于H，根据矩形的性质得AB=OD=OF+FD=3，再根据折叠的性质得BA=BG=3，EA=EG，BGE=A=90，而AE=DE，则GE=DE，于是可根据“HL”证明RtDEFRtGEF，得到FD=FG=2，则BF=BG+GF=5在RtOBF中，利用勾股定理计算出
39、OB，然后根据FGHFBO，利用相似比计算出GH和FH，根据OH=OFHF，即可得到G点的坐标【解析】连结EF，作GHx轴于H，如图，四边形ABOD为矩形，AB=OD=OF+FD=1+2=3ABE沿BE折叠后得到GBE，BA=BG=3，EA=EG，BGE=A=90点E为AD的中点，AE=DE，GE=DE在RtDEF和RtGEF中，RtDEFRtGEF（HL），FD=FG=2BF=BG+GF=3+2=5在RtOBF中，OF=1，BF=5，OBGHOB，FGHFBO，即，GH，FH，OH=OFHF=1，G点坐标为（）【小结】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状
40、和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了坐标与图形的性质和相似三角形的判定与性质3、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是边AB上一点，且AE=2EB，点P是边BC上一点，连接EP，过点P作PQPE交射线CD于点Q若点C关于直线PQ的对称点正好落在边AD上，求BP的值【解析】过点P作PEAD于点E，PEC=90矩形ABCD中，AB=3，BC=4，EAB=B=C=QDC=90，CD=AB=3，四边形CPED是矩形，DE=PC，PE=CD=3AE=2EB，AE=2，EB=1设BP=x，则DE=PC=4x点C与C关于直线PQ对称，PCQPCQ，PC=PC=4x，CQ=CQ，PCQ
41、=C=90PEPQ，BPE+CPQ=90又BEP+BPE=90，BEP=CPQ，BEPCPQ，同理可证：PECCDQ，CQ=x（4x）CQ=x（4x），DQ=3x（4x）=x24x+3，CD=3x，EC=EC+CD=DE，解得：x1=1，x2=BP的值为1或4、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B和折痕OP设BP=t（1）如图，当BOP=30时，求点P的坐标；（2）如图，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB上，得点C和折痕PQ，若AQ=m，求m（用含有t的式子表示）；（3）在（2）的条件下，当点C恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果）【解析】（1）根据题意，OBP=90，OB=6，在RtOBP中，由BOP=30，BP=t，得OP=2tOP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=2（舍去）点P的坐标为（2，6）；（2）OBP、QCP分别是由OBP、QCP折叠得到的，OBP